张齐华教学研究专辑

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发挥表象的中介作用

南京市北京东路小学 张齐华

表象是以前感知过的事物在头脑中留下的形象。表象与感觉、知觉都属于感性认识，但表象和直接作用于感觉器官的事物在头脑中产生的形象不同，它是事物不在眼前时头脑中出现的形象。表象是从感知而来的，客观事物只有通过感知才能在人们的头脑中形 成表象，但表象比感觉、知觉更进一步，具有直观形象性和初步概括性双重特点。所谓直观形象性，是指大脑中的那些感知过的事物、事件的形象、情境，就像历历在目那样真切、清晰。由于表象的这种直观形象性，学生看到或听到某一概念名称，便能浮现出它的具体形象和内容。所谓初步概括性，是指表象常常综合了多次感知的结果，概括了多次感知的内容，个别事物的特点消失了，留下的是事物的一般特点。例如，头脑中的三角形表象反映的已经不是某个具体三角形的形象，而是包括所有三角形本质特征的形象(没有具体的边长、角度大小)。表象源于感知、高于感知，成为由感知向抽象思维过渡的中间环节。实验证明，如果让不会口算或心算的学生先借助实物计算，然后把实物掩盖起来引导他们想着实物计算，也就是利用表象进行计算，那么他们常常能够顺利完成口算或心算。

表象可以分为记忆表象和想象表象(也称再造表象)。感知过的事物在头脑中重现的映象叫记忆表象。由记忆表象或现有知觉形象改造而成的新形象，叫想象表象。人们的知识经验主要是通过词和表象两种形式保留在头脑中的。有了表象，就有了记忆，就可能发生思维、想象等智力活动。表象不断丰富，对学生记忆力、思维力和想象力的发展具有重要的意义。根据表象的特点和它在认知活动中的作用，在小学数学教学中要注意几个问题。

一、建立和获得表象，促进感性经验向抽象思维过渡

对于抽象的数学知识，生动的直观形象毕竟只能为学生提供理解的起点，表象的建立则有助于他们更快地摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡。有经验的教师在学生感知了具体事物或模型以后，常常隐去实物或模型(有时让学生闭起双眼)，在脑中回想刚感知过的事物或经历过的情境，以建立准确、鲜明的表象，而且以此为中介，进行抽象思维。如为认识面积单位平方厘米，在让学生观察颜色鲜明的平方厘米模型的形状和大小后，教师可要求学生闭上眼睛静心想：“刚才看到的平方厘米模型是什么形状的”、“它有多大”、“平方厘米的模型在脑子里的形象是怎样的”。接着，让学生睁开眼，用手比画一下平方厘米模型的样子和大小，通过夕讹表象的过程进一步深化表象。

对静止事物感知后在头脑中留下的形象是静态表象。经演示、操作、活动等在头脑中留下的形象、情境是动态表象，这种动态表象除了跟静态表象一样在认知过程中发挥中介作用外，它所反映的情境、过程更能引起人们对知识经验的前因后果和来龙去脉的

深入思考，有利于人们在进一步展开的抽象思维中更好地把握过程和结论的关系。在数学教学中，教师应精心组织直观演示与操作活动，展示清晰的过程和程序，并通过回显、复述、提问等办法，帮助学生把相关情境、过程留在脑中，形成动态表象。这不仅对于学习抽象的概念、性质、规律与方法极其有利，而且能使学生在“知其所以然”上获得深刻的理解和牢固的记忆。值得指出的是，这种动态表象的获得在日后的问题情境中常可通过原型启发而爆发出奇异的解题设想来。如教学圆柱的体积计算公式时，某教师引导学生动手操作，把圆柱切割、拼补成近似的长方体，推导圆柱体体积计算公式。有些学生在桌子上把变形后的近似长方体一会儿竖放、一会儿横放，在横放时观察到其底面为圆柱体侧面的一半，其高为圆柱体的底面半径……获得了这一情境表象后，在解答“一个圆柱体的侧面积为314平方厘米，底面半径为5厘米，求这个圆柱体的体积”时，这些学生不仅能按一般方法3.14×52×[3.14÷(5×2×3.14)]解答，而且能凭借动态表象复现的操作过程；给出3.14÷2×5的巧妙解法。

二、丰富和积累表象，促进学习效率韵提高

数学是用数量关系与空间形式来反映客观世界的，具备丰富的表象是学生学好数学的重要前提。心理学家曾对一批弱智儿童就表象问题进行过专门的测查，发现他们大脑中有大片“空白”，一般儿童脑中所具有的表象在他们的脑子里面很少反映，因而严重 影响了他们的抽象思维和直觉思维。他们中的大多数人感知迟钝，脑中储备的表象数量少。与此相反，一些思维品质好的学生大脑中存储了丰富的表象。学习新知时，他们能说出、画出许多与新知相关联的不在眼前的事物、情境。这些学生大多感知敏锐，平时能留意观察身边的事物，对什么事物都喜欢看一看、听一听、摸一摸。教师要尽可能让学生接触周围的事物，以积累各种各样的表象；要尽可能让学生接触生活中的数学活动，如让学生利用实物数数，接触与摆弄各种几何形体的物品、玩具，经历购物、付钱、分物等活动……当积累了越来越多的数学表象以后，学生就能在学习中得心应手，提高学习效率。

三、唤起和提取表象，实现问题的有效解决

学生在学习和生活中，通过观察与活动，获得并储备了各种表象。在解决问题时，却往往因为有关的表象不能及时浮现而茫然不知所措。教师要善于引导学生根据表述问题的文字或语言，唤起学生头脑中相应的表象，必要时还可以外化具体的形象或情境以帮助学生解决问题。如，一年级学生在解答“小朋友排队，从前数起或从后数起，小明都排在第6位，这队小朋友共有多少人”时，常常感到困难。教师就可引导学生先将“从前数起或从后数起，小明都排在第6位“变成”从前数起，小明排在第6位；从后数起，小明也排在第6位”。然后，问学生：“从前面数起，小明排在第6位是什么意思?如果用★代表小明，用O代表排在小明前面的小朋友，你们能画出排队的情况吗?”学生画出示意图后，教师继续引导学生用●代表排在小明后面小朋友画出整队学生排队的情况：○○○○○○★●●●●●。通过画图，学生有效地提取了生活表象，进而列出正确的解答式：5+1+5=11(人)。有些问题，如学生不能从字面上把握其中的数量关系或空间位置关系，教师可让学生回想有关形象或情境，必要时还可以出示模型或图画，唤起学生头脑中既有的表象，并引导学生借助表象解决问题。如解答”一个长32厘米、宽20厘米、高30厘米的金鱼缸，前面与左边的两块玻璃破了，需要配两块多大的玻璃”时，部分学生因为对长方体的各个面以及这些面的长、宽与长方体棱的对应关系的表象不清晰，出觋思维障碍。教师可让学生想象：金鱼缸前面的那块玻璃在长方体的什么部位? 它的长就是长方体的什么?宽呢?金鱼缸左边的那块玻璃……这样的引导能帮学生唤起长方体的表象，促进学生顺利地解答问题。

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教什么比怎么教更重要

张齐华

教什么比怎么教更重要。
对于教学，这本是一个再朴素不过的道理，而我却用了整整十年的时间，才渐渐品出其中的真滋味。而且，十年教学中，自己的所见、所闻、所思、所感使我越来越坚信：如我一样，对这一道理不够明白者，不在少数！
想起读师范时，无论是学校的课程设置，抑或大家对各门课程的热衷程度，《小学数学教学法》都要比《初等数论》《几何学概论》等强得多，以至于还没踏上讲台，“怎么教才是最重要的”已在我们这些“准教师”的潜意识里扎根。难怪有人担忧：这一代教师可能“集体缺钙”。我以为这并非耸人听闻，而且深知这“钙”正是数学教师对“教什么”应有的重视，是对数学本身必需的关注。
正式走上讲台，“教什么”的问题似乎更不值得一提：“既然是数学教师，教的自然是数学。”看起来，这是无需求证的事实，但问题又恰在于此。我曾在不同年龄段的数学教师中问过同样的问题：什么是数学？没想到，答案千姿百态：
“数学？呵，教了一辈子数学，还真没想过。”
手指数学书：“这就是数学！”
“数学——关于数的学问吧？”……
能道出恩格斯关于数学的定义者少之又少，更莫说对数学给出自己个性化的、深刻的见解了。倒是下面这位教师的回答更直截了当：“什么是数学并不重要，只要能教会学生就行。”
我相信，他的观点有相当的普遍性。
我们没有理由不担心，一个“不知数学为何物”（至少是知之不多）的教师，得有多大的勇气才能自信地走上讲台并从事好手头的这份数学教学工作？一个“心中无数学”的教师，如何才能凭借数学课堂实现数学应用的教育价值与文化意义？近期，关于数学课堂中“去数学化”倾向的讨论，不正是上述顾虑的折射吗？
无疑，什么是数学，这不是只言片语所能解释清楚的。但有一点毋庸置疑，那就是对数学的不同认识和理解必然会深刻影响数学教师的教学观，影响数学课程潜在教育价值与文化意义的实现。从这一意义上讲，对于数学本质的了解、解读以及持续的思索则显得十分必要而且迫切。
当然，在此我们尤其要弄清楚这样一些与数学有关的命题，比如“作为科学的数学”与“作为学科的数学”，“学术形态的数学”与“教育形态的数学”，静态的“文本数学”与动态的“课堂数学”，等等。类似的思考会使我们对数学有一个更加深入、辩证的把握，也有利于我们以一种更审慎的态度观照数学以及我们的数学课堂。
此外，作为与“教什么”密切相关的话题，我们还应提及数学教师自身的学科素养问题。事实上，数学教学并不是教师“外在于”数学，以数学为纯粹“客体”“对象”而从事的搬运工作。教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！教学活动中，他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。此时的教师，恰是以一个完整的职业生命，携自身的全部数学涵养融入教室、融入课堂、融入学生，学生由此而汲取数学的丰富营养。
正是基于这样的思考，我们在此又想提及这样一个问题：作为小学数学教师的我们，是否还需要有高等数学的视野，并补充一些基础数学理论的养分，以使我们所教的“数学”更丰厚些？

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用文化润泽数学课堂

张齐华

数学内在文化的消解及缘由。
不得不承认，越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点。然而作为一种推论，既然承认数学为目的的数学课堂，就当然具有了一种内在的文化性。
问题恰在于此。认同某一事物具有文化性，并不等于这一事物就一定能在所有领域中彰显出它的文化属性来。进入学校视野、课堂范畴的数学，势必经历一个从“科学数学”向“学校数学”进而向“教育形态”的“课堂教学”的转换。转换的过程中。恰是我们深入探讨数学文化时应着力关注的话题。
反观当下的数学课堂，由于对知识、技巧等工具性价值的过度追逐，数学原本具有的丰富意蕴日益被单调、枯燥的数学符号所替代，并几乎成为了数学的全部，这使数学本该拥有的文化气质一点点剥落，以致本属文化范畴的数学，正渐渐丧失着它的文化性。
试想，倘若教师在课堂中只认同数学一门技术，那么习得、模仿、练习、熟练化势必会成为数学课堂中的强势语言。在我们的课堂中，倘若数学不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们可以感受数学丰富的方法，深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越极其背后折射出的人类智慧和人性光芒。
文化可以在课堂中被消解，也同样可以在课堂被重拾。两者之间，差异在于视角的切换。
数学文化：概念误读与意义重建。
首先是概念的窄化，将数学文化单等同于数学史。其次是概念的泛化，一个充满文化的数学课堂里，传递的未必就是带着丰富文化底蕴的数学内容，这足以表明两者的区别。
数学文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”。其次，数学学科需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次。数学依然有具有致善性，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如数学探索过程中的执著与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，乃至耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。
文化，如何润泽数学课堂。
教师首先要做的是调适好自己的数学观、数学文化观、数学价值观，这是文化能否润泽课堂的重要前提。
1．数学概念，在“头脑创造”中还原生命活力。如果课堂仅仅停留于对数学概念的被动认识、理解和传递上，那么内涵于“冰冷的美丽”背后的这些“火热的思考”将无法为学生所触及、所分享，数学概念“可能”的文化价值也无法成为“现实”力量。数学课堂，恰恰需要在这儿做些工作。
比如“认识乘法”，当学生已经感受到用“2+2+2+2+2+2+2+2+2+2”表示“9个2相加”比较麻烦时，教师直接告知乘法算术“2×9”是一种方式，引导学生自己想办法去“创造”一种新的算式表示算式““9个2相加”也是一种方式。学生创造的表示形式有：2·9；2★9；29；2+2（9）等。静态、冰冷的乘法概念在这一刻绽放了绚丽的光芒。这些看似不太科学、不够正确的“乘法”形式背后，折射出了学生多少生动、活泼的数学思考，比如观察、推理、优化、调整、创造，而这恰恰正是数学的“文化力量”。
再如认识“长方体的长、宽、高”，“看至少留下几条棱，才能确保想象出长方体的大小？”规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念内在的生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。
2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。
比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”，[和口算加法的冲突]，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辨证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。
此外，“满十进一”也是数学中的重要规则之一。“五进制、七进制、十二进制”，“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。
数学发展过程的多元化、数学思考的多样性、数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。
3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。将“解题策略”作为具体板快进行教学，比如“综合与分析”、“画图与列表”、“倒推”、“假设”、“枚举”、“转化”等，效果也很好。
4．挖掘数学内容中的丰富情感、态度和价值观。首先是如何正确对待数学史料的问题。如祖冲之是中国古代研究圆周率的骄傲；如何“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧；他不满足于已有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等，更应该透过课堂浸润到学生的内心深处。
当然，数学更多的价值观念应该渗透与日常的教学内容与学习活动变化。
把数学的“根”留住，数学教学才会有属于自己的精彩。把数学的“根”留住，就是数学课要上得“像数学课”，就是要更多地关注“数学”的特征，充分展示“数学”的魅力，引领学生感悟数学文化的独特内涵。

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张齐华  轴对称图形教学实录和教学设计

“轴对称图形”教学实录

拿出一张纸。
如果是你的话，怎么玩？
生：我们折飞机
生：我会折青蛙，
生：我们折出星星
生：我会把这张纸剪成窗花。
师：先把纸对折，然后从折痕的地方，撕下一块。会玩吗？大家玩一玩。
学生撕纸
在黑板上展示学生的作品
师：如果我们这些纸看作一个个图形的话？大家看一看这些图形大小？（不一样），你们有没有发现共同的地方？
生：左右两边都相同。
生：我认为它们轴对称图形的
师：你是怎么知道的这个词儿的？
生：我是从书上看到的。
板书课题。
师：在深入的观察，左右大小就是一样的吗？
生：我认为形状也是一样的
生：我认为面积也是一样的。
生：我认为把它叠在一起的，会重合。
师：你手中的作品有没有这样的特点。
学生动手试一试。
师：现在张老师有个问题，这样的图形对折后可以左右完全重合的。称这个刚才同学的名称可以吗？
生：中间有一个轴，而且左右完全一样。
师：刚才这位同学，一下子就两个特点。第一个就是轴，我们称为对称轴，一般情况一我们通过一条直线来表示。看清楚了吗？让我们在自己的作品上也画上一条对称轴。
学生动手画
师：像这样的图形，沿着一条对称轴对折后，两边可以完全重合。
师：瞧，大家可能没有想到吧。我通过折折发现我们的数学问题。其实我们数学问题就在我们身边。
出示一组图形
师：在判断前，张老师提醒一下大家，不要过份的相信自己的眼睛的。因为有些图形看起来像轴对称图形，但它却不是，有些图形不像轴对称图形，但它却确确是轴对称图形。
师：有没有办法呢？大家可以先猜猜，然后在口袋拿出这些图形折一折，验证一下。
学生猜，验证。
生：我认为平行四边形是轴对称图形。因为平行四边形分成两个部分，就可以完全重合了。
生：不是，因为平行四边形的沿着对轴称不可能重合。
师：我想你与握一次。握手并不是表示赞同你的意见。而且因为你给我们课堂带来了第二种声音。大家想一想，如果我们的课堂只有一种声音那多单纯啊。
师：认为对的，说理由，认为不是的，说理由。
生：如果单讲这个图形，不让剪的话，就不是平行四边形了。
讨论圆，正五边形，等腰梯形，三角形。
师；数学学习讲究深入。就这五个图形，我们还有话想说。如第一个梯形是轴对称，但是？
生：但是并不是所以的梯形都是轴对称图形。
通过纸片对折，得出没法重合。
师：关于梯形，话说完了。还有其它图形，你有话说吗？
生：我想说三角形的，因为有些三角形是轴对称图形的。
老师给教具。
等腰三角形，等边三角形
生：认为平行四边形并不是都不是轴对称图形的。如棱形。
师：大家认为平行四边形，还有那些还会是轴对称图形。
生：长方形，正方形。
师：还有话要说吗？
生：我认为所有的圆都是轴对称图形。
生：正五边形
出示等腰梯形正五边形圆
师：这三个都是轴对称图形，它们有什么不一样的吗？
生；面积不同
生：形状不同
生：圆无论怎么折，都可以是轴对称图形。
师：在讲圆的时候，有一个词非常欣赏。。是什么词儿？
生：欣赏
师：如果大家都应该知道了。。这个同学把我们的眼光集中到了轴对称上面来了。
师：圆有多少条对轴对称。
生：无数条
师：确信吗？自己折折看
学生折折
师：另外两个图形，有什么要说的。
生：梯形只有一条对称轴。
生：正五边形有五条对称轴。
（虽然张老师喜欢听不同的声音，不过当只有一个声音的时候，那就要坚信这个声音。。）
指名上台来指一指。
师：在我们一些熟悉的图像都可以找到。看一看这四个国旗。
生：我认为加拿大是轴对称图形的。
生：我认为俄罗斯国旗也是轴对称图形的。
说说中国，国旗都不是轴对称图形
出示交通图标
让学生自己找一找。
师：根据轴对称图形的一半，想一想它是什么标志。
不说只想
然后说说，这些是什么标志。
师：你们想不想自己动手做一个轴对称图形。
出示材料袋了。
让学生利用这些材料做出一个图形。
让学生感受到桂林山水的互相倒映。
播放生活中的动物、鸟内，昆虫，人都有对称的图形。

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“轴对称图形”教学设计

教学目标
1、初步认识轴对称图形，理解轴对称图形的含义，能找出对称图形的对称轴，并能用自己的方法创造出轴对称图形。
2、通过观察、思考和动手操作，培养学生探索与实践能力，发展学生的空间观念。
3、引导学生领略自然世界的美妙与对称世界的神奇，激发学生的数学审美情趣。
教学准备
教师：多媒体教学课件等。
学生：白纸、彩纸、剪刀、颜料、钉子板等学习材料一份。
教学过程

一、“玩”对称，谈话激趣
课前交流：从“玩”这一话题引入，结合师生的撕纸作品，自然引入新课学习，激发学生的兴趣。

二、“识”对称，体悟特征
1． 结合学生的撕纸作品，引导学生进行观察、比较、概括，抽象出这类平面图形的特点。
在此基础上，引导学生结合图形的特征（对折后，折痕两侧完全重叠），师生共同揭示轴对称图形的概念。
2． 从“轴”字出发，引导学生认识轴对称图形的对称轴，并通过说一说、指一指、画一画，深入认识对称轴，体会“对称轴是折痕所在的直线”这一内涵，并再次感受轴对称图形的特征。
3． 结合轴对称图形的特征，判断下列图形是否为轴对称图形。
（1） 学生根据经验大胆猜想。
（2） 结合手中的学具，小组合作，共同验证猜想。
（3） 大组进行交流，着重引导学生说清判断的依据。
（4） 引导学生理解一般三角形的“非对称性”及等腰（边）三角形的“对称性”，并由此类推到梯形、平行四边形等。
（5） 根据活动经验，判断如下三个图形的对称轴的条数。
4．判断国旗中的图案是否是轴对称的。
交流时，引导学生说说判断的依据。
5．判断交通标志中的图案是否是轴对称的。
（2） 交流：剩下的图案为什么不是轴对称的。
6．想象：根据给出的轴对称图形的左半边，想象它的另一半，并判断给出的是什么图案。

三、“做”对称，深化体验
引导学生结合轴对称图形的特点，利用师生共同准备的一些素材，自己想办法创造一个轴对称图形。
交流时，着重引导学生说清创作过程，并给予激励性评价。
教师相机进行相关资源的分享。

四、“赏”对称，提升认识
由轴对称图形，进而拓展到现实生活中的轴对称现象。引导学生通过赏析，感受大自然的美妙与神奇，并进一步拓宽学生的视野，受到美的洗礼。

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张齐华 最新演绎圆的认识课堂实录

课前与学生谈话省略


师：今天上课我们学什么？大声地说“学什么”


生齐：圆的认识


师：从哪里看到的？只给我看，


生指屏幕


师：屏幕上有，还有呢？


师：说，哪有？


师：没错，圆片，还有吗？


生：圆规


师：没错，还有圆规。孩子们都很善于观察、善于联想。老师的信封里还有一个圆，想看看吗？


生齐：想


师出示一个信封，摸出一个圆片，师：是圆吗？


生：是


师：听说咱们班的同学特别的聪明，所以，一会儿老师要把这个圆片放进信封了，让同学们把他摸出来，有没有信心？


生齐：有


师：我不会轻易的给你们这样一个简单的问题的，这里面不仅仅有着一个圆，还有其他的图形，想看看吗？


师：好，现在看谁的反应最快？


师从信封里摸出一个长方形


生：长方形


师：男孩的反应快，状态也不错。


师从信封里摸出一个正方形


生：正方形


师：还有一个图形


师从信封里摸出一个三角形


生：三角形


师：猜猜还有吗？


师从信封里摸出一个平行四边形


生：平行四边形


师从信封里摸出一个梯形


生：梯形


师：行了行了，孩子们，都别你们猜到了。


教师课件演示各种图形，


师；同学们能不能从各种图形中把圆摸出来？你觉得有难度吗？


生齐：没有


师：为什么？


生：因为圆是由曲线围成。


师：而其他图形呢？


生：都是由直线，哎！线段围成。


师：同意吗？


师：再仔细看看，正因为这些图形都是由线段围成的，所以他们都有什么？


生：角


师：圆有角吗？


生：没有。


师:所以圆特别的？


生：光滑


师：说的真好


师：数学上，我们把左面的这些由线段围成的图形给它个名称：直线图形。（课件演示）孩子们，圆是由什么围成的？


生齐：曲线


师：给它一个名称。


生：曲线图形


师：曲线图形，行了，现在让你们再直线图形中将圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难？


生齐：不难。


师：谁让你们聪明呢？还有难的。


师出师一个不规则图形


师：它也是有曲线围成的吧？弯弯曲曲的。那么你们会不会把它也摸出来？


生齐：不会


师：为什么？


师：有的同学说，因为它有的地方凹，有的地方凸。而圆怎么样？显得特别的饱……，说出来，特别的……


生齐：饱满


师：嘿！瞧，还有一个


师出示一个椭圆，


师：看，没有凹进去的地方了吧？看上去有光滑，有饱满，你们待会儿会不会也把它也当作圆给摸出来？


生：不会，


师：为什么？


师利用学具演示，师：因为它这样看上去扁扁的，这样看上去……


生：瘦瘦的


师：瘦瘦的。圆呢？


教师出示圆形教具，转动。


师：怎么样？


生：一样


师：怎么看到的一样？


师：好了孩子们，现在从这些图形里把圆摸出来难不难？口说无凭，谁愿意上来试试？


行，就你吧，近水楼台


师：咱们协商一下，这些图形我就不放进信封里去了，要是放进去咱们同学还看得见吗？


生：看不见了


师：看不见，就让他一个人在里面摸多没意思呀。所以我请你闭上眼睛，我把图形一个一个往你手上放。你要是感觉是就大声地喊一声“是”，要是觉得不是……


生：不是


师：可以吗？


生齐：可以


师：你闭上眼睛，你能做到吗？其他同学你们能出声吗？


生：不能


师：对，不能提醒。但是可以做一件事情，当你认为他的判断正确的时候，可以大声的喊一声“对”，给它鼓励一下，ok？


生齐：ok！


师：好，伸出你最拿手的一只手，右边，准备好了吗？


生：准备好了


生1:不是.

师:对不对?

生:对.

生1:不是.

师:对不对?

生:对.

生1:更不是.

师:瞧,这更字用的多好.

生1:更不是.

师:小家伙厉害.

生1:不是.

生:对.

生1:是.

生:对.

师:掌声鼓励一下.

圆是曲线图形


可是和下面这些凹凸的或者椭圆这样的曲线图形相比,圆看起来又是那样的饱满,那样的光滑,那样匀称.2000多年前,伟大的数学家毕达哥拉斯赞美”在一切平面图形中圆最美”,

画圆


张老师发现绝大多数的同学画的都非常的好,不过也不排除有个别同学到现在也没画完,有个别同学画完了,可似乎还有缺口,明明是这样画的,可是怎么就绕不回去了呢?聪明的孩子猜一猜,他们之所以没有成功的画一个圆,你们觉得可能是哪里的问题,



生2:我认为是圆的半径变了.

师:半径是个新词,我们用圆规来说,院的半径变了,也就是画圆的时候,量角的距离变了.在画圆的过程中能不能改变?

生:不能.

师:除了这个地方改变以外,还有那些地方不能动?

生3:圆心改变了.

师:在画圆的过程中,针不能改变.

画圆看起来简单,大家琢磨一下,里面还是有学问的.下面我们把刚才大家提出的建议综合起来,手握柄,中间扎的地方固定,两角的距离不能变,三个要素综合起来,轻轻的绕一圈,圆就画出来了.孩子们,掌握了这三要素,有没有信心,比刚才画的又快又好?

生:能.

师:先别动笔,边画边思考.

圆和什么有关系?

生:圆心和半径.

师:我知道你们说的半径是什么意思?

谁能到前面来,说说哪个距离是不变的?其他的孩子要注意观察


生4(到黑板前画出远的半径)

师:对不对?

生:对.

师:同学们,可千万不要小看这条线段,在圆中,这条线段有着特殊并且很重要的地位,我发安闲,刚才这位同学画完圆以后,还擦了擦,对这两条线段似乎有特殊的要求,大家来看一下,一端在哪里?

生:圆心.

师:这点是圆心,也就是针尖留下的,那圆心可用用哪个字母表示?

生:O.

师:请在你刚才画的圆上,标出圆心,写出字母O.

继续看这条线段,圆心的另一端在哪里?

生;圆上.

师:象这样,连接圆和圆上两个点的线段,叫做半径.半径可以用小写字母r来表示,现在画出一条半径,写出字母r.刚才我发现哟个同学,上次画的非常快.刻画司这次画的非常慢,你们知道是什么原因吗?不知道是他没有听清楚,还是自己在想办法,在琢磨.因为我们画的是一条圆的半径,他画的是四条,我们想一想:一个圆里只有一条半径吗?

生:不是.

师:那有多少个?

生:无数个.

师:数学重要的不是结论,最怕的是哪三个字,你们知道吗?

生;不知道.

师:不知道不怕,怕的是别人说这三个字:为什么?

我一旦问为什么有无数条,敢举手的人就不多了.所以仅仅依靠感觉,看起来似乎是无数条,是不够的.可为什么说无数条呢?先听听这位同学的意见,别的同学继续思考.

生5:因为圆是一种曲线图形,它的表面非常平滑,所以半径有无数条.

师:因为平滑,所以有无数条.

生6:因为圆心到圆上的距离全部相等


生7:因为半径是圆上任意一点的,圆上有无数个点,所以有无数条半径.

师;我最喜欢刚才她说的一个词,任意一点.什么叫任意一点?

生:随便


师:请问,在圆上有多少个这样随便的点?

生:无数.

师:有无数个点,就对应无数个半径.所以孩子们,在学习数学时,不能只图于表面,要问自己三个字?

生:为什么?

师:现在边看我的板书,边思考问题,既然圆有无数条半径,那么它的长度怎么半呢?

生:相等.

师:同意的请举手,我的三个字又来了.

生:为什么.

师:为什么在一个圆里半径都相等?回想一下,张老师让你们准备了什么工具?

生:圆规.

师:还有尺寸,尺寸让你们用来干什么的?

生:量.

师:现在就动手量一量.

虽然是有无数条,但是我们不必全都量,找几条代表一下就可以了.同学们,刚才我们画一画,量一量,在你们的圆中,半径都相等的请举手.有没有同学说,老师我不用画,不用量也知道,有吗?

生8:从画圆的时候,我就注意到,画圆的时候,两角的距离没有发生变化.

师:既然两角的距离没有变,那么两角的距离其实就是半径的距离.两角的距离不变,也就以为着半径的距离不变.孩子们,画一画量一量是研究问题的方法,看一看想一想,对画圆的方法进行推理,同样是一种方法.我们现在简单回忆一下刚才的学习过程,认识了是很么是圆心,什么是半径,大家知道半径很有特点.

生:半径有无数条,长度都相等,都一样.

师:其实早在2000多年前,中国古时候的哲人也对这个问题进行了研究,你们猜他们的出结论了吗?

生:得出来了.

师:而且他们得出的结论和同学们得出的几乎相同.不过表述不一样,就是六个字,圆,一中同长也.我们的古人很聪明,但是我觉得你们更聪明,因为你们只用了几分钟就总结出来了.不过现代人在研究这句话的时候,他们说古人说的不完全准确,因为这个同长,不只是半径同长,还有直径.因此又提出了另外一个概念:直径.连接圆心和圆上某一点的线段叫做半径.那怎样的线段叫直径呢?说不出没有关系,你能在这个圆上比画比画吗?现在我来画一画,尽管我是老师,如果画错的话,也不要客气,大声喊错.看看谁的胆子最大.

生:错.

师:我还没有画呢,聪明的孩子不看结果,看过程就知道了,画直径要通过圆心,概括一下,通过圆心,并且两端都在圆上,这样的饿线段才叫直径.可以用小写字母d来表示,现在请画出圆的直径,并用小写字母d来表示.孩子们,数学学习,除了问刚才的三个字为什么以外,还要善于联想,不要一切都从头在来,\.刚才我们已经证实了半径,知道它的特点:半径有无数条,而且都相等.那直径呢?

生:也有无数条,直径都相等.

师:直径有无数条,我们就不检验了,那直径都相等,这是为什么呢?

除了六个举手的同学以外,其他同学可不恩能够丧失一次思考的机会呀.带工具了吗,一起来画一画.通过画一画,量一量,我们发现圆里的直径的长度都是一样的.有没有同学说我不量也知道这个结果?

生9:因为我们知道所有的半径都相等.

师:聪明的眼睛看出的不一样,我们看这条线段,看出的是一条直径,他除了看出一条直径以外,还看到了两条半径,一条直径包含两条半径,而所有半径的长度相等,所以直径也相等.我们又一次借助推理,完成了直径的发现.刚才这个男同学,不仅告诉我们为什么直径相等,还给我们带出了一个新的结论,在同一个圆里,直径和半径有关心吗?

生:有.直径是半径的二倍.

师:这样描述太复杂了,用简洁的数学语言来描述好吗?也就是d=2r,,就这样.两个字母加一个数字,我们刚才的结果就出来了.我们刚才学习了圆心,半径,直径,而且半径和直径有无数条,长度相等.我们试想一下,在同一个圆里,如果它们的半径不是都相等的,而是有的长,有的短,那你觉得最后连起来的还是一个圆吗?还可能光华饱满匀称光华饱满匀称吗?想一想是什么原因,使圆看起来那样光华饱满匀称?

生:半径和直径都相等.

师:很准确.是半径的长度都相等.在一个圆里有无数条半径,长度都相等,所以才使圆看起来光华饱满匀称,圆的美通过研究终于在这里找到了.有人会说在同一个图形中,具有等长线段的又不是只有圆一个,,你们相信吗?我们来看一下,这是一个正三角形,从中心出发,连接三个顶点,这三条线段一样长,这样的线段有三条.正方形有几条?

生:四条.

师:正五边形,有几条?

生:五条.

师:正六边形?

生:六条.

师:正八边形?

生:八条.

师:圆形?

生:无数条.

师:难怪有人说圆是一个正无数边形.我们会发现随着三角形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,更多边形的边数越来越多的时候,这个图形越来越接近圆形.有的同学说还不是很接近,给同学们两分钟思考的时间,假如边数在增加,你猜猜看会怎么样?是否会更接近圆.我们借助一个小实验一起来验证一下我们的猜想,看一看这个正十六边形,和刚才的正八边形相比,更接近圆,但不是圆.现在看看32边形,更接近圆.但还不是圆.有时思维需要跳跃一下,现在看看100边形,更接近了,才正100边形,想象一下,如果正1000边形,正10000边形,1亿,10亿,直到无穷无尽,直线图形居然在它最 的地方和曲线图形圆交融在一起.

现在把张老师给你们准备的圆拿出来,哪个女孩子一直在观察,看这个圆是否有圆心,肯定有,只是我没有标,请看大屏幕,这是一个半径( )厘米的圆,聪明的你们能量出它的半径吗?看看谁能想到好办法?同伴合作,开始.这边的同学量得的半径是5厘米.这边也是5厘米,这边是4厘米,这边是3厘米,大家请思考,张老师画的圆很奇怪,居然有的是半径3厘米,有的是4厘米,有的是5厘米,那半径不同,你就想象一下,圆的大小一样吗?

生:不一样.

师:半径几厘米的圆比较大?

生:5厘米.

半径几厘米的圆比较小?

生:3厘米.

师:现在把所有的圆举起来,看看,思考一个问题,圆的大小和谁有关?

生:半径.

师:虽然量出来了,可是我要看看是怎样能够量出来的?谁愿意给大家交流一下,你是怎样量出半径的?

生10:先把圆对折一下,就是一个半圆,然后再把它对折一下,这个点就是它的圆心,知道了圆心,半径也就知道了.

师:在三年级的时候,我们也学过对折,这就说明圆是一个轴对称图形,折线就是它的对称轴.圆有无数条对称轴,这名同学是对折两次,那么对折一次是否可以量出?

生11:先对折一次,然后折痕就是圆的直径,除以2就是半径.

师:有的同学是通过量得出的结果,虽然比我们刚才说的方法都在混却，但是在数学学习过程中,要先尝试,在调整,其实也是一种可行的方法.嘎嘎年菜有个女孩子悄悄的问我,张老师,你这个圆怎么就没有针眼呢?那没有针眼,想一想,我这个圆是用圆规画出来的吗?

生:不是.

师:那就奇怪了,张老师不用圆规,是哟功能什么办法画的圆呢?

生12:用一个碗扣在白纸上,描一下.

师:有可能,但不是.

生13:可能是一端是线,另一端是笔,把线一绕,圆就出来了.

师:人造圆规.

生4:先把纸对折,然后想要画多少直径,有了半圆,就可以得到一个圆了.

师:这个方法至少给我们开拓了思路,他用的是三年集学的轴对称图形的知识,也可以,很善于思考.可是你们都猜错了,正确的答案是用电脑画的.但是我们发现用电脑画圆的的大小太随意了,怎么能更好的画出半径是3厘米,4厘米或者5厘米呢?看,双击一下,对于圆来说,高度就是直径.如果我要画一个半径3厘米,那高度就是6厘米,不对呀,怎么变成椭圆了?

生15:少了宽度.

师:多精明的孩子呀!所以光有高度还不行.还要有宽度,宽度也要是6厘米,我再按一下回车,就出来一个半径是3厘米,直径是6厘米的圆.我们来看一下是不是这样的.概括一下,画圆的方法,只有圆规一种吗?

生:不是.

师:可以是多种多样的,在所有画圆的方法中,有一种是最最基本的,是圆规.假如张老师非要用圆规画一个半径是5厘米的圆,你觉得我的两角应该张开有多大?

生:5厘米.

师:4厘米呢?

生:4厘米.

师:如果半径是3厘米,那么直径呢?

生:6厘米.

师:是不是我把圆扯开6厘米,就可以画圆了。


生;不是.要扯开3厘米.

师:所以圆规两角张开的距离是半径,回顾一下,今天我们一起认识了圆,又近一步感受了圆的特别,其实圆、还有一个更特别的地方,我们一起来看大屏幕:这是一个正三角形,现在我们把它的中心点稍微选中一下,结果发现和原来的三角形没有完全吻合.现在来看看圆,饶着中心旋转,随便怎样转,都能吻合.数学上我们把圆的这个特点叫做旋转不变性.那三角形有旋转不变性吗?

生:没有.

师:如果我们照这样的角度继续望下转,你会发现什么奇怪的现象?

生:近似一个圆,

师:想一想,刚才我们旋转的是什么呀?

生:中心.

师:如果不用中心旋转,就不行.这里有一个正方形,饶这个顶点来旋转,不知道行还是不行?一边观察,一边思考,能转成一个近似的圆吗?所以可以知道正方形,三角形,绕着一边,随便旋转,都可以得出一个近似的圆.一条线段绕中点旋转,请同学们仔细盯着线段的两个端点,看它的运动结束以后,成了一个什么?

生:圆.

师:其实就是特定的点运动的轨迹.今天我们还接触了什么平行四边形,梯形,甚至是任意的区别行等等,那么它们绕某一点旋转,能出现圆吗?回家去试试,也许一幅一幅美伦美幻的图形就在你们的手下诞生了,到时别忘了带给咱班的数学老师和其他同学一起去交流和欣赏.

jsjfxx

张齐华“平均数”教学专辑

“平均数”教学实录

南京市北京东路小学 张齐华

一、建立意义

师：你们喜欢体育运动吗?

生：(齐)喜欢!

师：如果张老师告诉大家，我最喜欢并且最拿手的体育运动是篮球，你们相信吗?

生：不相信。篮球运动员通常都很强壮，就像姚明和乔丹那样。张老师，您也太瘦了点。

师：真是哪壶不开提哪壶啊。不过还别说，和你们一样，我们班上的小强、小林、小刚对我的投篮技术也深表怀疑。就在上星期，他们三人还约我进行了一场“1分钟投篮挑战赛”。怎么样，想不想了解现场的比赛情况?

生：(齐)想!

师：首先出场的是小强，他1分钟投中了5个球。可是，小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗?

生：我不同意。万一他后面两次投中的多了，那我不就危险啦!

生：我会同意的。做老师的应该大度一点。

师：呵呵，还真和我想到一块儿去了。不过，小强后两次的投篮成绩很有趣。

(师出示小强的后两次投篮成绩：5个，5个。生会心地笑了)

师：还真巧，小强三次都投中了5个。现在看来，要表示小强1分钟投中的个数，用哪个数比较合适?

生：5。

师：为什么?

生：他每次都投中5个，用5来表示他1分钟投中的个数最合适了。



……

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我为什么重上“平均数”

南京市北京东路小学 张齐华

对很多人而言，超越别人容易，超越自己难。而在我，情况似乎略有不同。事实上，在很多情形下，要想判断是否能够或者已经超越别人，很难有一个既定的标准。既无标准，又何谈对别人的超越?倒是自我超越，似乎显得稍容易一些。毕竟，每一天的学习、思索、实践，必然会使今天的你超越昨天的你，进而又被明天的你再次超越。人总是在这样一次又一次的自我超越中实现进步的。而于我，这样的体验尤为鲜明与深刻。

如果说从2003年的“走进圆的世界”到2007年的“圆的认识”，向数学本身回归的这一次自觉转身，是我从教以来教学实践层面的第一次自觉跨越的话，那么，从2000年第一次执教“平均数”，事隔八年后再度磨砺同题课，多少也算是实践之路上的“梅开二度”吧。成败与否先搁下不论，怎么着也得为自己再次拿自己开刀的勇气与精神喝彩。

2000年，时值《数学课程标准(实验稿)》即将颁布，对于即将到来的新一轮数学课程改革，正是“山雨欲来风满楼”的关键时刻。清晰地记得，师傅张兴华老师不知从何处为我们觅得《数学课程标准(征求意见稿)》。急急读来，其中的种种观念、建议、变革，对于正在数学教学改革路途中左冲右突的我们而言，无疑是一次莫大的精神洗礼与引领。印象尤其深刻的是，《数学课程标准(征求意见稿)》中对于统计与概率部分的全新阐释，让我们大开眼界，更是萌生出一种“试一试”的实践冲动。

于是，趁着一次教研活动的契机，在认真通读《数学课程标准(征求意见稿)》中关于“平均数”这一内容的相关课程目标与实施建议后，“平均数”一课以其别具一格的课题(注：以往，这一课通常都叫“平均数”是作为应用题的一类教学的)及其“作为一种统计量”这一全新的视角，在实践层面赢得了广泛的认同与好评。至今，我仍清晰地记得，为了使学生认识到“平均数”是一个统计量，我撇开了教材中具有应用题意味的相关题材，而是选择从学生的平均身高、平均体重、家庭的平均收入等内容人手，进而在如何恰当估计平均数、如何强化移多补少、如何根据求出的平均数预测未来数据等问题上做出了初步的尝试。

八年弹指一挥间。《数学课程标准(实验稿)》正式颁布后，对于“平均数”这一内容的理论认识也随之渐人人心，相关的教学实践更是层出不穷。而真正促使我重备这一课的契机，现在想来，恐怕还得追溯到前年的那次南通教研活动。

在那次活动中，北京市第二实验小学的施银燕老师执教了“众数和中位数”一课，而其呈现的课题却是“数据的代表”，课题一出示，当即引起台下一片热议。现在想来，当时热议的话题与内容或许早已烟消云散，但正是那一次的深入思考与交流，使我越来越清晰地认识到，平均数也好，众数与中位数也罢，其实都是一组数据的代表。不同的是，同样作为数据的代表，平均数受所有数据的制约，更能反映一组数据的全貌，因而也就更加显得敏感、易变。而众数与中位数则相对不易受极端数据的干扰，因而也就体现出其比较稳定、不受极端数据干扰等特点来。带着这样的认识，再重新翻看多年前的平均数教案，总觉得作为一种“反映一组数据集中趋势的统计量”，其统计的意味并不明显。或者说，从教学的设计线索上看，似乎已经关注到其统计的内涵，但在真正的实践层面上，其作为一种统计量，尤其是作为数据代表的意义并没有得到真正的开掘。从而，“形似”而“神异”的意味，便不可避免地成为那一堂“平均数”的鲜明烙印。重备这一课便显得日渐迫切起来。

之后也听过几节“平均数”的研究课，较为典型的思路是：通过组织两组人数不等的比赛，在学生初步体会到“比总数”不公平的前提下，自然过渡到“通过求出平均每人的数量，再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。作为一种较为成熟的版本，此种教学思路的优点无疑是十分明显的。尤其是，从“比总数不公平”到“比人均数公平”的自然转折，将平均数的来龙去脉刻画得极为生动、细腻。但一直困扰我的问题是，当学生面对“比总数不公平”的情境，纷纷给出“先求出平均每人投中的个数再比较”的建议时，我始终不太明白：为什么求出“平均每人投中的个数”再比较就公平了?(笔者曾就此问题询问过不少教师与学生，均未获得十分清晰的回答)此为其一。再者，就算学生真正理解了个中的意义，那么，“平均每人投中的个数”是否就可以直接与“每人投中个数的平均数”画上等号?细微的文字表述差异的背后，又表征着学生怎样的微妙的思维差异?

事实上，“求出平均每人投中的个数”，对于一个三年级学生而言，其心理活动的表征往往是“先求总和，再除以人数”。而这一心理运算对学生而言，其直观背景十分模糊。至于其最终运算后得出的结果又是如何成为这组数据的代表的，其意义的“联结点”对学生而言更是很难直接建立。由此可见，仅仅从“比较的维度”揭示平均数的意义，看似顺畅的教学现象背后，实则还潜藏着学生难以跨越、教师也很难察觉的认知障碍与思维断点。

于是，备课的思维焦点再次落到“数据的代表”上来。能不能从“数据的代表”的角度，重新为平均数寻找一条诞生的新途径?于是，便也有了这一版本的新尝试。

真正尝试备课时，其实还遇到不少新的障碍。比如，最初选择的情境是：三(1)班仅小林一人参加年级组投篮比赛，1分钟投中5个。如果你是裁判，在他们班的计分牌上，该用哪个数表示他们班的整体水平?三(2)班小刚、小强二人参加比赛，1分钟分别投中3个、5个。他们班的计分牌上，又该用哪个数代表他们班的整体水平?结果，“数据的代表”的表面意义呈现了出来，但“公平与不公平”“求出平均每人投中几个再比”的观点再度浮出。“新瓶”实质上只是换上了“老酒”而已，无本质差别。此为其一。其二，又一更现实的问题摆在面前：作为数据的代表，平均数既可以代表“不同对象呈现的一组数据”(比如，小林、小刚、小强平均每人1分钟投中的个数)，以反映这一组对象的整体水平，也可代表“同一对象某几次呈现的数据”(比如，小明三次量得某木棒的长度各若干厘米，该木棒长度究竟几何)，以反映这一个对象在参差变换的随机数据背后所潜伏着的一般水平。究竟哪种情形更有利于学生顺利建立“平均数”的意义?思辨的最终结果让我把天平倾向后者。毕竟，前者在某种情形下，完全可以用总数去表征他们的整体水平，而对于后者，求总数似乎就显得有些“不合情理”，而找出这组数据的代表值，进而用代表值去刻画这组数据的一般水平，似乎更合情合理些。

于是，在例题教学中，我有意设计了“小强三次均投中5个”的特殊数据组，以此促进学生自然建立起“用5代表他的一般水平最合适”的心理倾向，进而为随后的学习活动中学生主动避开“求总数”的窠臼，而直接通过“移多补少”或“先求和再均分”的思维活动，努力寻找几个数据的代表值，为平均数意义的建立奠定坚实的基础。“平均数”作为“数据的代表”的真实含义，在这一过程中得到了自然而然的呈现。

当然，仅仅从正面角度凸显平均数作为“数据的代表”的意义，显然还不够充分、丰富、饱满。于是，在随后的深化板块中，我借助学生的观察、比较、交流，从平均数的“敏感与易变性”(任何数据的变化都会带来平均数的相应变化)、平均数的“齐次性”(每一数据的相同变化，如都加2，会带来平均数的同样变化，也加2)以及平均数的“均差之和为0”的特性(即一组数据中各个数据与平均数的差之和为0)，帮助学生从各个不同侧面进一步丰富了对平均数这一“反映一组数据集中趋势的统计量”的意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解与把握。

也有遗憾。尤其是，随着备课及思考的不断深入，我越来越强烈地感受到，自身数学素养的肤浅对“平均数”课堂的深度开掘构成了致命的制约。“教什么比怎么教更重要”的命题再一次得到验证。期待能够得到专家与同行的批评指正。

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张齐华的“平均数”一课 概念为本的教学

北京教育学院 刘加霞

学生如何学习平均数这一重要概念呢?传统教学侧重于对所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)计算其平均数，即侧重于从算法的水平理解平均数，这容易 将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，忽略平均数的统计学意义。因此，新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。然而什么是“从统计学的角度”理解平均 数?在教学中如何落实?如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来?如何将平均数作为一个概念来教?下面以张齐华老师执教的“平均数”一课为例研究教学实践中 如何解决上述问题。

将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个问题：为什么学习平均数?平均数这个概念的本质以及性质是什么?现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的?张齐

华老师执教的“平均数”一课正是从这三方面，并依据学生的认知特点和生活经验实现从概念的角度理解平均数。

一、“概念为本”教学的核心：为什么学习平均数

1．凭直觉体验平均数的“代表性”。

平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比较，就可以比较这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比较，而且公平。

在张老师的课上，导人部分的问题——1分钟投篮挑战赛——虽然简单，但易于引发学生对平均数的“代表性”的理解：是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用 几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢?抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢?

由于教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的呈现方式伴随着教师的追问，使学生很好地理解了平均数的统计学意义。这些数据并不是一组一组地同时呈 现，然后让学生分别计算其平均数，而是动态呈现，并伴随教师的追问，以落实研究每一组数据的教学目标。例如，先呈现小强第一次投中5个，然后追问：“小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗?”这样就使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一次的数据很难代表整体的水平，因此再给他两次投篮的机会。而小强的投篮水平非常稳定，三次都是5个。三次数据都是“5”，这是教师精心设计的，核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性，避免了学生不会计算平均数的尴尬。同样道理，第二组数据的呈现方式仍然先呈现一个，伴随教师的追问：“如果你是小林，会就这样结束吗?”这让学生体验一次数据，很难代表整体水平，但3、5、4到底哪个数据能代表小林的水平呢?教师设计这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。

2．两种计算方法的背后仍强化概念理解。

虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的、单纯的练习容易变成纯粹的技能训练，妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。计算平均数有两种方法，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是强化对平均数意义的理解，非仅仅计算出结果。

在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图(条形统计图也可以)，通过动态的“割补”来呈现“移多补少”的过程，为理解平均数所表 示的均匀水平提供感性支撑。首先两次在直观水平上通过“移多补少”求得平均数，而不是先通过计算求平均数。这样做，强化平均数“匀乎、匀乎”的产生过程，是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，避免学生原有思维定势的影响，即淡化学生对“平均分”的认识，强化对平均数意义而非算法的理解。

如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平，而不是平均分后某个体所获得的结呆呢?平均数与平均分既有联系更有区别，虽然二者的计算过程相同，但不同于前面所学的“平均分”，二者计算过程相同但各自的意义不同。从问题解决角度看，“平均分”有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，强化统计学意义，数据的“个数”不同于前面所说的“份数”，是根据需要所选择的“样本”的个数。

因此张老师的教学中没有单纯地求平均数的练习，而是将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比的过程中深化“平均数是一种统计量”的本 质，实现从统计学的角度学习平均数。例如，张老师在通过两种方法求出平均数之后，一再追问：“哪个数是哪几个数的平均数呢?”“这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗?”“能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗?”“那它究竟代表的是哪一次的个数?”通过这样的追问，强化平均数的统计学意义。当然，如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次投中的个数(投中的个数怎么会是小数呢?不强调小数的意义，只出现简单小数，例如3．5个)，即有人所说的“平均数是一个虚幻的数”。学生对此理解需要比较长的“过程”，不是一节课就能达成的。

二、“概念为本”教学的深化：进一步理解平均数的本质及性质

初步认识了平均数的统计学意义后，张老师仍然进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质，丰富学生对平均数的理解，也为学生灵活解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。算术平均数有如下性质：

1．一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动”就能带来平均数的变化”，即敏感性。

2．一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。

3．一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0，即：



其中xi总是原始数据，x是这组数据的算术平均数。

4．给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。

5．一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。

这些抽象的性质如何让小学生理解呢?张老师仍然是在巧妙的数据设计以及适时的把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。数据设计的巧妙主要体现在：

首先，在统计张老师自己的投球水平时，张老师“搞特殊”，可以投四次。基于前面学生对平均数的初步感知，学生认可用老师四次投中个数的平均数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上大做文章：前三次的平均数是5，那么老师肯定是并列第一了?一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生变化，会导致平均数产生什么样的变化呢?在疑问与困惑(当然有很多学生是“清醒”的)中，教师首先出示了“极端数据二”(1个球)，进一步深化学生对平均数代表性的理解，初步体验平均数的敏感性。

其次，假设张老师第四次投中5个、9个，张老师1分钟投球的平均数分别是多少?根据统计图直观估计、计算或者根据平均数的意义进行推理都能求出平均数，多种方 法求解发挥了学生的聪明才智，使学生的潜能得以发挥，体验成功感进而体验创造学习的乐趣。

再次，将张老师1分钟投球的三幅统计图同时呈现，让学生对比分析、独立思考再小组讨论。由于三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不同，学生能够进一步 理解平均数的敏感性：任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。学生发现平均数总是介于最小的数与最大的数之间：多的要移一些补给少的，最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。学生还发现：“总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。”教师适时追问：“要是这里的每一个数都增加4，平均数又会增加多少呢?还会是1吗?”

再进一步观察三幅统计图中的第一幅图，教师迫问：比较一下超过平均数的部分与不到平均数的部分，你发现了什么?

生：超过的部分和不到的部分一样多，都是3个。

师：会不会只是一种巧合呢?让我们赶紧再来看看另两幅图吧?

通过进一步观察其他几幅统计图，学生真正理解了并用自己形象生动的语言描述出：“就像山峰与山谷‘样。把山峰切下来，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。”

在上述问题情境中，以“问题”为导向，借助于直观的统计图以及学生的估计或者计算，学生思维上、情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程，对平均数的意义以及性质都有了深切的体会。

有前述对平均数意义以及性质的了解，学生是否真正理解了平均数的概念呢?叙述出概念的定义或者会计算不等于真正理解某个概念，还要看能否在不同情境中运用概念。由于平均数这个概念对小学生而言是非常抽象的(如前所说，它是“虚幻的数”，学生不能具体看到)，平均数的背景也很复杂，如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题，说明学生初步理解了平均数。

因此，张老师设计了四个复杂程度不同的问题，即“纸带平均长短”“球员平均身高”“平均水深”“平均寿命”，这四个问题中的平均数的复杂程度不同。

前两个问题中的平均数比较简单，数据的个数都是有限个，而且又有直观图形做理解上的支撑，因此前两个问题是简单应用平均数的性质——离差之和为零，即有比平均

数大的数据就一定有比平均数小的数据。学生可以借助于直观图形以及计算求出这两个问题中的平均数。在“纸带”问题中数据的呈现方式不同于前面，是横向呈现，但平均

数的意义不变，淡化呈现形式强化意义理解，为学生理解平均数提供另一视角。“球员平均身高”问题不是让学生计算球员的平均身高而是让学生借助平均数的性质进行推理

判断，并通过学生熟悉的中国男子篮球队队员的平均身高以及姚明的特殊身高深化对平均数的理解。

最后两个情境的平均数是比较复杂的，是以样本的平均数代替总体的平均数。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是随机选取有限个点，测量这些点到水底的距离，再求这些距离的平均数作为池塘平均水深的代表值。同样，2008年中国男性的平均寿命也是通过计算样本的平均年龄来表示全体中国男性的平均年龄。

真正理解这些平均数的意义对小学生而言有难度。因此，张老师在教学中呈现子池塘的截面图，并标注出五个距离，将复杂的问题简单化，使学生仍能借助于平均数的性 质理解冬冬下水游泳仍有危险。通过平均数意义的强化，使学生能从数学的角度解释是否有危险，避免学生从其他角度解释。在解释男性平均寿命问题中，借助于学生亲人的年龄这样的特殊而具体的数据，来理解平均寿命是71岁不等于每个男人都活到71岁。但不是所有的学生都能借助于前面所学平均数的意义和性质来解释这些问题，学生很难真正理解这两个情境下的平均数的意义。

三、引发话题：培养学生的“统计概念”还是“数据分析概念”

《数学课程标准(实验稿)》中明确提出，学生学习统计与概率内容的重要目标是培养学生的统计观念。那么，统计观念的内涵是什么?是否能够培养小学生的统计观念? 我们培养学生的应该是“统计观念”还是“数据分析观念”?

M．克莱因在其著作《西方文化中的数学》一书中谈到：宇宙是有规律、有秩序的，还是其行为仅仅是偶然的、杂乱无章的呢……人们对这些问题却有种种不同的解释，其中主要有两类答案：其一是18世纪形成的决定论观，认为这个世界是一个有序的世界，数学定律能明白无误地揭示这个世界的规律。直至目前，这种决定论的哲学观仍然统治 着很多人的思想，支配着他们的信仰并指导其行动。但是这种哲学观受到了19世纪以来概率论、统计学的猛烈冲击，形成了一种新的世界观，即概率论观或统计论观，它认为自然界是混乱的、不可预测的，自然界的定律不过是对无序事件的平均效应所进行的方便的、暂时的描述。这就是众所周知的用统计观点看世界。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律性，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”

统计观念实际上是人的一种世界观，是对人、生存空间甚至宇宙特点的看法，大多数成人仍坚守着决定论的观点，形成统计观点非常难。因此有研究者提出培养学生的“数 据分析观念”比较切合学生的认知现实和教育现实。即认为数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵信息的；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析观念应该是态度目标的重要组成部分，态度目标的落实是在基本知识、基本技能的教学过程中完成的，一定要有学生的质疑、讨论分析、探究交流等过程，否则就是“说教”，很难使学生产生积极的情绪、情感，态度的形成也就流于形式。张老师这一课，以平均数的概念为本，让学生充分经历了前面所分析的“过程”，才能真正有态度的培养。

数据分析观念的培养，或者说对“态度”目标内涵的分析以及如何培养学生积极的态度，都是值得深人研究的课题。

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张齐华“认识方向”教学实录及评析
江苏南京北京东路小学 张齐华（执教） 张兴华（评析）


（学生分成四组，分布于教室的东、南、西、北四个方向）

一、引入
师：同学们，告诉大家一个好消息：咱们南通市要建“奥林匹克广场”啦！这个现代化的体育活动中心就建在我们学校的正南方向。你们知道哪个方向是南吗？用手指一指。
（学生纷纷用手指南）
师：哦！大家都知道这一面（手指南）是南。那么，除了南以外，你们还知道哪些方向？
生：除了南，还有北。
生：还有东、西。

二、展开
师：人（和物体）总是位于一定的方向和位置的。我们怎样辨别方向呢？你们有什么办法吗？
生：我看太阳认方向。太阳升起的一方是东。面向东，背后就是西，左面是北，右面是南。
师：这个办法真好！我们一起学一下。
（学生纷纷面向太阳升起的东方，分辨西、北、南）
生：不对！早晨可用这个方法。下午，面向太阳落山的方向是西，背后是东，左面是南，右面是北。
师：对！傍晚与早晨的情况正相反。要是阴天、雨雪天呢？
生：可以用指南针，指南针的箭头一端总是指向南。
生：我看房屋认方向，房屋的大门一般都是朝南的。
生：我看人们晒衣服，搭衣服的晒架总是装在房屋南边阳台上的。
生：冬天，积雪几天不化的一面肯定是北，冰雪很快融化的一面肯定是南。
生：山坡上，草木茂盛的一面是南。
评析：调度学生的生活经验和“数学现实”，让学生自己运用各种方法认识东、南、西、北的方向。通过交流和对话，使每个学生都个性化地学会辨认方向。

师：同学们有这么多辨认方向的办法，现在就请大家用这些方法确定你们组在教室中处在什么方向。
生：我们组在东边，因为太阳从我们这边升起。
生：我们组在东的对面，是西。
生：教室是朝南的，我们组正好在教室靠南的这边。
生：我们组在北边，在南的对面。
师：（把南通电视塔的模型放在教室中间）现在，南通电视塔就耸立在我们的中间。谁能说说电视塔与你们组的方向位置关系？
生：电视塔在我们组的东边，我们组在电视塔西边。
生：电视塔在我们组的西边，我们组在电视塔东边。
评析：学生被置于生动、现实的生活空间，运用各自的方法辨认四个方向之间的位置关系，真实而亲切。

师：南通电视塔一直在我们的中间，位置没有变，怎么一会儿在东，一会儿在西，一会儿在南，一会儿又在北呢？
生：因为我们在不同位置看电视塔。
生：从不同的角度看电视塔，就有不同的方向。
师：对！方向总是以一个地方为标准相比较而确定的，与不同的标准相比，就有不同的方向。
评析：抓住课堂上出现的情况，故作曲解，使学生生发方向的相对性意识。

师：（不经意地走到教室的西南方）现在，同学们在东、南、西、北各占了一个方向。可是朱老师呢？朱老师站在这里，是什么方向呀？
生：朱老师站在西南方。
师：为什么说这是西南方了
生：因为你站的方向是西和南交叉的地方。
生：因为你站的地方是西边偏南、南边又偏西。
师：谢谢同学们给我也定了一个方向，叫西南。现在，请同学们往四周看看。猜猜，还能发现一些这样的方向吗？
（学生环顾教室，讨论交流）
生：（指东南方）这又东又南的方向是东南。
生：（指西北方）这又西又北的方向是西北。
生：东南与西北是相对看的。
生：（指东北方）这又东又北的方向是东北。东北与朱老师站的西南也是相对看的。
评析：从西南方向的确定开始，再让学生通过“往四周看看”的空间观察，凭借已有的主观体验，发现东南、西北、东北等复合方向及其相对关系，学生享受着自己发现的成功喜悦，衍生出积极情感和自信心。

师：同学们认识了东、南、西、北，又自己体验出了东北、东南、西北、西南这四个方向。现在，谁能用上这些方位词介绍我们这个教室的情况？
（生居中介绍略）
评析：用刚刚学习的八个方向介绍复杂、多元的教室空间并非易事。从静态的大环境中分成相对集中的小组学习，可以使学生积极参与，彼此合作、交流，形成“动态的集体力量”。借助数学语言（方位词）表达和交流教室内的空间方位，可以认识生活中的客观事物，体验到数学与日常生活是密切联系的，体会到数学的内在价值。

师：现在，让我们到“市民广场”逛逛。（出示“市民广场”平面图）这是“市民广场”一带的平面图。这图上的方向怎样认呢？
生：平面图上总有一个十字样的标记，是表示方向的。
师：对！这叫十字指向标，它指示着图上的方向。谁知道指向标向上的箭头指示什么方向？
生：箭头指向北，表示图的上方是北。
师：那么，下方就是——
生：（齐）南！
师：平面图上的方向总是上北下南。哪面是西，哪面是东呢？想一想，在生活中，我们面向北站着，左边是——
生：西。
师：右边是——
生：东。
师：所以图上也是——
生：左西右东。
生：所以，图上的方向只要根据十字指向标，记住上北下南、左西右东就行了。
评析：在平面图这一虚拟的空间中，引导学生观察、定向、体验，比照生活经验进行想像、辨认方向，培养了学生的空间想像能力。

三、练习
师：现在，谁能说说图上“少儿书店”、“南通电影院”、“南通中学”、“文峰大世界”各在“市民广场”的什么方向？
生：“少儿书店”在“市民广场”的西边。
生：“南通电影院”在“市民广场”的东边。
生：“南通中学”在“市民广场”的北边。
生：“文峰大世界”在“市民广场”的南边。
师：我们学校在“市民广场”的什么方向？谁来指一下？
生：我们学校在“市民广场”的西北方。
师：再请看，“南通师范二附小”、“人民公园”、“奥林匹克广场”在“市民广场”的什么方向？
生：“南通师范二附小”在“市民广场”的东北方。
生：“人民公园”在“市民广场”的东南方。
生：“奥林匹克广场”在“市民广场”的西南方。
师：说起“奥林匹克广场”，最近，我们学校开展了“我为广场献一计”的活动。现在，请大家做个小设计师，给“奥林匹克广场”设计一张平面图，在广场上什么方向设计个什么馆、场、所……
（学生设计，画成平面创意图）
师：同学们都给“奥林匹克广场”设计了些什么呀？能向大家介绍一下吗？介绍时要用上今天学过的方位词，说明各场地、设施的方向位置。
（生交流略）
评析：练习突破了过去“技能操练”的陈规，而变为了一个个“问题解决”的过程。学生们在解决实际问题中，不仅掌握了知识，而且提高了运用所学知识解决实际问题的能力。

（总结略）

总评：
教学目标的定位，走出了数学知识技能的单行道，指向学生的全面发展，并且贯串在整个教学活动过程之中。结合方向位置在生活中的表现和反映，培养了学生用数学知识解决问题的意识。在观察、操作、猜想、想像等学习活动中，培养了学生有序思考的意识，发展了学生的空间观念。注重学生的情感体验，使学生在数学学习中获得成功的喜悦，锻炼了克服困难的意志，树立了学习自信心。学生在解决问题的过程中，学会与他人合作交流。
这节课的最大特点是：整个方向的认识都表现为学生的自主探索习得。教师为学生提供了从事数学活动的机会，让学生经历从现实到虚拟的情境中进行观察、操作、实践、猜测、想像、讨论、交流。从而认识了方向和物体的空间位置。