千年的趣题——“鸡兔同笼”的现代版教学

jsjfxx

一、主题与背景

“用假设法解决问题的策略”是义务教育课程标准实验教科书苏教版第十一册第七单元《解决问题的策略》中的第二课时的教学内容。本节课是我校的一次校内教研活动课。第十一册第七单元《解决问题的策略》是新课程的一个创新，是在老教材中所没有涉及的。本课时选取的素材是类似与我国古代的传统数学名题“鸡兔同笼”问题，“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代数学名著《孙子算经》（成书时间大概从东晋、南北朝时代到隋、唐之间。其体例与《九章算术》相同）中。教学的目的是让学生继续感受替换的数学思想方法，积累解决问题的策略。教材在本单元安排这样的问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。本单元选择学生能够接受的素材创设问题情境，通过让学生主动经历探索过程，帮助学生积累思想方法，发展解题策略。在教学中，我始终都是着眼于帮助学生体会数学思想，积累数学方法，感受解题策略。

基于这些认识，我设计了这样的教学思路：

1、情境引入，引导假设，自主探索。学生可以用以前学习过的各种策略自己解决，也可以想新的方法，充分展示学生真实的思考。

2、验证假设，引导替换，有序思考。在学生自主探索的基础上，教师组织学生进行交流，通过对学生各种策略的剖析，让学生明白如何有序思考，如何合理替换，如何进行调整。

3、比较辨析，寻找共性，提炼策略。可以用各种策略来解决，要根据具体问题来选择具体的策略。但无论哪种都基于假设、比较、调整、确认。

4、适当拓展、渗透，让学生感受数学的魅力。通过对“鸡兔同笼”古题的理解，再次加深对用假设法解题的理解，进一步体验策略的价值。

饮鸩止渴

谢谢

饮鸩止渴

好好好

并且感

很好的总结，学习了

荷塘@月色

xjinshan

谢谢分享。

jsjfxx

供参考，

jsjfxx

三、教学反思
对学生的发展而言，解决问题的学习价值不只是获得问题的结论或答案。解决问题的教学意义在于，学生通过解决问题的数学活动了解一些解决问题的策略，掌握一些解决问题的方法。在这一课的教学中，先让学生通过思考、讨论，得出了一些方法，然后让学生谈一谈解决问题的策略，有了解决问题的策略之后，再让学生思考具体的解决问题的方法，可以用假设法来解决问题，并在交流中发现用假设法还可以根据一定的规律来假设，最后让学生根据自己掌握的方法来解决问题。通过解决这个“租船问题”，学生掌握了一种数学的思维方法，增强了学生解决问题的策略意识。
（一）要让学生经历解决问题的完整过程，在过程中寻找有效的、合适的解决问题的策略。
解决问题策略的获得过程实际上是学生在经历一个解题过程中的感悟过程，教学时，在学生在明确要解决的问题后，我让学生先自己想一想并试一试准备怎样来解决这个问题，促使学生尽可能地调动已有的经验，运用已有的解题策略去尝试解决问题，使学生对自己的策略是否可行有一个初步的估计和体验。而后，老师组织学生展开交流，在交流与碰撞中逐步深入的体会假设、替换策略的运用过程极其价值。
（二）数学问题的研究方式要顺应学生的思维特点，激发起学生主动探索的欲望，给学生以自由思考、自由表达的空间，这样学生的兴趣才会浓起来，思维才能活起来。
“鸡兔同笼”问题相对是比较抽象的，教材选取了贴近学生生活的划船问题，本身容易激发起学生研究的兴趣。再加上画图、列表与假设、替换策略的整合运用，使学生直观地把握了替换过程中的道理，感受到替换策略的在解决问题中的价值，从而能自觉地接受这种数学思想方法。在展开研究的过程中，我引导学生其展示思维过程，组织全班同学参与到和他的讨论之中，并且尊重该学生的选择，并没有硬牵着学生去关注与42人相差的人数与每只大小船能坐的人数差之间的关系，而是顺应于学生的思维，学生想把大船调整成几只就把大船调整成几只，按照他们的想法组织讨论，使学生感受到自己探索的价值，获得成功体验。因此，课堂中才会有学生产生了更多不同的假设方法，有假设大船5只小船5只的，甚至有开玩笑说假设大船6只小船4只的，最终使学生认识到只要不违背大船、小船共10只的条件，假设的方法是很多的。
（三）解决问题的策略学习，最终要指向问题的解决。
有的人认为，教学解决问题的策略，重点是感受策略，而忽视了学生是否真正能解决问题。我认为不其然，如果学生不能很好地解决问题，又何谈对策略的感受和领悟呢。因此在解决问题的过程中，不仅仅是要使学生认识替换策略的存在，也要让学生充分经历替换的过程，能在解决具体问题中有效合理地运用替换方法解决问题。
如何进行替换是本节课的重点和难点，教学中，我顺应学生思维，最初是根据1只大船9只小船能坐的人数比42人少了10人，使学生直觉的认识到大船太少，要增加大船，减少小船；而后，经历这样几次调整后，学生开始关注到少了的人数与大船小船能坐的人数差之间存在着一定的关系，但，这时，我并不要求每个学生都能理解。因为这一步的理解是最难的，对一大部分学生来说，还需要直观形象的支撑，才能帮助理解。我在这个环节，把重点定位在感受替换的策略，开阔学生的思路，通过“你还有不同的想法吗”的问题，促使学生寻找不同的解题策略。在运用画图的策略解决问题的过程中，借助直观图画与数学思考相结合，帮助学生很好地理解了替换的依据，从而真正把握替换的方法，使学生在经历对比之后能自主选择和运用较为简单、直接的方法解决实际问题。
（四）要引导学生关注问题特点，能根据问题呈现的特点选取合适的解题策略。
解决问题的策略很多，光我们教材从四年级开始编排进去的，学生耳熟能详的，就有列表、画图的策略、倒推、替换的策略等等，再加上学生在平时数学学习中提炼的举例的策略、假设验证的策略等等。这些策略，有些是侧重于解决问题的方式的，有些是侧重于解决问题的思维方法的；而且，不同的策略，有其适合使用的不同问题。因此，我认为引导学生关注问题特点，帮助学生能根据问题呈现的特点选取合适的解题策略也是有必要的。同时，要沟通各种策略，让学生感受到解决问题的策略是多样的，灵活的，不是贴标签、套公式的，解决问题需要灵活运用各种策略。教学中，我提出“回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢”，引导学生既感受到用替换的策略可以解决什么样的问题，又让学生感受到解决同一个问题有不同的策略，
总之，数学的学习，对学生来说，能使其终身受用的，绝不仅仅是知识，数学思想方法获得是更重要的。我想这也许是解决问题的策略的教学目的所在吧。

jsjfxx

二、情景描述
1、出示例题：上次社会实践，我们去了玄武湖公园，六（1）班的42位同学去划船，他们一共租用了10条船，正好坐满。每只大船能坐5人，每只小船能坐3人。你知道他们分别租用了几条大船和几条小船吗？
（1）自己把题目读一读，你能找到那些数学信息，要我们解决什么问题。
（2）先自己想一想，你准备怎样来解决这个问题？然后和小组里的同学交流一下，并动笔试一试你的策略是否有效。
2、组织交流。
师：下面我们一起来交流一下你的想法。
（1）生：我打算先凑一凑。算一算如果大船有1只、小船有9只，一共能坐多少人，再和42人比较一下相差多少人。
师：好，我们把你的意思用表格列出来。
大船只数        小船只数        总人数        和42人比较
1        9        1×5+3×9=32        少了10人
师：请大家想一想，这里的“少了10人”是什么意思？
生1：在这10只船中，能坐船的人数比实际坐船的人数少了10人，
生2：也就是如果大船是1只、小船是9只时，就会有10人没有坐到船。
师：是啊，还有10人没有坐到船，说明我们凑的1只大船、9只小船不合理，哪种船太少了呢，可以怎样调整呢？
生：大船太少了，我想把大船改为3只。
师：如果大船改为3只，那么这时小船就是租了几只，为什么？
生：小船7只，因为题目中说大船、小船一共是10只，船的总只数是不变的。
师：好，我们一起来算一算，这时的总人数情况。
大船只数        小船只数        总人数        和42人比较
1        9        1×5+9×3=32        少了10人
3        7        3×5+3×7=36        少了6人
师：能分析一下，“少了6人”，说明什么吗，可以怎样调整？
生：“少了6人”说明还有6人没有坐到船，大船还是太少。
师：你想怎样调整呢？
生：可以把大船改为5只，小船也改为5只。
师：好，我们继续来算一算。
大船只数        小船只数        总人数        和42人比较
1         9        1×5+9×3=32        少了10人
3        7        3×5+3×7=36        少了6人
5        5        5×5+3×5=40        少了2人
师：看到“少了2人”你又想到什么呢？
生1：大船还是太少，再调整为大船有6只，小船有4只。
圣2：大船肯定是6只。
师：能说说你是怎样想的吗？
生2：一只大船比一只小船多坐2人，现在还有2人没有坐到船，那么，把一只小船替换成一只大船，就可以多坐2人，所以，大船再多一只就够了，所以大船肯定是6只，小船就是4只。
师：大家觉得他说得有道理吗，我们可以计算验证一下。
大船只数        小船只数        总人数        和42人比较
1         9        1×5+9×3=32        少了10人
3        7        3×5+3×7=36        少了6人
5        5        5×5+3×5=40        少了2人
6        4        5×6+3×4=42        正好
生3：我觉得不用这么凑，从第一次凑了1只大船、9只小船少了10人可以看出还有10人没有坐到船，那么把一只小船替换成大船就可以多坐2人，10÷2=5只，说明要把5只小船替换成大船，所以大船就是6只。
师：说得多好呀，同学们能想明白吗？刚才我们用先假设大船有1只、小船有9只，再用列表假设再调整的方法解决了这个问题，当然在调整的过程中，同学们也展开了深入的分析和思考，进行了合理的替换，有的同学还能通过大小船之间的关系，很快替换到最后的结果，非常了不起。回顾一下，在这个过程中，你是怎样来思考的，运用哪些解决问题的策略呢？
生：我们运用了列表的策略、替换的策略。
师：是的， 其实大家还用到一个重要的策略：假设的策略，在替换之前，大家先假设大船是1只，小船是9只，这就是假设。
生1：老师，我想直接假设大船5只，小船5只，可以吗？
其他学生（异口同声地）：当然可以。
生2：老师，我直接假设大船有6只，小船有4只，可以吗？
（全班大笑）
师（笑）：当然也可以，如果你足够幸运的话！
（2）师：同学们，刚才我们围绕钟丹丹同学的想法展开了交流，通过列表、替换的方法解决了这个问题。你还有不同的想法吗？
生：我是画图来想的。先假设这10只都是小船的。我想，假设这10只都是小船，那么一共可以坐30人，差12人没有坐到船。
师：好，我们用图画把他的意思表示出来。假设10只都是小船，那么可以坐3×10=30（人），还差42-30=12（人）没有坐到船。
师：那么应该有几只大船呢？为什么？
生：应该有6只大船，因为把一只小船换成大船就可以多坐2人，12÷2=6只，所以大船就是6只。
师（边画图边引导思考）：大家明白吗，我们一起来想一想。还差42-30=12人没有坐到船，那么我们必须要把一些小船换成大船，一只小船换成大船可以多坐2人，两只小船换成大船可以多坐4人，要几只小船换成大船就可以让这12人都坐到船呀？
生：6只。
师：对， 要12÷（5-3）=6只大船。
师：那么小船要几只呢。
生：10-6=4只。
师：根据算出的答案算一算，是不是正好能坐42人，你会检验吗？
生：……
3、引导回顾解题过程，感受替换的策略。
师：回顾一下，刚才这个问题有什么特点，我们是怎样来解决这个问题的呢。这两种方法有什么共同点呢？
生1：这两种方法都是先假设的，第一种方法先假设有9只小船1只大船，第二种方法先假设10只都是小船。
生2：这两种方法都要把小船替换成大船。
生3：这两种方法都要算比42人少了几人。
师：是啊，大家观察比较得很到位。这两种方法实质上都运用了假设、替换的策略。列表中，有的同学是逐步调整替换的；先假设10只都是小船再画图解决问题的方法中，大家是找到大小船之间的关系直接替换到位的。
师：除了可以假设10只都是小船，还可以用什么方法找出答案呢？
生：假设10只都是大船。
师：好，可以结合画图的方法在自备本上做一做。
（学生完成后再次组织交流）
4、组织对比，发现规律。
师：刚才，解决这个问题时，有的同学是从1只大船、9只小船开始假设再调整替换的，有的同学是从全是大船开始假设的，也有从全是小船开始假设的。你觉得假设后怎样替换能比较快的找出答案呢？
5、感受数学文化，激发学习兴趣。
师：实际上，今天我们接触的问题是我国古代的数学名题之一，我们称之为“鸡兔同笼”问题。它出自于我国古代的一部算书《孙子算经》。书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”大家看，我们刚才解决的问题和这个鸡兔同笼问题是不是有共同的特点呢？我国古人早在几千年前就已经会使用假设的策略来解决问题，多么了不起啊！