走近数学名师之三

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张齐华“一咏三叹 且行且思”

作者简介：张齐华，男，1976年生，本科学历，小学一级，任教于南京市北京东路小学，该文获2005年江苏省“教海探航”一等奖第一名

数学是一种文化，它是人类文明的重要组成部分。然而，正如一位朋友在短信中所言，既承认“数学是一种文化”，再提“数学文化”，岂不是有语词重复之嫌？我的回复是：这里，我更愿意视其为一种意义的重申和叠加。返观当下的数学课堂，原本属于文化范畴的数学，如今正渐渐丧失着它的文化性，变得不那么“文化”了。教育语境下的数学，已经开始和文化背道而驰，并沦落为一种“非文化”、“反文化”的东西。对数学知识积累、数学技巧训练等工具性价值的过分关注，正在使数学本该拥有的文化气质和气度，一点点剥落、丧失，并逐渐成为数学教育遥不可及的乌托邦。“让数学变得文化些，还数学以文化之本来面目”，已经成为我们数学教育亟须关注、思考和探索的问题。

2002年秋，一个偶然的机会，我开始了关于“文化数学”的探索与实践。如今，三年已过去。回顾这段时日，当一切的憧憬、期待、迷茫、尝试、顿悟、反思归于平静，梳理走过的探索之路，收获和成长自在不言间。

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“踌躇满志”

——关于“走进圆的世界”的尝试

研究源于阅读，收于实践。
为了把握数学文化的内涵，我开始认真阅读大量有关数学文化方面的文献资料，从专题书籍到学术期刊，进而到网络、电子读本。其间，西方数学教育中关于数学文化的论述给了我不小的影响。自我感觉对数学文化之内涵有了一定的感性认识后，一种强烈的愿望在脑海中涌动、萌生，那就是，只有真正做出一份有说明力、有代表性的课堂案例，你的思考才具有真实的价值。一年后（2003年）的秋季，适逢笔者参加某大型数学教学研讨活动。以“追寻数学课堂的文化意韵”为意旨，我选择以“圆的认识”这一经典数学课例为蓝本，进行了新的探索和尝试。（注：为节省篇幅，此处只择录相关片断以作阐述，下同。）

[案例1]《走进圆的世界》及思考

片断一：
师：对于圆，同学们一定不会陌生。生活中，你们在哪儿见到过圆形？
生：钟面上有圆形。 生：有些桌面是圆的。
生：学校喷水池的池口也是一个圆形。
师：今天，老师也给大家带来一些。见过平静的水面吗？（见过）丢进一颗小石子（播放动态的水纹），你发现了什么？
生：（激动地）水纹、水纹、圆……（声音此起彼伏）
师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看。（伴随着优美的音乐，阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等画面一一展现在学生的眼前，见图①）从这些现象中，你同样找到圆了吗？
图①
生：找到了！
师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？
生：（激动地）好！

片断二：
师：俗话说，“没有规矩，不成方圆”。意思是说，如果没有圆规，是――
生：画不出圆的。
师：今天，老师特意为每一小组准备了很多其他材料，唯独没有圆规，你能利用这些材料，试着画出一个圆吗？
（学生利用手中的工具和材料画圆，随后交流各自精彩的方法。）
……
师：既然不用圆规，我们依然创造出了这么多画圆的方法，那俗语中为什么还会有“没有规矩，不成方圆”一说呢？
生：我想，大概是古时候的人们没想到这些方法吧？（生笑）
生：我觉得，“没有规矩，不成方圆”
一开始指没有圆规和“矩”画不出方和圆，但是流传到后来，它的意思已经发生了改变，是指很多事情，必须要讲究规矩，遵循章法。（不少同学投以赞许的目光）
师：真没想到，一条普通的数学规律，经过千年流传，竟逐渐成为我们生活中一条重要的人生准则。当然，同学们能够利用各自的智慧，成功演绎“没有规矩，仍成方圆”，足以说明大家不凡的创造力了。

片断三：
师：其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也。”你能理解其中的意思吗？
生：一中是指一个圆心，同长则指半径或直径同样长。
师：而中国古代的这一发现，要比西方整整早一千多年。听到这里，同学们感觉如何？
生：特别的自豪和骄傲。
生：我觉得我国古代的人民非常有智慧。
师：其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些。《周髀算经》中有这样一个记载，“圆出于方，方出于矩”，是说最初的圆是由正方形不断地切割而来（动画演示：圆向方的渐变过程，如图②）。现在，如果告诉你正方形的边长是6厘米，你能获得关于圆的哪些信息？
图②
师：说起中国古代的圆，下面的这幅图案很特别（出示图③），认识吗？
生：阴阳太极图。
师：细细看来，阴阳太极原来是由一个大圆和两个同样大的小圆组合而成（出示图④）。现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢？
图③ 　　　　　　图④
……

片断四：
师：其实，又何止是大自然对圆情有独钟，在我们生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。让我们一起来欣赏――
（伴随着优美的音乐，如下的画面一一展现在学生眼前：生活中的圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国节、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计等等，如图⑤。）
图⑤
师：感觉怎么样？
生：我觉得圆真是太美了！
生：我无法想象生活中如果没有了圆，将会是什么样子。
师：而这，不正是圆的魅力所在吗？


[思考]
研讨活动中，《走进圆的世界》以其鲜明的“数学文化”特色而获得成功。尤其是教学过程中，教师对于数学语言的诗意追求，对于数学历史的广泛涉猎及巧妙演绎，对于圆与自然、社会、历史、文化等各个层面内在联系的揭示，以及对于圆的美学特征的理解和表达，使整个课堂洋溢着浓厚的美感、历史感和文化感。于是，作为反思和总结，我在教学后记中写下这样一段：
“作为人类文化重要组成部分的数学，在经历了漫长的发展过程后，凝聚并积淀下了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。《走进圆的世界》一课，表达的正是对数学的这样一种文化解读。教学尹始，我们从最常见的自然现象引入，既巧妙渗透了圆的神奇魅力，激发了学生对圆的向往，又无形中渗透了‘大自然本身遵循一定的数学规律’这一西方数学文化的经典思想；探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，从宏观的历史视野丰富学生的认识视域，拓展了学生的精神世界；最后，我们更是借助‘解释自然中的圆’和‘欣赏人文世界中的圆’等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中层层铺染、不断推进，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉，让数学课堂摆脱原有的习惯思维与阴影，真正美丽、动人起来。由此看来，要真正体现数学的文化特性，我们应该对数学的发展史、数学的美以及数学与人类社会各领域的紧密联系予以相当的关注，这些都是体现数学文化的重要因素，是构成数学文化内涵的核心组成部分。”
活动结束后，本案例在一定范围内形成相当的影响，并一度成为网络上数学教师关注的热点和焦点。由此，关于“数学文化”的探讨和争鸣也渐渐从幕后走向前台。

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“峰回路转”

——因“轴对称图形”而引发的思考

2004年10月，在苏州举行的江苏省青年教师数学教学研讨会上，笔者有幸再度执教观摩课。为了彰显一年多来在“数学文化”领域所作的探索，接到任务后，笔者十分自然地对本课教学作出了“充分展现数学文化的魅力”这一定位，并进行了细致的思考。最终将课题定为“轴对称图形”，也是因为这一课例相对而言本身就具备较浓郁的文化要素，对于体现“数学文化”这一主题有一定的优势。于是，在“走进圆的世界”一课的基础上，笔者决定择其精华，梅开二度.

[案例2]《轴对称图形》及其背后
有了前一案例的铺垫，新的一课可谓驾轻就熟。
为了彰显“轴对称图形”的文化内涵，类似地，笔者同样通过百科全书、电子网络等各种渠道，搜集了大量有关“轴对称图形”的资料，有自然景观、有民间工艺、有商标集锦、有经典图案……从交通标志到国旗国徽，从扑克图案到桂林山水，从建筑艺术到生物百态，从图形的对称美，到图案的寓意美，再到自然世界的平衡美与和谐美。应该说，轴对称图形的美感及其文化内涵在这一设计中得到了相当充分的体现。
活动如期举行。如我所愿，本课教学同样获得成功。然而，由于与会专家、学者颇众，更因为活动本身在于交流、研讨，因而，活动结束后，由此而引发的关于“如何体现数学文化”的讨论、争鸣在更大范围内得以展开，交流也更为深入、深刻。当所有观点交互碰撞、所有争鸣趋于平静后，一种关于“数学文化”的见解浮出水面，并对我原有的观念造成冲击。这里，仅择主要观点，以便论述。
观点1：教学过程过分关注了“轴对称图形”的文化特性，“色彩”太浓，文化味太重，而相应的数学味没有得到应有的体现，数学课堂以“着力培养学生的数学思考”这一目标没有得到足够重视，课堂教学呈现出本末倒置的倾向。
观点2：在一般人看来，这节课的最大看点似乎在大量对称图案、标志、建筑的介入以及最后桂林山水和生物对称性的渗透。这些固然很好地体现了轴对称图形的美与和谐，然而，我们以为，本课最为成功，也最能充分彰显数学文化魅力的地方不在于此，反而在认识概念后师生围绕“五个图形中哪些是轴对称图形”所展开的那一段精彩的教学对话。粗粗看来，内容朴素无华，似与文化相去甚远，然而细细琢磨，这当中所体现出的对于数学思维的有效关注和巧妙引导，对于数学思维品质及数学思辩能力的培养，以及由思考而带来的智力愉悦，恰恰彰显了更为本质的数学文化魅力。
观点3：文化不是外在的附属品。同样，数学的文化诉求不应从数学之外去找寻。从这一意义上讲，本课对于轴对称图形所作的拓展与升华，固然为本课学习增添了亮色，但却没有涉及数学文化的本质。数学最内在的文化特性应该是数学本身，应该反映数学的个性，体现数学的思维魅力。如果数学课堂使学生真正感受到了思维的快乐，并且因为思维品质的优化和思维能力的提升，而使学习个体的本质力量得到确证，那么，数学的文化张力也就真正得到了张显。这里，我们同样欣赏师生围绕“五个图形是否为轴对称图形”所作的交流，因为它体现了数学内在的文化力量。
……
应该说，倘若没有这些评论，我一定会忽略关于“五图”的讨论这一环节。至少，我是不会将其和“数学文化”联系在一起。于是，为了印证这些评述，我对照光盘，详实记录下了关于“五图”的这段对话。

片断五：
认识轴对称图形的概念后，教师出示如下五个平面图形：
师：观察这些平面图形，你觉得哪些是轴对称图形，哪些不是？
稍作观察与思考后－－
生1：我觉得五边形和圆是轴对称图形，其它都不是。
生2：我认为这五个图形都是轴对称图形。
师：多好呀！课堂里出现不同的声音了。
生3：我觉得第一个和第三个不是，其余都是……
师：同学们就这一问题给发表了不同见解。那究竟该听谁的？
生：听我的、听我的……
生4：（轻声嘀咕）动手试一试吧。
师：（请起这位同学）多好的想法！为何不大声说出来？
生4：（自信地）我们可以动手试一试。
师：对呀。当意见出现分歧时，与其盲目地相信自己，或者听从别人，还不如亲自动手试一试，用事实来说话！
（学生拿出这五个图形动手操作、验证，有些还在组内轻声进行交流。）
师：动手实验后，大家对这一问题一定有了更加深入的认识。谁来说说？
生5：一开始，我以为这个三角形是轴对称图形，现在我认为它不是了。
师：你是怎么发现的？
生5：把三角形对折后，发现两边没有完全重合，所以它不是轴对称图形。
师：在事实面前，及时调整自己的意见。真好！
生6：我想说这个平行四边形。原以为它是轴对称图形，可是把它对折后，我才发现它并不是。
师：看来，仅靠观察得出的结论有时不准确，还需要动手实验进行验证。
生7：老师，我不同意他（生6）的观点。
师：是吗？说说你的想法。
生7：我也把平行四边形对折，它是一个轴对称图形。
师：关于平行四边形，出现了两种截然不同的观点。（教师统计全班的观点）两种观点势均力敌，那就用事实来说话吧。正方先亮出你们的观点。
生8：我把这个平行四边形对折后，发现两边是两个完全一样的梯形，所以我们认为它是一个轴对称图形。
生9：我们反对。虽然对折后两边大小一样，但并没有完全重合，你看，这边多出了一些，而那边又少了一些，不符合轴对称图形的定义。
师：嗯，抓住轴对称图形的特点进行分析。
生10：我反对。虽然对折后两边没有完全重合，但只要我们沿着折痕剪开，换一个方向后两边就能完全重合了，所以我们认为它是一个轴对称图形。
生9：可是，黑板上写得清清楚楚，只有对折后两边完全重合，才算是轴对称图形。剪开后两边重合是不算的。
生11：（补充）不然，黑板上应该写“对剪后两边完全重合”了。（笑）
生12：再说，如果剪开的话，原来图形的特点已经被破坏了，最多只能说现在的图形是轴对称图形而已。（掌声）
师：在这么多事实面前，你们（另一方）还有什么想说的吗？
生8：我也同意它不是轴对称图形了。（这时，他的同桌又将手高高举起。）
生13：我还有补充。如果平行四边形的四条边长度一样，变成一个菱形的话，那它就是一个轴对称图形。
面对他突如其来的补充，笔者也颇感意外，并临时剪了一个菱形。
师：请你给大家说说，为什么它是一个轴对称图形。
生13：（边折边说）把它对折后，两边完全重合，所以它是一个轴对称图形。
师：你的发现告诉了我们一个道理，也许一般的平行四边形不是轴对称图形，但有些特殊的平行四边形却是轴对称图形，比如－－
生：菱形。
生14：（或许是受前面的启发，激动地）我觉得还有长方形和正方形，它们对折后也能完全重合。
师：真好。感谢大家，是你们让大伙的思考从一般走向了特殊。的确，这样考虑问题，要比原来完整和准确多了。
生15：既然这样，我觉得屏幕上这个三角形虽不是轴对称图形，但有些特殊的三角形却是的。
师：是吗？你觉得哪些三角形是轴对称图形？
生15：比如等腰三角形和等边三角形。
（教师给出这两种三角形，引导学生上台操作，说明它们都是轴对称图形。）
师：能从平行四边形自觉联想到三角形，这是多么有益的一种学习方法啊！
生16：我想说这个正五边形。通过对折，我发现它是一个轴对称图形，但如果它不是正五边形，那它就不是了。（其余同学频频点头。）
（正在这时，笔者发现有位学生画了这么一个五边形：　，教师顺势拿起这个图形，放在实物展台上。）
师：瞧，这位同学画了这样一个五边形，想像一下，它是轴对称图形吗？（是！）看来，除了正五边形外，有些特殊的五边形同样也是轴对称图形。
生17：我认为圆是一个轴对称图形，因为把它对折后两边能完全重合。而且圆的直径就是它的对称轴。
师：能和圆的其它知识联系起来进行思考，真不错。不过，准确地说，直径所在的直线才是圆的对称轴，你们说是吗？（是。）
生18：我还想补充，不管什么圆，它都是轴对称图形。
师：你的补充很有见地。讨论平行四边形、梯形、三角形时，我们既要考虑一般的情况，又要考虑特殊的情形。但圆就不同，所有的圆都是轴对称图形，不存在什么特殊的情况。看来，数学学习中，具体的问题还真得具体对待。你的补充让我们的思考又向前迈进了一步！（全班学生报以热烈掌声。）


[思考]
回顾这一教学片断，没有了多彩的画面、绚丽的音乐，没有了历史的厚重、现实的丰富。然而，正是透过朴实无华的教学实录本身，我们发现，短短的教学时空里，学生不仅对“五个平面图形中哪些是轴对称图形，哪些不是”这一问题获得了清晰、深刻的认识，更由此引申开去，在对话和思辩中获得了对一般和特殊的辩证思考，对直觉猜测与实践验证复杂统一性的深刻体会，对思维全面性和深刻性的丰富体验等。特定的时空里，学生的思维始终处于积极活跃的状态，他们尽享因数学思考而带给他们的思维的确定性、变通性、灵活性、辩证性。数学的真理感、数学思考的内在美、数学丰富的思维方式等，正是在这样一种润物无声的对话和思辩过程中悄悄滋润着学生心灵，化作学生思考的力量源泉。
清楚地记得，当执教完“走进圆的世界”一课后，有人提出，“虽然这节课的文化味体现得很充分，但普通的数学课，比如计算，比如应用题，再比如一般的概念教学，如何体现数学的文化特性？”那一刻，我无以答复。如今想来，当时的无言以对，背后折射出的恰恰是自己对数学文化片面、狭隘的理解。
的确，文化不是外在附属品。数学文化也不是简单意义上的“数学＋文化”。在关注数学历史性和数学美的同时，我们更应该对数学文化有一种更为家常的朴素理解：文化者，以文化人也，数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗。从这一意义上讲，数学文化又怎会仅属于“圆”和“轴对称图形”？任何数学课堂，我们可以触摸到数学文化的脉搏，因为，拥有思考，便拥有了数学的文化力量。

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“柳暗花明”

——“因数和倍数”一课及其它

正所谓“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”。“轴对称图形”一课中，恰恰在自己最不在意的一个环节里，绽放出了数学文化最为本真的一面，也让自己对数学文化的理解和思考有了一个新的飞跃。为了使新的思考转化为现实的课堂实践，2005年春，我又开始了新的关于数学文化的探索。
这次选择的是一节普通的数学概念课——“因数和倍数”，没有图形的直观和具象，也没有丰富、直接的现实背景作支撑。一切从朴素中开始。限于篇幅，此处只呈现当时的教学预案。

[案例3]《因数和倍数》预案及思考
活动1：巧用模型，建构意义
教师出示12个完全相同的小正方形，引导学生在头脑中将它们摆成一个长方形，并试着用乘法算式将相应的摆法有序地表示出来。在此基础上，师生共同建构因数和倍数的意义。
在此基础上，结合具体内容，引导学生感受因数和倍数的相互依存性和辩证关系，发展学生的数学思考。

活动2：自主探究，提升思考
明确概念内涵后，教师引导学生自主研究“36的因数”和“3的倍数”。考虑到学生在认知背景、思维品质及思维方式上的差异，学生中势必会出现不一样的思考过程和结果：或者全面、或者片面；或者有序，或者无序；或者肤浅、或者深刻。此时，教师应该引导学生将自己的数学思考展示出来，在师生之间多维的对话、思辩、质疑、争论的过程中，彼此取长补短，相互吸纳。片面的思考趋于全面，无序的思维走向有序，肤浅的认识归于深刻。思维品质在沟通中获得提升，思维方式在比照中得以修正，思维能力在对话中得到发展。

活动3：激化冲突，活化思维
引导学生分别思考：在1－10这些自然数中，哪些数一定是20、　4和
这些两位数的因数。
开放而充满智力挑战的问题情境，学生在认知冲突中展开思维，寻求结论，并在思维和对话中使自身的认识从粗放走向细腻和深刻，相应的数学知识也在交流中得以有效渗透。

活动4：探寻规律，感受奥秘
教师引导学生利用9颗珠子，在计数器上分别拨出不同的两位数。并引导他们观察并思考，这些数和9之间有没有什么特殊的联系？可以想见，当学生们最终发现，9颗珠子拨出的两位数竟然都是9的倍数时，心头涌起的惊讶是何等强烈而真切。在此基础上，再自然引导学生展开联想、猜测：8颗、7颗、6颗……珠子拨出的两位数，会不会也是8、7、6……的倍数。由此，开放而充满召唤的问题情境，丰富而多变的数学规律，使原本枯燥、乏味的数字绽放神奇的力量。

活动5：内部拓展，彰显魅力
先引导学生猜一猜100以内的自然数中谁的因数最多。当最终的结果“60”出人意料地展现在学生面前时，教师再适时介绍《数字王国——世界共通的语言》一书中关于“时分秒进率为60”的原因的描述，并进一步拓展到“1日＝24时”“1年＝12月”中24、12的来由。既激发学生的探究兴趣，引领学生感受数字在人类历史发展进程中的神奇作用，更激活学生的辩证思考，体会数的大小与因数多少之间的复杂关系，获得对于因数更为立体、更加深刻的理解。
接着，再引领学生走进和因数有着密切关联的另一特殊数学现象：“完美数”，在认一认、找一找、比一比的过程中，引导学生感受完美数的美妙结构，体会数学家对于完美数的无穷探究兴趣（前100亿个自然数中，只找到6个完美数，需要数学家们付出怎样的执着和艰辛），间接体验数学的内在魅力，以及数学家孜孜以求、不断超越的数学探索精神。

活动6：沟通联系，丰富内涵
从两千多年前古希腊人最初从因数、倍数角度研究音乐，到希腊建筑中大量倍数关系的存在与其雄伟、牢固、美观之间的内在联系，使因数和倍数超越一般的数学概念，获得一种美学意义上的气息。在此基础上，再从“数论”的角度重新关照“因数和倍数”，使新的知识在深度和高度上获得提升。
很难说这是一次成功的探索，或者说它已经体现了数学文化之真义。但有两点是可以肯定。其一，摆脱“空间和图形”领域，将探索触角伸向“数与代数”，选择枯燥的“因数和倍数”这一内容，本身反映的便是一种求真、务实的研究态度，一种对各类型数学课堂中如何体现数学文化问题的自觉追求。其二，在思考和研究这一课时，能自觉跳出“数学＋文化”的窠臼，从更为开阔、全面、辩证的视角理解并构建数学文化课堂。尤其是从以往对数学历史资料的简单引入，到本课全面关注学生数学思考的提升、数学思维方式的培养，关注数学精神品质的有机渗透等（这些在教学预案中均有描述）。这一转变，丰富了数学文化的内涵，为我们今后开展数学文化的理论探索和实践研究，开掘了新的思路，展现了新的契机，描摩了新的未来。

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不是尾声
三次探索，可谓一咏三叹。应该说，每一次实践和案例的背后，都沉淀下对“数学文化”更为深入、更接近于本质的思考。
如今，细细想来，数学不只是知识和方法的简单汇聚，它应该是一个开放的文化体系，是人类智慧和创造力的结晶。它在给予我们知识与方法的同时，更以一种文化的姿态改变人类的思考品质，拓展人类的视野，丰富人类的精神世界，增进人的本质力量。数学的文化特征不仅仅只在于数学的历史性和美学价值，凝聚在数学之中的美妙绝仑的数学思维方法、探索不止的数学精神、求真臻善达美的数学品格，对于一个人全面和谐的发展，都具有极为重要的意义!可以说，数学是“真”、“善”、“美”的完美集合！因而，我们在承认和弘扬数学工具价值的同时，更应该看到它的文化价值，并借助日常的数学教育实践，使其外化为一种现实的数学影响，努力彰显数学的文化品性，真正使数学学习成为学生获得知识、形成方法、感悟价值、提升精神的生命历程。
三次探索，与其说让我在实践、交流、思辩的过程中一步步更加接近了数学文化之本质，莫如说，它见证了一段真实、执着、不断修正、不断提升的数学文化研究历程。它真切地告诉自己，教师的研究应该源自真实的课堂。唯有向课堂回归，唯有真正立足实践、反思和超越，我们的教育研究才能真正体现出它的生命张力和再生力。
我愿意携着这一认识，继续我数学文化的探索，以一个行者的姿态，行走在数学教育教学的道路上，且行且思，且思且行。

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供学习参考，

绿色教育

饮鸩止渴

刘祥

值得学习