张齐华教学研究专辑

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发挥表象的中介作用

南京市北京东路小学 张齐华

表象是以前感知过的事物在头脑中留下的形象。表象与感觉、知觉都属于感性认识，但表象和直接作用于感觉器官的事物在头脑中产生的形象不同，它是事物不在眼前时头脑中出现的形象。表象是从感知而来的，客观事物只有通过感知才能在人们的头脑中形 成表象，但表象比感觉、知觉更进一步，具有直观形象性和初步概括性双重特点。所谓直观形象性，是指大脑中的那些感知过的事物、事件的形象、情境，就像历历在目那样真切、清晰。由于表象的这种直观形象性，学生看到或听到某一概念名称，便能浮现出它的具体形象和内容。所谓初步概括性，是指表象常常综合了多次感知的结果，概括了多次感知的内容，个别事物的特点消失了，留下的是事物的一般特点。例如，头脑中的三角形表象反映的已经不是某个具体三角形的形象，而是包括所有三角形本质特征的形象(没有具体的边长、角度大小)。表象源于感知、高于感知，成为由感知向抽象思维过渡的中间环节。实验证明，如果让不会口算或心算的学生先借助实物计算，然后把实物掩盖起来引导他们想着实物计算，也就是利用表象进行计算，那么他们常常能够顺利完成口算或心算。

表象可以分为记忆表象和想象表象(也称再造表象)。感知过的事物在头脑中重现的映象叫记忆表象。由记忆表象或现有知觉形象改造而成的新形象，叫想象表象。人们的知识经验主要是通过词和表象两种形式保留在头脑中的。有了表象，就有了记忆，就可能发生思维、想象等智力活动。表象不断丰富，对学生记忆力、思维力和想象力的发展具有重要的意义。根据表象的特点和它在认知活动中的作用，在小学数学教学中要注意几个问题。

一、建立和获得表象，促进感性经验向抽象思维过渡

对于抽象的数学知识，生动的直观形象毕竟只能为学生提供理解的起点，表象的建立则有助于他们更快地摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡。有经验的教师在学生感知了具体事物或模型以后，常常隐去实物或模型(有时让学生闭起双眼)，在脑中回想刚感知过的事物或经历过的情境，以建立准确、鲜明的表象，而且以此为中介，进行抽象思维。如为认识面积单位平方厘米，在让学生观察颜色鲜明的平方厘米模型的形状和大小后，教师可要求学生闭上眼睛静心想：“刚才看到的平方厘米模型是什么形状的”、“它有多大”、“平方厘米的模型在脑子里的形象是怎样的”。接着，让学生睁开眼，用手比画一下平方厘米模型的样子和大小，通过夕讹表象的过程进一步深化表象。

对静止事物感知后在头脑中留下的形象是静态表象。经演示、操作、活动等在头脑中留下的形象、情境是动态表象，这种动态表象除了跟静态表象一样在认知过程中发挥中介作用外，它所反映的情境、过程更能引起人们对知识经验的前因后果和来龙去脉的

深入思考，有利于人们在进一步展开的抽象思维中更好地把握过程和结论的关系。在数学教学中，教师应精心组织直观演示与操作活动，展示清晰的过程和程序，并通过回显、复述、提问等办法，帮助学生把相关情境、过程留在脑中，形成动态表象。这不仅对于学习抽象的概念、性质、规律与方法极其有利，而且能使学生在“知其所以然”上获得深刻的理解和牢固的记忆。值得指出的是，这种动态表象的获得在日后的问题情境中常可通过原型启发而爆发出奇异的解题设想来。如教学圆柱的体积计算公式时，某教师引导学生动手操作，把圆柱切割、拼补成近似的长方体，推导圆柱体体积计算公式。有些学生在桌子上把变形后的近似长方体一会儿竖放、一会儿横放，在横放时观察到其底面为圆柱体侧面的一半，其高为圆柱体的底面半径……获得了这一情境表象后，在解答“一个圆柱体的侧面积为314平方厘米，底面半径为5厘米，求这个圆柱体的体积”时，这些学生不仅能按一般方法3.14×52×[3.14÷(5×2×3.14)]解答，而且能凭借动态表象复现的操作过程；给出3.14÷2×5的巧妙解法。

二、丰富和积累表象，促进学习效率韵提高

数学是用数量关系与空间形式来反映客观世界的，具备丰富的表象是学生学好数学的重要前提。心理学家曾对一批弱智儿童就表象问题进行过专门的测查，发现他们大脑中有大片“空白”，一般儿童脑中所具有的表象在他们的脑子里面很少反映，因而严重 影响了他们的抽象思维和直觉思维。他们中的大多数人感知迟钝，脑中储备的表象数量少。与此相反，一些思维品质好的学生大脑中存储了丰富的表象。学习新知时，他们能说出、画出许多与新知相关联的不在眼前的事物、情境。这些学生大多感知敏锐，平时能留意观察身边的事物，对什么事物都喜欢看一看、听一听、摸一摸。教师要尽可能让学生接触周围的事物，以积累各种各样的表象；要尽可能让学生接触生活中的数学活动，如让学生利用实物数数，接触与摆弄各种几何形体的物品、玩具，经历购物、付钱、分物等活动……当积累了越来越多的数学表象以后，学生就能在学习中得心应手，提高学习效率。

三、唤起和提取表象，实现问题的有效解决

学生在学习和生活中，通过观察与活动，获得并储备了各种表象。在解决问题时，却往往因为有关的表象不能及时浮现而茫然不知所措。教师要善于引导学生根据表述问题的文字或语言，唤起学生头脑中相应的表象，必要时还可以外化具体的形象或情境以帮助学生解决问题。如，一年级学生在解答“小朋友排队，从前数起或从后数起，小明都排在第6位，这队小朋友共有多少人”时，常常感到困难。教师就可引导学生先将“从前数起或从后数起，小明都排在第6位“变成”从前数起，小明排在第6位；从后数起，小明也排在第6位”。然后，问学生：“从前面数起，小明排在第6位是什么意思?如果用★代表小明，用O代表排在小明前面的小朋友，你们能画出排队的情况吗?”学生画出示意图后，教师继续引导学生用●代表排在小明后面小朋友画出整队学生排队的情况：○○○○○○★●●●●●。通过画图，学生有效地提取了生活表象，进而列出正确的解答式：5+1+5=11(人)。有些问题，如学生不能从字面上把握其中的数量关系或空间位置关系，教师可让学生回想有关形象或情境，必要时还可以出示模型或图画，唤起学生头脑中既有的表象，并引导学生借助表象解决问题。如解答”一个长32厘米、宽20厘米、高30厘米的金鱼缸，前面与左边的两块玻璃破了，需要配两块多大的玻璃”时，部分学生因为对长方体的各个面以及这些面的长、宽与长方体棱的对应关系的表象不清晰，出觋思维障碍。教师可让学生想象：金鱼缸前面的那块玻璃在长方体的什么部位? 它的长就是长方体的什么?宽呢?金鱼缸左边的那块玻璃……这样的引导能帮学生唤起长方体的表象，促进学生顺利地解答问题。

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供学习参考，

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课堂实录如下：
教学过程：
一、认识倍数和因数
师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?
生：1×12
师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？
生：12个，摆了一排。
师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？
生：三四十二
师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？
生齐：2×6
师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。
师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。
师板书：因数和倍数
师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？
师：谁先来？
生说略
师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？
生：12是12的因数，12是12的倍数。
师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？
生：自然数
师：而且谁得除外。
生：0
师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。
3、5、18、20、36
生说略。

二、探索找因数倍数的方法
师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？
生1：3、18
师：还有谁？
生2：36
师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？
生1：1
生2：4
生3：6
师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。
学生填写时师巡视搜集作业。
师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。
生1：都对的
师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。
生2：写全了
生大声说：没有！
师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？
生：没有写全，少了3、6、9。
师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？
生：36÷4，只写了4，没写9
师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？
生齐：两个两个找。
生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。
师：张老师提炼出两个字："顺序"，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。
师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。
生：他应该把4、3调换一下。
师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？
师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？
生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。
师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。
生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。
师：你看你那个舒服吗？
生：舒服
师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？
生：乘法口诀
师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。
师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？
生1：找到开始重复就不找了
生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。
师：体会体会1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。
生：
生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。
师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20
生齐：1、2、4、5、10、20
再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报
师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。
生：21、300
师：你能把3的倍数全部写下来吗？
生：不能。太多太多了。
师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。
学生练习纸上完成，汇报。
师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？
生1：3×1、3×2
师：能理解吗？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。
生：略
师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数
学生练习纸上完成：50以内7的倍数。
师：谁来说说这一次你找了哪几个？
生：7、14、21、28
师：为什么不加省略号？
生：因为给了一个限制。
师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？
生：略

三、感受倍数和因数的神奇奥秘
师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？
生1：27
生2：36
师：把你知道的两位数跟同桌说一说。
学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：
18、27、36、45、54、63、72、81
仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？
生：都是9的倍数
师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）
师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。
师：张老师问一个问题，好不好？1-100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？
生1：1
生2：99
师：还有谁要发表的？
生3：9
师问生2：为什么认为99的因数最多？
生：9是最大的。
师：张老师公布一下答案： 60
师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60
秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。
师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的
1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律
师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为"完美数"。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？
生：1、2、3、6
师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？
学生试这四个数。
师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。
师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？
生：好奇心
师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

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张齐华老师执教的《因数和倍数》课堂实录

有幸去南京聆听了张齐华老师执教的《因数和倍数》，感触颇深。张老师那崭新的教学理念，独特的教学设计，丰富的文化底蕴，风趣幽默的谈吐，深深打动了我。他那开放而又充满活力的课堂教学，令我感触很深。

感触一：充满人性化的评价语
听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。如评价作业纸时，张老师说"关于A这种方法你有什么话要说？"（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的："能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？"还有，尽管学生是找错了，他这样说："其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？"……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。

感触二：丰富多彩的文化信息。
关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。"计数器'九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。

感触三：善于引导，让学生学会思考
张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了"教育的引导者。"如："看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？"、"他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？"……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。
只是这一堂课上了55分钟，这在日常的教学中是不允许的，但在这节课中，没有这增加的十几分钟，简直是一种遗憾，那么如何解决现实与理想的矛盾呢？

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张齐华老师《认识整万数》实录

一（屏幕呈现计数器，教师引导学生简要回顾计数单位、数位等知识。）（图略）
师：我们都知道，利用计数器，我们可以拨出大小不同的数。不过，每一数位上最多只能拨几颗珠子？
生：最多只能拨10颗。
生：不对，应该是9颗。
师：想想，要是再添一颗，满了10，那就得——
生：满十就得向前一位进一了。(屏幕显示：满十进一。)

二 师：同学们手中都有一个这样的计数器（打印在纸上），还有一些珠子（用围棋子代替）。既然大家已经清楚了计数器上拨珠的规则，下面，我们就一起来玩一个拨数的游戏，好吗？ （教师依次要求学生在计数器上拨出3、30、300，学生操作很熟练。拨300时，不少学生直接将十位上的三颗珠子平移到百位上，更有部分学生拨完300后顺势拨出了3000。）
师：看来，已有同学猜出第四个数该拨什么了，那就把它拨出来吧。（学生拨出3000）看来，大家都挺有感觉！现在，请大家回顾一下刚才拨的四个数，它们大小一样吗？
生：不一样。
师：可是，每次用的珠子的个数—— 生：一样的，都是3颗。 师：奇怪，既然都是3颗珠子，怎么会表示出不同大小的数呢？
生：因为它们所在的数位不同。
师：哦，同样的3颗珠子，拨在不同的数位上，表示的数的大小也不相同。那好，既然大家已经找到规律，猜猜看，第五个数该拨什么了？
生：三万。 师：（屏幕呈现30000）三万是我们以前从未学过的大数。请大家仔细观察这个数，再看看你手中的计数器，你觉得自己能想办法拨出这个数吗？ （学生观点不一。）
师：瞧，出现不同的声音了，这样的课堂多好!这样，认为能拨出来的同学，谁来说说你打算怎么拨。其余同学可以补充，也可以反驳。
生：我想，10个一千是一万，30个一千就是三万。所以，我打算在千位上拨30颗珠子。 （有学生听明白了，也有学生摇头。见此情形，教师在屏幕上呈现下图。由于珠子远远超出9颗，反对的同学发出一片唏嘘声。）（图略）
（教师引导学生分析，手头的计数器拨不出三万，是因为数位不够。然后教师引导学生与同桌合作，拨出三万这个数，再进行交流。）
生：我们发现，一个计数器只有四个数位，于是我就把我俩的计数器叠在一起，把叠在下面的那个计数器露出一个数位，这样合起来就有五个数位了。我们在第五个数位上拨了3颗珠子，那就是三万。 （教师没有预料到学生会想出这一方法，因而课件上也没有作相应准备，只得临时请这位学生在实物展台上作了展示。）
生：我们的方法和他们有点类似，不同的是，我们直接将两个计数器拼在一起，这样就有了八个数位。然后在左边的计数器的个位上拨上3颗珠子。 （屏幕呈现该生的拨法。）（图略） 师：瞧，又出现不同的声音了。显然，这两种方法都是正确的。不过，你更欣赏哪一种方法呢？ （绝大多数同学都认同了第二种方法。为了保护想出第一种方法的同学的积极性，教师对他们的做法同样给予了充分肯定。）

三 生：不过，对于第二种方法，我还有一点补充。个位上拨三颗珠子，表示的是三，不是三万。我觉得应该把左边这个计数器上的“个”改成万。
生：同意。因为“千”的左边应该是“万”。 生：改成“万”以后，这一位就成了“万位”，万位上拨三颗珠子，正好是三万。
生：我还有补充，既然这里的“个”改成了“万”，那旁边的“十”“百”“千”也该改一改。 （教师肯定了他们的想法，组织学生合作修改，然后在屏幕上呈现结果。）（图略）
师：可是，张老师还有一个奇怪的发现。有些同学在调整这些计数单位时，居然连橡皮都没用，你们知道他们又是怎么调整的吗？
生：我猜想，他们可能是直接在“十”的后面添上“万”就成了“十万”，同样，在“百”“千”的后面添上“万”，就成了“百万”“千万”。
生：我就是这样改的，因为我发现原来“十”的位置正好对应着“十万”，所以我就直接添了一个“万”字，“百万”“千万”也一样。
师：听听，多么了不起的发现！原来，新增加的计数单位千万、百万、十万、万和原来的四个计数千、百、十、个之间还存在着一一对应的关系呢! （教师借助多媒体，演示万级四个计数单位与个级四个计数单位之间的一一对应关系。）
师：……正因为如此，我国的计数方法中把这四个数位统称为万级，而原先的千位、百位、十位、个位则统称为个级。
师：有了新的计数器和数位顺序表，我们就能认识更大的数了。张老师是个汽车迷，这两天从网上收集了几款我喜欢的汽车图片及它们的价格。先来看这辆大众汽车。（学生轻声估价：20万、30万不等，教师随即出示价格：23万元）那二十三万究竟是多少，你能在新的计数器上拨出这个数吗？ （学生试拨，教师巡视，作个别指导，并请一学生在黑板上试拨。）
师：能说说你是怎么想的吗？
生：我在十万位上拨2颗珠子，表示二十万，在万位上拨3颗珠子表示三万，合起来就是二十三万。
师：拨得好，说得更好！不过，老师发现个别同学是这样拨的（屏幕上呈现计数器，上面拨了“23”这个数，学生纷纷表示反对）。
生：不对，他拨的是二十三。
生：二十三万应该拨在万级，而他拨在个级了。
师：是呀。同样的二十三，拨在个级，它只表示二十三个——（一）；拨在万级，它才表示二十三个——（万），二十三个万就是二十三万。 （教师要学生试着写一写23万。）
师：（请其中一位学生）老师想采访一下你，你一开始只写了三个零，后来改成四个零，能说说你为什么这样改吗？
生：原来我以为多少万应该是一个五位数，后来才发现，这个数个级上四个数位一珠子都没有，应该用四个0来占位。
生：我来补充。如果只写三个零，那就成两万三千，而不是二十三万了。
生：而且我觉得，如果只写三个零，那个级上就只剩下三个数位了。

四 师：同学们说得都很好。看来，二十三万的个级上没有珠子，应该写四个0占位。老师这儿还带来了另外两款汽车（出示宝马、奔驰汽车图片，其中宝马汽车标价104万，奔驰汽车没有标价）。看谁能从老师提供的信息中，比较准确地估计出它的价格。注意听，这款奔驰车的价格比这款大众贵多了，但要比这款宝马便宜一些。（学生说出几个价格）这些价格都有可能。如果老师再补充一条信息：要在计数器上拨出这款奔驰车的价格数，只需要——一颗珠子就行了。
生：（激动地）一百万！
师：真棒！（出示价格）刚才，我们通过拨一拨，写一写，初步认识了二十三万这个数。那一百零四万和一百万究竟有多大，下面，请同学们先在自己的计数器上拨一拨，再把这两个数分别写下来。 （教师从学生中收集到三种不同写法：10000、100000、1000000。）
师：关于一百万，老师发现有这样三种不同的写法，你觉得哪一种正确，为什么？（绝大多数学生认同第三种写法）（并说明了理由。）
师：说得真好！刚才，我们借助计数器认识了三个更大的数。观察这三个数，你觉得它们有什么共同的地方？
生：它们的个级上都有四个0。
师：像这些个级上都是零、表示多少个万的数，就是我们今天要认识的整万数。(板书课题)这些整万数，会读吗？谁来读一读？
（教师指数，学生试读。结合学生的读法，教师及时引导学生体会：像这样的整万数，万级上是23，就读二十三万；万级上是100，就读一百万；万级上是104，就读一百零四万。） …… 师：万级上是“多少”—— 学生先是一愣，随后恍然大悟，齐声喊道：那就读作“多少万”。 师：光会写、会读这些数还不够，像二十三万、一百零四万、一百万究竟有多大。下面，还是让我们借助人民币，一起来真切地感受一下吧。 （课件依次呈现：一百元、100张一百元捆成一捆、23捆、100捆和104捆。在一片惊叹声中，学生又一次经历了对这些整万数的直观体验，并再次直观体会到：23个万是230000，100个万是1000000，104个万是1040000。）

五 师：还想玩游戏吗？（想）依然是拨数游戏，不过这一次，有一个特殊的要求：老师报的数如果需要在个级上拨珠，请同桌俩坐右边的同学拨，如果需要万级上拨珠，请坐左边的同学拨。可不能错位哦！拨完以后，再把这个数写下来。 （教师引导同桌的两位学生先后拨出并写下这样六个数，课件呈现下图。）（图略）
师：观察每一组中的两个数，你有什么发现？
生：每组中的两个数，所用的珠子是一样的。
生：上面的数都拨在万级，下面的数都拨在个级。
生：上面的数都比下面的数多四个零。
生：两个数读法也不同，上面的数比下面的数多读一个“万”。 （结合学生的交流，教师再呈现几个整万数，引导学生通过画分级线的方法深入探索它们的读法与写法。）
师：最后，让我们再次回到课一开始时的拨数游戏上来。利用三颗珠子，我们从三拨到三十，再到三百、三千、三万。还能继续往下拨吗？
生：能。
师：猜猜看，下一个数会是多少？ （学生纷纷喊：三十万、三百万、三千万。)
师：如果还是这个计数器（八位），能拨出第九个数吗？
生：不能。
生：如果要拨出第九个数，那得用三个小计数器合起来。
生：那得用到亿级。 ……
师：没错。新增加的亿级又会有哪些数位，含有亿级的数又该如何读、如何写，这些问题，我们将在下一节课中继续展开研究。

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张齐华“认识分数”课堂实录

一、课前谈话
猜老师年龄，说自己的年龄。生活中还有哪里用到数？

二、新授部分

1、蛋糕的1/2

师：丁丁和当当在数学活动中也遇到了一些数的问题。

（出示书上图：四个苹果 2瓶水）

师：这是丁丁和当当在野炊，你能把这些东西分一分吗？

生1：把4个苹果平均分成2份，每份是2个

生2：把2瓶苹果平均分成2份，每份是1个

师：数学上把物体分得一样多，叫做？（板书：平均分）

把一个蛋糕平均分成2份，每人分得多少？怎样分？

生：切成两半

师：把一个蛋糕平均分成2份，每一份是这个蛋糕的一半，这一半该用什么样的数来表示？

生：二分之一

师：像二分之一这样的数就是分数。我们这节课一起来认识分数。（板书）

师：把一个蛋糕平均分成二份，（同步演示分数的书写，分数线、分母、分子）这一份就是这个蛋糕的1/2，另一份呢？（也是这个蛋糕的1/2）

师：它指的是谁？

生：这块蛋糕。

师：你能说说我们是怎样得到这个蛋糕的1/2的吗？

2、长方形的1/2

师：拿一张长方形，先折一折，把它的1/2涂上颜色。

……

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张齐华“认识方向”教学实录及评析
江苏南京北京东路小学 张齐华（执教） 张兴华（评析）


（学生分成四组，分布于教室的东、南、西、北四个方向）

一、引入
师：同学们，告诉大家一个好消息：咱们南通市要建“奥林匹克广场”啦！这个现代化的体育活动中心就建在我们学校的正南方向。你们知道哪个方向是南吗？用手指一指。
（学生纷纷用手指南）
师：哦！大家都知道这一面（手指南）是南。那么，除了南以外，你们还知道哪些方向？
生：除了南，还有北。
生：还有东、西。

二、展开
师：人（和物体）总是位于一定的方向和位置的。我们怎样辨别方向呢？你们有什么办法吗？
生：我看太阳认方向。太阳升起的一方是东。面向东，背后就是西，左面是北，右面是南。
师：这个办法真好！我们一起学一下。
（学生纷纷面向太阳升起的东方，分辨西、北、南）
生：不对！早晨可用这个方法。下午，面向太阳落山的方向是西，背后是东，左面是南，右面是北。
师：对！傍晚与早晨的情况正相反。要是阴天、雨雪天呢？
生：可以用指南针，指南针的箭头一端总是指向南。
生：我看房屋认方向，房屋的大门一般都是朝南的。
生：我看人们晒衣服，搭衣服的晒架总是装在房屋南边阳台上的。
生：冬天，积雪几天不化的一面肯定是北，冰雪很快融化的一面肯定是南。
生：山坡上，草木茂盛的一面是南。
评析：调度学生的生活经验和“数学现实”，让学生自己运用各种方法认识东、南、西、北的方向。通过交流和对话，使每个学生都个性化地学会辨认方向。

师：同学们有这么多辨认方向的办法，现在就请大家用这些方法确定你们组在教室中处在什么方向。
生：我们组在东边，因为太阳从我们这边升起。
生：我们组在东的对面，是西。
生：教室是朝南的，我们组正好在教室靠南的这边。
生：我们组在北边，在南的对面。
师：（把南通电视塔的模型放在教室中间）现在，南通电视塔就耸立在我们的中间。谁能说说电视塔与你们组的方向位置关系？
生：电视塔在我们组的东边，我们组在电视塔西边。
生：电视塔在我们组的西边，我们组在电视塔东边。
评析：学生被置于生动、现实的生活空间，运用各自的方法辨认四个方向之间的位置关系，真实而亲切。

师：南通电视塔一直在我们的中间，位置没有变，怎么一会儿在东，一会儿在西，一会儿在南，一会儿又在北呢？
生：因为我们在不同位置看电视塔。
生：从不同的角度看电视塔，就有不同的方向。
师：对！方向总是以一个地方为标准相比较而确定的，与不同的标准相比，就有不同的方向。
评析：抓住课堂上出现的情况，故作曲解，使学生生发方向的相对性意识。

师：（不经意地走到教室的西南方）现在，同学们在东、南、西、北各占了一个方向。可是朱老师呢？朱老师站在这里，是什么方向呀？
生：朱老师站在西南方。
师：为什么说这是西南方了
生：因为你站的方向是西和南交叉的地方。
生：因为你站的地方是西边偏南、南边又偏西。
师：谢谢同学们给我也定了一个方向，叫西南。现在，请同学们往四周看看。猜猜，还能发现一些这样的方向吗？
（学生环顾教室，讨论交流）
生：（指东南方）这又东又南的方向是东南。
生：（指西北方）这又西又北的方向是西北。
生：东南与西北是相对看的。
生：（指东北方）这又东又北的方向是东北。东北与朱老师站的西南也是相对看的。
评析：从西南方向的确定开始，再让学生通过“往四周看看”的空间观察，凭借已有的主观体验，发现东南、西北、东北等复合方向及其相对关系，学生享受着自己发现的成功喜悦，衍生出积极情感和自信心。

师：同学们认识了东、南、西、北，又自己体验出了东北、东南、西北、西南这四个方向。现在，谁能用上这些方位词介绍我们这个教室的情况？
（生居中介绍略）
评析：用刚刚学习的八个方向介绍复杂、多元的教室空间并非易事。从静态的大环境中分成相对集中的小组学习，可以使学生积极参与，彼此合作、交流，形成“动态的集体力量”。借助数学语言（方位词）表达和交流教室内的空间方位，可以认识生活中的客观事物，体验到数学与日常生活是密切联系的，体会到数学的内在价值。

师：现在，让我们到“市民广场”逛逛。（出示“市民广场”平面图）这是“市民广场”一带的平面图。这图上的方向怎样认呢？
生：平面图上总有一个十字样的标记，是表示方向的。
师：对！这叫十字指向标，它指示着图上的方向。谁知道指向标向上的箭头指示什么方向？
生：箭头指向北，表示图的上方是北。
师：那么，下方就是——
生：（齐）南！
师：平面图上的方向总是上北下南。哪面是西，哪面是东呢？想一想，在生活中，我们面向北站着，左边是——
生：西。
师：右边是——
生：东。
师：所以图上也是——
生：左西右东。
生：所以，图上的方向只要根据十字指向标，记住上北下南、左西右东就行了。
评析：在平面图这一虚拟的空间中，引导学生观察、定向、体验，比照生活经验进行想像、辨认方向，培养了学生的空间想像能力。

三、练习
师：现在，谁能说说图上“少儿书店”、“南通电影院”、“南通中学”、“文峰大世界”各在“市民广场”的什么方向？
生：“少儿书店”在“市民广场”的西边。
生：“南通电影院”在“市民广场”的东边。
生：“南通中学”在“市民广场”的北边。
生：“文峰大世界”在“市民广场”的南边。
师：我们学校在“市民广场”的什么方向？谁来指一下？
生：我们学校在“市民广场”的西北方。
师：再请看，“南通师范二附小”、“人民公园”、“奥林匹克广场”在“市民广场”的什么方向？
生：“南通师范二附小”在“市民广场”的东北方。
生：“人民公园”在“市民广场”的东南方。
生：“奥林匹克广场”在“市民广场”的西南方。
师：说起“奥林匹克广场”，最近，我们学校开展了“我为广场献一计”的活动。现在，请大家做个小设计师，给“奥林匹克广场”设计一张平面图，在广场上什么方向设计个什么馆、场、所……
（学生设计，画成平面创意图）
师：同学们都给“奥林匹克广场”设计了些什么呀？能向大家介绍一下吗？介绍时要用上今天学过的方位词，说明各场地、设施的方向位置。
（生交流略）
评析：练习突破了过去“技能操练”的陈规，而变为了一个个“问题解决”的过程。学生们在解决实际问题中，不仅掌握了知识，而且提高了运用所学知识解决实际问题的能力。

（总结略）

总评：
教学目标的定位，走出了数学知识技能的单行道，指向学生的全面发展，并且贯串在整个教学活动过程之中。结合方向位置在生活中的表现和反映，培养了学生用数学知识解决问题的意识。在观察、操作、猜想、想像等学习活动中，培养了学生有序思考的意识，发展了学生的空间观念。注重学生的情感体验，使学生在数学学习中获得成功的喜悦，锻炼了克服困难的意志，树立了学习自信心。学生在解决问题的过程中，学会与他人合作交流。
这节课的最大特点是：整个方向的认识都表现为学生的自主探索习得。教师为学生提供了从事数学活动的机会，让学生经历从现实到虚拟的情境中进行观察、操作、实践、猜测、想像、讨论、交流。从而认识了方向和物体的空间位置。

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张齐华的“平均数”一课 概念为本的教学

北京教育学院 刘加霞

学生如何学习平均数这一重要概念呢?传统教学侧重于对所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)计算其平均数，即侧重于从算法的水平理解平均数，这容易 将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，忽略平均数的统计学意义。因此，新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。然而什么是“从统计学的角度”理解平均 数?在教学中如何落实?如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来?如何将平均数作为一个概念来教?下面以张齐华老师执教的“平均数”一课为例研究教学实践中 如何解决上述问题。

将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个问题：为什么学习平均数?平均数这个概念的本质以及性质是什么?现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的?张齐

华老师执教的“平均数”一课正是从这三方面，并依据学生的认知特点和生活经验实现从概念的角度理解平均数。

一、“概念为本”教学的核心：为什么学习平均数

1．凭直觉体验平均数的“代表性”。

平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。

在张老师的课上，导人部分的问题——1分钟投篮挑战赛——虽然简单，但易于引发学生对平均数的“代表性”的理解：是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用 几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢?抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢?

由于教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的呈现方式伴随着教师的追问，使学生很好地理解了平均数的统计学意义。这些数据并不是一组一组地同时呈 现，然后让学生分别计算其平均数，而是动态呈现，并伴随教师的追问，以落实研究每一组数据的教学目标。例如，先呈现小强第一次投中5个，然后追问：“小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗?”这样就使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一次的数据很难代表整体的水平，因此再给他两次投篮的机会。而小强的投篮水平非常稳定，三次都是5个。三次数据都是“5”，这是教师精心设计的，核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性，避免了学生不会计算平均数的尴尬。同样道理，第二组数据的呈现方式仍然先呈现一个，伴随教师的追问：“如果你是小林，会就这样结束吗?”这让学生体验一次数据，很难代表整体水平，但3、5、4到底哪个数据能代表小林的水平呢?教师设计这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。

2．两种计算方法的背后仍强化概念理解。

虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的、单纯的练习容易变成纯粹的技能训练，妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。计算平均数有两种方法，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是强化对平均数意义的理解，非仅仅计算出结果。

在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图(条形统计图也可以)，通过动态的“割补”来呈现“移多补少”的过程，为理解平均数所表 示的均匀水平提供感性支撑。首先两次在直观水平上通过“移多补少”求得平均数，而不是先通过计算求平均数。这样做，强化平均数“匀乎、匀乎”的产生过程，是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，避免学生原有思维定势的影响，即淡化学生对“平均分”的认识，强化对平均数意义而非算法的理解。

如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平，而不是平均分后某个体所获得的结呆呢?平均数与平均分既有联系更有区别，虽然二者的计算过程相同，但不同于前面所学的“平均分”，二者计算过程相同但各自的意义不同。从问题解决角度看，“平均分”有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，强化统计学意义，数据的“个数”不同于前面所说的“份数”，是根据需要所选择的“样本”的个数。

因此张老师的教学中没有单纯地求平均数的练习，而是将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比的过程中深化“平均数是一种统计量”的本 质，实现从统计学的角度学习平均数。例如，张老师在通过两种方法求出平均数之后，一再追问：“哪个数是哪几个数的平均数呢?”“这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗?”“能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗?”“那它究竟代表的是哪一次的个数?”通过这样的追问，强化平均数的统计学意义。当然，如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次投中的个数(投中的个数怎么会是小数呢?不强调小数的意义，只出现简单小数，例如3．5个)，即有人所说的“平均数是一个虚幻的数”。学生对此理解需要比较长的“过程”，不是一节课就能达成的。

二、“概念为本”教学的深化：进一步理解平均数的本质及性质

初步认识了平均数的统计学意义后，张老师仍然进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质，丰富学生对平均数的理解，也为学生灵活解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。算术平均数有如下性质：

1．一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动”就能带来平均数的变化”，即敏感性。

2．一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。

3．一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0，即：



其中xi总是原始数据，x是这组数据的算术平均数。

4．给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。

5．一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。

这些抽象的性质如何让小学生理解呢?张老师仍然是在巧妙的数据设计以及适时的把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。数据设计的巧妙主要体现在：

首先，在统计张老师自己的投球水平时，张老师“搞特殊”，可以投四次。基于前面学生对平均数的初步感知，学生认可用老师四次投中个数的平均数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上大做文章：前三次的平均数是5，那么老师肯定是并列第一了?一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生变化，会导致平均数产生什么样的变化呢?在疑问与困惑(当然有很多学生是“清醒”的)中，教师首先出示了“极端数据二”(1个球)，进一步深化学生对平均数代表性的理解，初步体验平均数的敏感性。

其次，假设张老师第四次投中5个、9个，张老师1分钟投球的平均数分别是多少?根据统计图直观估计、计算或者根据平均数的意义进行推理都能求出平均数，多种方 法求解发挥了学生的聪明才智，使学生的潜能得以发挥，体验成功感进而体验创造学习的乐趣。

再次，将张老师1分钟投球的三幅统计图同时呈现，让学生对比分析、独立思考再小组讨论。由于三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不同，学生能够进一步 理解平均数的敏感性：任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。学生发现平均数总是介于最小的数与最大的数之间：多的要移一些补给少的，最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。学生还发现：“总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。”教师适时追问：“要是这里的每一个数都增加4，平均数又会增加多少呢?还会是1吗?”

再进一步观察三幅统计图中的第一幅图，教师迫问：比较一下超过平均数的部分与不到平均数的部分，你发现了什么?

生：超过的部分和不到的部分一样多，都是3个。

师：会不会只是一种巧合呢?让我们赶紧再来看看另两幅图吧?

通过进一步观察其他几幅统计图，学生真正理解了并用自己形象生动的语言描述出：“就像山峰与山谷‘样。把山峰切下来，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。”

在上述问题情境中，以“问题”为导向，借助于直观的统计图以及学生的估计或者计算，学生思维上、情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程，对平均数的意义以及性质都有了深切的体会。

有前述对平均数意义以及性质的了解，学生是否真正理解了平均数的概念呢?叙述出概念的定义或者会计算不等于真正理解某个概念，还要看能否在不同情境中运用概念。由于平均数这个概念对小学生而言是非常抽象的(如前所说，它是“虚幻的数”，学生不能具体看到)，平均数的背景也很复杂，如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，说明学生初步理解了平均数。

因此，张老师设计了四个复杂程度不同的问题，即“纸带平均长短”“球员平均身高”“平均水深”“平均寿命”，这四个问题中的平均数的复杂程度不同。

前两个问题中的平均数比较简单，数据的个数都是有限个，而且又有直观图形做理解上的支撑，因此前两个问题是简单应用平均数的性质——离差之和为零，即有比平均

数大的数据就一定有比平均数小的数据。学生可以借助于直观图形以及计算求出这两个问题中的平均数。在“纸带”问题中数据的呈现方式不同于前面，是横向呈现，但平均

数的意义不变，淡化呈现形式强化意义理解，为学生理解平均数提供另一视角。“球员平均身高”问题不是让学生计算球员的平均身高而是让学生借助平均数的性质进行推理

判断，并通过学生熟悉的中国男子篮球队队员的平均身高以及姚明的特殊身高深化对平均数的理解。

最后两个情境的平均数是比较复杂的，是以样本的平均数代替总体的平均数。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是随机选取有限个点，测量这些点到水底的距离，再求这些距离的平均数作为池塘平均水深的代表值。同样，2008年中国男性的平均寿命也是通过计算样本的平均年龄来表示全体中国男性的平均年龄。

真正理解这些平均数的意义对小学生而言有难度。因此，张老师在教学中呈现子池塘的截面图，并标注出五个距离，将复杂的问题简单化，使学生仍能借助于平均数的性 质理解冬冬下水游泳仍有危险。通过平均数意义的强化，使学生能从数学的角度解释是否有危险，避免学生从其他角度解释。在解释男性平均寿命问题中，借助于学生亲人的年龄这样的特殊而具体的数据，来理解平均寿命是71岁不等于每个男人都活到71岁。但不是所有的学生都能借助于前面所学平均数的意义和性质来解释这些问题，学生很难真正理解这两个情境下的平均数的意义。

三、引发话题：培养学生的“统计概念”还是“数据分析概念”

《数学课程标准(实验稿)》中明确提出，学生学习统计与概率内容的重要目标是培养学生的统计观念。那么，统计观念的内涵是什么?是否能够培养小学生的统计观念? 我们培养学生的应该是“统计观念”还是“数据分析观念”?

M．克莱因在其著作《西方文化中的数学》一书中谈到：宇宙是有规律、有秩序的，还是其行为仅仅是偶然的、杂乱无章的呢……人们对这些问题却有种种不同的解释，其中主要有两类答案：其一是18世纪形成的决定论观，认为这个世界是一个有序的世界，数学定律能明白无误地揭示这个世界的规律。直至目前，这种决定论的哲学观仍然统治 着很多人的思想，支配着他们的信仰并指导其行动。但是这种哲学观受到了19世纪以来概率论、统计学的猛烈冲击，形成了一种新的世界观，即概率论观或统计论观，它认为自然界是混乱的、不可预测的，自然界的定律不过是对无序事件的平均效应所进行的方便的、暂时的描述。这就是众所周知的用统计观点看世界。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律性，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”

统计观念实际上是人的一种世界观，是对人、生存空间甚至宇宙特点的看法，大多数成人仍坚守着决定论的观点，形成统计观点非常难。因此有研究者提出培养学生的“数 据分析观念”比较切合学生的认知现实和教育现实。即认为数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵信息的；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析观念应该是态度目标的重要组成部分，态度目标的落实是在基本知识、基本技能的教学过程中完成的，一定要有学生的质疑、讨论分析、探究交流等过程，否则就是“说教”，很难使学生产生积极的情绪、情感，态度的形成也就流于形式。张老师这一课，以平均数的概念为本，让学生充分经历了前面所分析的“过程”，才能真正有态度的培养。

数据分析观念的培养，或者说对“态度”目标内涵的分析以及如何培养学生积极的态度，都是值得深人研究的课题。

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我为什么重上“平均数”

南京市北京东路小学 张齐华

对很多人而言，超越别人容易，超越自己难。而在我，情况似乎略有不同。事实上，在很多情形下，要想判断是否能够或者已经超越别人，很难有一个既定的标准。既无标准，又何谈对别人的超越?倒是自我超越，似乎显得稍容易一些。毕竟，每一天的学习、思索、实践，必然会使今天的你超越昨天的你，进而又被明天的你再次超越。人总是在这样一次又一次的自我超越中实现进步的。而于我，这样的体验尤为鲜明与深刻。

如果说从2003年的“走进圆的世界”到2007年的“圆的认识”，向数学本身回归的这一次自觉转身，是我从教以来教学实践层面的第一次自觉跨越的话，那么，从2000年第一次执教“平均数”，事隔八年后再度磨砺同题课，多少也算是实践之路上的“梅开二度”吧。成败与否先搁下不论，怎么着也得为自己再次拿自己开刀的勇气与精神喝彩。

2000年，时值《数学课程标准(实验稿)》即将颁布，对于即将到来的新一轮数学课程改革，正是“山雨欲来风满楼”的关键时刻。清晰地记得，师傅张兴华老师不知从何处为我们觅得《数学课程标准(征求意见稿)》。急急读来，其中的种种观念、建议、变革，对于正在数学教学改革路途中左冲右突的我们而言，无疑是一次莫大的精神洗礼与引领。印象尤其深刻的是，《数学课程标准(征求意见稿)》中对于统计与概率部分的全新阐释，让我们大开眼界，更是萌生出一种“试一试”的实践冲动。

于是，趁着一次教研活动的契机，在认真通读《数学课程标准(征求意见稿)》中关于“平均数”这一内容的相关课程目标与实施建议后，“平均数”一课以其别具一格的课题(注：以往，这一课通常都叫“平均数”是作为应用题的一类教学的)及其“作为一种统计量”这一全新的视角，在实践层面赢得了广泛的认同与好评。至今，我仍清晰地记得，为了使学生认识到“平均数”是一个统计量，我撇开了教材中具有应用题意味的相关题材，而是选择从学生的平均身高、平均体重、家庭的平均收入等内容人手，进而在如何恰当估计平均数、如何强化移多补少、如何根据求出的平均数预测未来数据等问题上做出了初步的尝试。

八年弹指一挥间。《数学课程标准(实验稿)》正式颁布后，对于“平均数”这一内容的理论认识也随之渐人人心，相关的教学实践更是层出不穷。而真正促使我重备这一课的契机，现在想来，恐怕还得追溯到前年的那次南通教研活动。

在那次活动中，北京市第二实验小学的施银燕老师执教了“众数和中位数”一课，而其呈现的课题却是“数据的代表”，课题一出示，当即引起台下一片热议。现在想来，当时热议的话题与内容或许早已烟消云散，但正是那一次的深入思考与交流，使我越来越清晰地认识到，平均数也好，众数与中位数也罢，其实都是一组数据的代表。不同的是，同样作为数据的代表，平均数受所有数据的制约，更能反映一组数据的全貌，因而也就更加显得敏感、易变。而众数与中位数则相对不易受极端数据的干扰，因而也就体现出其比较稳定、不受极端数据干扰等特点来。带着这样的认识，再重新翻看多年前的平均数教案，总觉得作为一种“反映一组数据集中趋势的统计量”，其统计的意味并不明显。或者说，从教学的设计线索上看，似乎已经关注到其统计的内涵，但在真正的实践层面上，其作为一种统计量，尤其是作为数据代表的意义并没有得到真正的开掘。从而，“形似”而“神异”的意味，便不可避免地成为那一堂“平均数”的鲜明烙印。重备这一课便显得日渐迫切起来。

之后也听过几节“平均数”的研究课，较为典型的思路是：通过组织两组人数不等的比赛，在学生初步体会到“比总数”不公平的前提下，自然过渡到“通过求出平均每人的数量，再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。作为一种较为成熟的版本，此种教学思路的优点无疑是十分明显的。尤其是，从“比总数不公平”到“比人均数公平”的自然转折，将平均数的来龙去脉刻画得极为生动、细腻。但一直困扰我的问题是，当学生面对“比总数不公平”的情境，纷纷给出“先求出平均每人投中的个数再比较”的建议时，我始终不太明白：为什么求出“平均每人投中的个数”再比较就公平了?(笔者曾就此问题询问过不少教师与学生，均未获得十分清晰的回答)此为其一。再者，就算学生真正理解了个中的意义，那么，“平均每人投中的个数”是否就可以直接与“每人投中个数的平均数”画上等号?细微的文字表述差异的背后，又表征着学生怎样的微妙的思维差异?

事实上，“求出平均每人投中的个数”，对于一个三年级学生而言，其心理活动的表征往往是“先求总和，再除以人数”。而这一心理运算对学生而言，其直观背景十分模糊。至于其最终运算后得出的结果又是如何成为这组数据的代表的，其意义的“联结点”对学生而言更是很难直接建立。由此可见，仅仅从“比较的维度”揭示平均数的意义，看似顺畅的教学现象背后，实则还潜藏着学生难以跨越、教师也很难察觉的认知障碍与思维断点。

于是，备课的思维焦点再次落到“数据的代表”上来。能不能从“数据的代表”的角度，重新为平均数寻找一条诞生的新途径?于是，便也有了这一版本的新尝试。

真正尝试备课时，其实还遇到不少新的障碍。比如，最初选择的情境是：三(1)班仅小林一人参加年级组投篮比赛，1分钟投中5个。如果你是裁判，在他们班的计分牌上，该用哪个数表示他们班的整体水平?三(2)班小刚、小强二人参加比赛，1分钟分别投中3个、5个。他们班的计分牌上，又该用哪个数代表他们班的整体水平?结果，“数据的代表”的表面意义呈现了出来，但“公平与不公平”“求出平均每人投中几个再比”的观点再度浮出。“新瓶”实质上只是换上了“老酒”而已，无本质差别。此为其一。其二，又一更现实的问题摆在面前：作为数据的代表，平均数既可以代表“不同对象呈现的一组数据”(比如，小林、小刚、小强平均每人1分钟投中的个数)，以反映这一组对象的整体水平，也可代表“同一对象某几次呈现的数据”(比如，小明三次量得某木棒的长度各若干厘米，该木棒长度究竟几何)，以反映这一个对象在参差变换的随机数据背后所潜伏着的一般水平。究竟哪种情形更有利于学生顺利建立“平均数”的意义?思辨的最终结果让我把天平倾向后者。毕竟，前者在某种情形下，完全可以用总数去表征他们的整体水平，而对于后者，求总数似乎就显得有些“不合情理”，而找出这组数据的代表值，进而用代表值去刻画这组数据的一般水平，似乎更合情合理些。

于是，在例题教学中，我有意设计了“小强三次均投中5个”的特殊数据组，以此促进学生自然建立起“用5代表他的一般水平最合适”的心理倾向，进而为随后的学习活动中学生主动避开“求总数”的窠臼，而直接通过“移多补少”或“先求和再均分”的思维活动，努力寻找几个数据的代表值，为平均数意义的建立奠定坚实的基础。“平均数”作为“数据的代表”的真实含义，在这一过程中得到了自然而然的呈现。

当然，仅仅从正面角度凸显平均数作为“数据的代表”的意义，显然还不够充分、丰富、饱满。于是，在随后的深化板块中，我借助学生的观察、比较、交流，从平均数的“敏感与易变性”(任何数据的变化都会带来平均数的相应变化)、平均数的“齐次性”(每一数据的相同变化，如都加2，会带来平均数的同样变化，也加2)以及平均数的“均差之和为0”的特性(即一组数据中各个数据与平均数的差之和为0)，帮助学生从各个不同侧面进一步丰富了对平均数这一“反映一组数据集中趋势的统计量”的意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解与把握。

也有遗憾。尤其是，随着备课及思考的不断深入，我越来越强烈地感受到，自身数学素养的肤浅对“平均数”课堂的深度开掘构成了致命的制约。“教什么比怎么教更重要”的命题再一次得到验证。期待能够得到专家与同行的批评指正。

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张齐华“平均数”教学专辑

“平均数”教学实录

南京市北京东路小学 张齐华

一、建立意义

师：你们喜欢体育运动吗?

生：(齐)喜欢!

师：如果张老师告诉大家，我最喜欢并且最拿手的体育运动是篮球，你们相信吗?

生：不相信。篮球运动员通常都很强壮，就像姚明和乔丹那样。张老师，您也太瘦了点。

师：真是哪壶不开提哪壶啊。不过还别说，和你们一样，我们班上的小强、小林、小刚对我的投篮技术也深表怀疑。就在上星期，他们三人还约我进行了一场“1分钟投篮挑战赛”。怎么样，想不想了解现场的比赛情况?

生：(齐)想!

师：首先出场的是小强，他1分钟投中了5个球。可是，小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗?

生：我不同意。万一他后面两次投中的多了，那我不就危险啦!

生：我会同意的。做老师的应该大度一点。

师：呵呵，还真和我想到一块儿去了。不过，小强后两次的投篮成绩很有趣。

(师出示小强的后两次投篮成绩：5个，5个。生会心地笑了)

师：还真巧，小强三次都投中了5个。现在看来，要表示小强1分钟投中的个数，用哪个数比较合适?

生：5。

师：为什么?

生：他每次都投中5个，用5来表示他1分钟投中的个数最合适了。



……