华应龙教学专辑

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华应龙案例研究之研究

新课程实验以来，不少教师都感到“这课我上不好了”。如何解决这一问题，笔者认为，案例研究乃“速效救课之丸”。

一、案例研究的意义

案例研究是与教学行为研究融为一体的研究活动。案例研究要求教师从自己的课堂教学中遇到的疑难问题出发，以解决自己的教学难题为归宿。教师在教学工作中研究自己课堂教学中的问题，通过对自身工作的反思或主动的设计和尝试来检验自己对问题的看法，检验解决问题的方案，并以自身教学行为的改善和教学效率的提高为最终目的。

案例研究是与教师专业发展融为一体的研究活动。在案例研究过程中，教师观念不断更新，眼界不断扩大，在工作中主动反思，深入全面研究和创新的能力不断增强，激发并维持着教师从教的乐趣和热情，唤起教师身为专业工作者内在的尊严和幸福感。

案例研究是同伴互助和专业引领相结合的研究活动。案例研究珍视教师个人的主动反思和独立探索，但同时强调志同道合的教师之间、教师和理论工作者之间自由结成研究伙伴，或者形成松散的“教育研究志愿者组织”，围绕某个实际教育问题或课堂教学实例，开展合作研究。在这样的研究过程中，教师并不是孤独的实践者和探究者，教师在“同伴互动”和“专业引领”中，寻找到了专业发展的帮助和支持，彼此分享了理论和经验。

案例研究是开放的研究活动。案例研究强调以解决教师教学问题为归宿，但并不排斥同事、同行的研究成果和实践智慧，相反它对任何教育理论和实践经验保持开放，并努力从中索取课堂教学改革的诗情和灵感。

案例研究是易行、有效、多层次、灵活的研究活动。案例研究不受时间限制，研究周期可长可短，课堂教学是研究，课后反思也是研究；不受人员限制，人少可以研究，人多也可以研究；不受能力限制，能力强的可以研究，能力弱的也可以做案例描述和案例分析，案例描述、案例分析、案例研究也构成了三个不同的研究层次；不受经费限制，多花钱可以研究，少花钱或不花钱也可以研究。

二、案例研究的内容

立足课堂和教师实际，广泛开展以一线教师为主体的、专业引领下的新课程教学案例研究；倡导“以行为反思行为”的教学研究模式，在教育教学实践中领会、理解、充实、升华新的教育理念，探究新课程理念下教学的新途径；研究案例积累与教师成长、学生学习之间的内在关系，探索以专业教研人员或教研骨干为主干的新型教研组织结构形式；筛选具有新课程理念的教学案例，并进行实证分析，进一步构建赋有创意的课堂教学策略，促进新课程理念在课堂上开花结果，促进广大教师的专业成长，促进学生生动活泼的、主动的和富有个性的学习。

三、案例研究的程序

案例生成。参加研究的教师共同选定一个或几个内容进行集体备课、集体设计，并组织观摩、研讨，对照新课程理念集体设计改进方案，然后再一次实施教学过程，并写成教学反思和体会。

案例研讨。将生成的教学案例结集汇编，组织广泛的研讨活动，形式包括现场观摩研讨、专家集中评点、个人解说反思、集体品评赏析等。

案例积累。组织参与研究的教师认真学习、研究优秀的教学案例，对教学案例进行个性化地评价、分析、批判、完善，并能主动地将其中的精华运用于自己的教育教学实践之中，以期广大教师能够将案例研究的方法、理念等自觉地应用于自己的教育教学工作。

四、案例研究的方法和手段

案例研究采取整体规划、专题研究、重点突破、典型引路、点面结合、滚动发展的策略。以学校为基地,进行课堂实录,坚持课堂教学和分析点评相结合，访谈问卷调查与统计分析相结合，定性分析和定量分析相结合，融理论与实践为一体。

五、案例研究的预期目标

1. 倡导“以行为反思行为”的教学研究模式，在教育教学实践中领会、理解、充实、升华新的教育理念，开创新课程理念下教学的新途径，改进教师的教学和促进学生生动活泼的、主动的和富有个性的学习。

2. 研究案例积累与教师成长、学生学习之间的内在关系，从个别到一般,透过现象看本质来揭示教学规律和教育思想,探索新课程理念下的教研组织结构形式。

3. 通过广泛参与的案例研究方式推动新课程理念进一步贯彻落实，促进广大教师的专业成长，培养一批教学、教研骨干。

六、案例研究的注意事项

１、理论探讨不要太偏。时下，“课堂生活化”、“思维个性化”、“教学人文化”、“问题情境化”、“参与自主化”、“互动有序化”、“过程活动化”等过极过偏的理念在新课程实验教师的口头和文中出现的频率甚高。固然新课程教学强调内容要联系生活、思维要尊重个性、教学要突出人文、问题要创设情境、参与要鼓励自主、互动要做到有序、过程要组织活动等，但并非面面皆“化”、一“化”则就。

2、研究范围不要太大。首先是理论探讨的范围不要太大，如“让学生当好主角”、“实践新课标，用活新教材”等选题范围太大，不便研究；其次是行动反思的范围不要太大，一节课的教学不要从头至尾的反思、多个片段的反思、多个方面的反思，以免面面居到、面面肤浅、无所收获。

3、对比反思不要太弱。横向对比、纵向对比、成败对比都是案例研究的重要方法。我们不要总是停留在成功案例的描述和分析上，要多开展案例间的对比分析与研究，在对比分析和研究的过程中体验新理念、感受新实践、获得新收获。

4、行动指导不要太虚。案例研究是以行动研究行动、以行动反思行动、以行动指导行动的实效和实用型研究活动。要切实通过案例研究，促进课堂教学改革的深化，促进校本教研能力的提升，促进教学专业水平的发展。

5、研究方式不要太单。案例研究可以采用先教再研与再教再研结合、教材研究与教学创新结合、个性研究与共性研究结合、个体研究与群体研究结合、横向研究与纵向研究结合等多样的研究方式，实行各种研究方式间的互补，促进案例研究的深入、有效开展。

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如何诠释和演绎人本数学

——湖北省小学数学解决问题专题研讨会课堂教学综述

华应龙

当前，从数学课堂教学的出发点和归宿点来看，小学数学课堂教学大致分为：
以“本”为本的课堂教学——让学生跟着教案、教本走
以“师”为本的课堂教学——让学生跟着教师走
以“他”为本的课堂教学——让教学取悦听课教师
以“生”为本的课堂教学——让教案、教本、教师跟着学生走
依据新课程理念，谁好谁坏、谁优谁劣已经无可争议。那么，以生为本、以人为本的数学教学究竟是怎样的数学教学？如何诠释和演绎人本数学？下面谈谈我在实践新课程过程中的切身感受。

一、人性的数学
《义务教育数学课程标准》指出：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是人类现代文明的重要组成部分。”
上述表明：数学具有工具性，同时又具有人文性。如何让数学教学浸润人文色彩、负载精神使命、流溢生命动感？教学实践给了我们一个明确的答案：让数学充满人性。下面从三个方面举例分析。
1、人性的数学，就是要让学生唤醒对身边与数学有关的某些事物的好奇心和求知欲。
现在，在我们的课堂教学中，几乎缺少不了教学情境的创设。一个好的情境的创设是对教材的补充和加工，是对数学的发展和创新，是对儿童的好奇心与求知欲的唤醒和提升。例如：在《认识人民币》的教学中，创设大头儿子与小头爸爸一起购物的动画情境。当学生面对令他们痴迷的动画片时，他们对数学学习的好奇心和探究欲望会由然而生，而且表现的特别强烈。
2、人性的数学，就是要让学生获取在数学活动之中战胜某些困难的成功感和自信心。
只要是学习，就会有挑战；只要是挑战，就会有困难；只要有困难，就会体验到成功的愉悦和失败的沮丧。这两者对于成长中的儿童来说，都是难得的经历和体验。例如，在《读统计表》的教学中，让学生经历了从不会读统计表到会读统计表、从只会简单的读统计表到会依据统计表进行合理、科学的预测的过程。有了这样的过程，数学教学就多了一份对人性的关注。
3、人性的数学，就是要让学生了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
当学生从现实情境中发现、解决数学问题，并建立数学模型后，我们的数学教学还仅仅只是开始。我们还应该用已经建立的数学模型，进一步解决人类社会中更多的更复杂的现实问题。例如在教学《解决问题》时，学生建立数学模型后，教学活动不是停留在简单的模仿和运用之中，学生能利用模型，灵活解决现实生活中可能遇到的乘车、乘船、逛游乐场中数学问题。
数学中蕴涵的美好人性，只有成为呼唤学生心灵的源泉和动力，才能实现其育人的功能。学生心中，原本就有着一切美好人性的萌芽和火苗，教师的责任，就是在教学实践中使之滋生起来、强壮起来、挺立起来。

二、生活的数学
小学生学习的数学应当是生活中的数学，是小学生“自己的数学”。数学来自于生活，又必须回归于生活。数学只有在生活中才富有活力和灵性。因此，数学学习就是要变“书本中学数学”为“生活中学数学”。请记住：数学的外延就是生活的外延。
1、生活的数学，就是要自觉将生活资源开发成数学课程资源。
“数学生活化，生活数学化”，强调的是数学学习的内容与现实生活的千丝万缕的联系。让数学教学多一点“生活味”、少一些“数学味”是对儿童学习情感的最好关注，是学习有用、有趣的数学的最好体现。例如，枯燥无味的计算如果与“买电器”这一生活事件联系在一起，学生无疑会觉得计算的有趣和有用。
2、生活的数学，就是要从学生的生活体验出发生成数学课程。
学生对数学知识的主动建构，要依赖于自身已有的知识和生活体验。对人性的关注，就应该关注学生已有的知识和生活体验。在此基础上，学生就会在数学活动中生成新知识，生成新技能。例如：在《认识人民币》的教学中，教师不是让学生去读、抄、记人民币中元、角、分的换算关系式，而是让学生在日常的反复的购物活动中，体验到1元里有10个1角，1角里有10个1分。有了体验就有了感受，有了感受就有了生成，有了生成就关注了人性。
3、生活的数学，就是能够用之于学生生活和时代生活的数学。
能够用之于学生生活和时代生活的数学，才是真正的有意义的有价值的数学。让学生学习这样的数学，学生会觉得有趣、有用，他们会主动参与，积极探究。这样彻底改变了教师把无用、无趣的知识硬塞给学生的传统教学方法。例如，在《读统计表》的教学中，学生通过预测小军未来几年的身高，学会了预测自己和他人未来几年的身高；通过预测武汉市今后几年的年最高气温和年平均气温，意识到保护环境就是保护人类自己、保护环境人人有责。
教育应从儿童的现实生活出发，扎根于儿童的生活，与儿童的现实的生活境遇发生关联，理解儿童具体生活的每一形态。而惟有建立在这种生活意义上的教育，才是一种完整的教育。

三、对话的数学
对话的数学，就是在课堂这个特定的情境中，教师与学生、学生与学生、师生与文本之间的平行交谈、平等沟通、真诚互动、民主协商。对话的数学，不仅仅是单纯的语言形式，同时也是双方精神、情感、生命的对话，是相互信赖氛围下的启迪，是交流之后的赏识与愉悦。
１、 对话的数学，就是基于民主和平等的数学。
对话离开了民主和平等，就是“独白”和“训话”。在课堂教学中，教师要少一些台前风光，多几份台下的平等参与；要少一些明确表态，多几份真诚倾听；少一些激昂陈词，多几份热情鼓励。只有这样，教师才能真正成为“教学活动的组织者、引导者、参与者”。
２、 对话的数学，就是强调互动与交融的数学。
在课堂的对话中，教师是引导者、启迪者，又是组织者、聆听者。教师时而与学生一起沉思，时而与学生一起感动，时而在学生疑惑处轻轻一拨，时而对学生的真切感悟会心一笑。在与学生的对话中，教师将自己的感受、感悟、感情、感动融入其中，不露痕迹却不忘引导。例如：在教学《24时记时法》时，师生围绕“24时记时法与12时记时法各有什么作用”这一问题，展开了平等而深沉的对话、激烈而深刻的思维碰撞，这就是互动与交融，这就是对人性的关注与关爱。
３、 对话的数学，就是鼓励超越和创新的数学。
课程的意义在学生的超越和创新中得到了重新发掘。这一发掘，融入了学生的情感、智慧、悟性和灵性。学生的生命潜能，正是在这一次次的超越和创新中得到了激活和喷发。例如：在《找规律》的教学中，学生不仅能认识规律、发现规律、模仿规律，而且能自己创造不同的规律，他们还能感受到有规律的摆放物品、栽花植树、设计图案会有许多作用。学生超越和创新的仅仅是教材、知识、自身，而是社会、生活、人类。

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大成若缺认识“圆”

——我上圆一课的思考

华应龙（北京第二实验小学）

【课前慎思】
《圆的认识》一直是小学高年级数学的教学内容，几乎所有小学数学教学领域的名师大家都用过这节课来“吟诗作画”，各领风骚；后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”，异彩纷呈。
我在欣赏品味之余,发现我们对于“圆的认识”这节课教学内容的处理，主要存在以下三个问题：第一，注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征；第二，注重让学生学会“用圆规画圆”，不重视让学生思考“为什么用圆规可以画出圆”；第三，注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料文化功能的挖掘。
我思考——“圆的认识”这节课究竟要讲什么?
我思考——“特征”是指“一事物区别于他事物的特别显著的征象、标志。”（《辞海》）那么，圆的特征究竟是什么?曲线围成、没有角、半径是直径的一半，是不是特征？“一中同长”的特征是不是需要下发空白研究报告，组织学生小组合作研究？这是不是为了“研究报告”而组织研究？这是不是教学上的形式主义?
我思考——半径和直径是不是应该“浓墨重彩”去渲染? “圆”的概念都没有给出,是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念？揭示两者概念后，让学生从一个圆内各个不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错？学生都不会有错的活动，要不要组织？这样的活动是不是教者自作多情、自娱自乐？
我思考——半径和直径的关系是不是教学难点，要不要研究，是否“顾名思义”就可以理解？得出关系后的填表练习，究竟是练习的两者关系，还是练习的乘以2和除以2的口算？我们是不是总是好为人师，以为我们不讲学生就不会？是的，熟能生巧，但熟还能生厌，那熟是不是还能生笨呢?现在的学生在课堂上是不是很少“不懂”装“懂”，而更多的是不是精明地“懂”装“不懂”？
我思考——量出半径都相等,就科学、深刻吗?在一个圆内，半径和直径真的画不完吗？画不完就能说明“半径有无数条”吗？ “半径都相等”和“直径都相等”要不要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”？我们说“正常人的两条腿是一样长的”，怎么不加上前提条件“在同一个人身上”？以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢？数学上的严谨就是这样的吗？要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”，这是不是教学内容上的形式主义?
我思考——圆的画法是应该教,以促进学生更好地学，但应该一、二、三地教吗?是不是在学生容易疏忽的两个地方“手拿住哪里”、“两脚之间的距离是直径还是半径”点破就可以了?学生抑或老师画出的不圆，是否就该随手擦掉？那些“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？
我思考—— 我们的小学数学教学是否应该不仅关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？这样是不是才凸显出“数学是思维的体操”这一学科特色？是不是应该带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识？“问题是数学的心脏”，我们数学老师是否可以给学生一个问题模式,让学生“知道怎样思维”，让学生掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维？
我思考——“圆”的意蕴实在是丰富，借着这么“圆满”的素材,我们是否可以在培养学生批判思维和突破常规的创新思维上做些文章，引导学生思考“一定这样吗”?柳暗花明、曲径通幽、殊途同归的心理体验，是否更有利于学生的可持续发展？
我思考……
经过一段时间的慎思明辨,我认识到“圆”这一节课应该讲的有价值的东西实在是太多，有舍才有得，一课一得足矣!
【教学目标】
1. 认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。
2. 在认识圆的过程中,感受研究的一般方法,享受思维的乐趣。
【教学过程】
一、 情景中创造“圆”
1.课件创设问题情景。
2.学生表达自己的想法。
3.展示学生的作品。

二、追问中初识“圆”
1.结合学生作品，追问：是什么？为什么？
2.课件动画演示。
3.研讨圆的特征。学生说，古人说。
4.质疑古人说法。“大方无隅”。

三、 画圆中感受“圆”
1. 画一个直径为4厘米的圆,并标上半径、直径。
2.从不圆中，感悟圆的画法。
3. 追问“为何这样做？”

四、 球场上解释“圆”
1.出示篮球场。
2.播放篮球开赛录像。
3.探讨大圆的画法。
4.追问大圆的画法。

五、 回归情景突破“圆”
1.出示爱因斯坦的名言:“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”
2.追问中提升认识。

六、 课后延伸研究“圆”
1.依一天时间顺序，配乐出示各种各样的圆。
2.让学生选择感兴趣的追问研究。

【试教后的反思】
非常成功，非常享受！已经拖课了，学生还是不愿意下课。
师父张兴华满意地对我们几个徒弟说：“应龙的这节课，我就七个字——浑然大气铸成圆！”
认识决定行为。已有的会成为包袱。备课时，我就觉得半径、直径不要像原来那样教，一问学生“这是一个多大的圆”，学生就会说出“半径、直径”。课堂事实也是这样，就让自己不再思考了。试教后一反思，才发现“宝物在哪儿呢？”是个更妙的问题，首先是回答了探讨的问题,其次是凸显了圆心定位置，半径定大小。现在想来，这样问，味道好极了！
正像电影《阿甘正传》中，阿甘妈妈对阿甘说的：“要想往前走，就得甩掉过去。”是啊，我今天的教法不就是想“甩掉过去”吗？但甩掉别人的过去容易，甩掉自己的过去就难了。否定别人容易，否定自己难。我是这样，听课老师会不会也是这样，而不肯接受我这节课呢？应该坦荡荡,何必长戚戚，“我的地盘我作主”，30年后再说吧。哦，我不该这样想，数学研究者往往是孤傲的，认为只有自己发现的“1”才是对的，我应该再思考，再否定自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处。真正的高贵在于超越从前的自我”。
顿悟：几何画板上显示“正多边形和圆的关系”应该从正六边形开始，这样暗合了刘徽割圆术也是从正六边形开始的，并且解决了几何画板上正三角形不正、看着不舒服的问题，还解决了与前面研究正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”重复的问题。哈哈，反思真好！
课上学生画出的“不圆”的资源化运用,感觉真好：有方法上的启迪、情感上的善意、借走橡皮的回应，那意境真有林黛玉说的“留得残荷听雨声”的美妙。
在完成了为什么没有规矩也画成了圆的追问，我说——是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径” 是多么重要的两个词啊！——之后，看到学生闪亮的眼睛，我心里真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？
…… ……
整体感受——在学生需要教的时候再教，效果就是好。看来我说“教是因为需要教”，没错！

自己以前也教过《圆的认识》，为什么没有今天这么享受呢？莫名地，我想起《老子》第四十五章：“大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。大直若屈，大巧若拙，大辩若讷。……”这几句话的意思是：完全做成的东西，看上去好像缺了些什么，但用起来却一点也不差。完全装满水的容器，看上去好像是空的，但用起来却一点也不少。非常直的东西看上去却好像是弯的，大的机巧看上去倒好像很笨拙，特别善辩的人看上去倒好像不会说话。
那，我“成”在哪呢?在没有增加新知识点的情况下，上得学生不愿意下课。让学生体验到不同现象背后的本质是一样的，让学生体验到认识事物“特征”的价值，让学生认识圆的“规矩”的同时感受了研究问题的“规矩”，让学生体验到追问“为什么”是一件很有意味的事情……爱因斯坦曾经说过这样的话:“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，学生可以成为一种有用的机器，但不能成为和谐发展的人。要使学生对价值（社会伦理准则）有了理解并产生出热烈的情感，那才是最基本的。”
那，我“缺”在哪呢? 这一节课，对原来所重视的基础知识和基本技能淡化了，学生发展的情况究竟如何？
以前，我教《圆的认识》时，总是觉得这不能丢，那也不敢掉，把自己扣牢在自己和他人一起画就的小圆里……
哈哈哈，现在的我真是在理想“圆”里！
为什么以前的我没能、没敢这么上？教学的能力不到, 教学的勇气不够，教学的追求没有……
为什么今天的我能这么上、敢这么上？课程改革的深入，百花齐放的氛围……大抵还源于自己对自己和他人教育实践的过程和结果的意义和价值的哲学之思。
“花未全开月未圆”，大成“有”缺。革命尚未成功，同志仍需努力！
拖课了，总是不好，如何在40分钟内和学生交流？要舍什么？
这节课，多处引经据典，是否过“度”了？“度”是几处呢？数学味淡了？那我们的课堂是为了学生的发展，还是为了上出一堂“数学的课”？话又说回来，哪一处又是与“数学”无关呢？是否只是“顺手一投枪”（鲁迅语）？那老师“顺手”多了，学生是否会目不暇接、“审美疲劳”？

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华应龙2008执教“圆”的课堂实录

在常熟市实验小学有幸听到了特级教师华应龙执教的《圆》一课，现将课堂实录摘下：

一、课前准备。

师：同学们都带圆规了吗？

生：带了。

师：那就请你们把圆规拿出来，再拿出准备好的白纸和一本练习本，本子可以垫在白纸下面。其余的都放到桌子里面去，数学书也用不着。

（生整理桌面上的东西）

师：我看到有人的桌子上有橡皮，谁把橡皮借我？

（一生递了上去。）

师：谢谢！还有吗？借我。

（又有几位递了上去。）

师（神秘地）：老师借橡皮，干什么？

生：擦。

师反问：擦黑板？（全班都笑）

生1：用橡皮画圆。

生2：擦掉画的圆。

师（呵呵地笑）：我借橡皮是为了让你没有橡皮！（全班错愕）没有橡皮下笔就会更慎重，想清楚了再写，但如果万一写错了，也没关系，就好好欣赏一下自己错的地方吧！

师：现在我们可以开始上课了吗？（学生起立）

师：同学们好！

生：老师好！

当老师要求学生坐下时，发现学生们正要向客人老师问好，华老师马上改正过来，说：哦！错了！重来。

师：同学们好！

生：老师好！（转向听课教师）客人老师好！

师（谦虚地）：这么一群有礼貌的孩子，碰到一个不礼貌的老师，那肯定是改变不礼貌的老师！

二、探究认识圆。

1．情境中导入圆。

师：小明参加奥林匹克寻宝活动，寻宝图上这样写着：宝物距离你左脚3米。孩子们，你们知道宝物在哪里吗？

师：如果用红点表示小明的左脚，1厘米代表1米，你能在纸上表示出来吗？

……

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华应龙 “我会用计算器吗？”课堂实录

【教学目标】
1、会正确使用计算器进行大数目运算。
2、能借助计算器探索简单的数与运算的规律。
3、经历探索规律的过程，体验转化思想方法的奇妙。
【教学准备】每名学生自带一个计算器，尽可能是10位以上的。
【教学过程】
一、计算比赛，体会计算器的作用
师：（在黑板上贴出一张计算器图片）认识这个么？

生：（齐）认识！计算器。

师：是啊，地球人都知道。那你在哪些地方看到过呢？

生1：售货员那里。

生2：商店，买东西的地方。

生3：会计那里。

生4：家里也有。

生5：妈妈的单位。

生6：我妈妈是干统计的，今天我带的计算器就是她借给我的。

师：能说得尽么？

生：说不尽。

师：在我们的身边，计算器是无处不在的。那么……（老师的话语停住了，开始板书，和黑板上的图片组成一句话：“我会用计算器吗？”）

师：问问自己，会吗？

生：（胸有成竹，异口同声地）会！

师：那行，请考考自己，这里有三道题。

①57734+7698= ②56÷7= ③2345－39×21=

师：看看你自己是不是真的会用计算器，看谁算得又准又快，开始。

（学生开始用计算器计算。）

师：第一道题等于多少？

生：65432。

师：第二道题不用说了是吧。第二道题有用计算器的么？

生：（用了，没用。两种情况都有。）

师：第三道题呢？

生1：1526。

师：还有其他的答案么？

生2：48426。

生3：1358。

师：不过大多数同学都是哪个答案？

生：1526。

师：究竟哪个答案对呢？

生：1526。

师：大家都认为1526是对的，其实也就是这种做法。

（课件出示：③2345－39×21=2345－819=1526）

生：其实48426也是对的。不过，可能她的计算器是算术型的。

生2：因为如果是科学计算器的话，应该知道先算39×21，要是普通型的话，按顺序输入就会先计算2345－39的得数然后再乘31，所以等于48426。

师：（恍然大悟）噢，真佩服！大家的计算器可能大多不是科学型的，不是聪明型的，而是傻瓜型的。傻瓜型的算的时候就会按输入顺序计算，算下来的结果就是48426。我很佩服刚才这个同学帮我分析了。其实开始出现这个结果的时候，我们还可以用估算来分析一下，是不是？谁来说说怎样用估算来判断？

……

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华应龙 “我会用计算器吗？”教后反思

我根据“以学论教”的观点，不把学生看成一张白纸，教在学生需要教的地方，上出了一节有意义、有效率的课，学生出教室的时候是和进教室的时候不一样的。
以往我们会教给学生怎样开机、关机，认识数字键、运算符号键、显示屏，会板书按键的程序框图。其实，这些都不需要教。这样教，并没有起到教学的促进作用。笔者以为在经济相对发达的地区，需要教的，是储存数据和提取数据的方法，以及在使用计算器过程中出现问题的指导上。
上完这节课，我有一个十分鲜明的感受，那就是“教是因为需要教”。
叶圣陶先生有句名言:“教是为了不教。”我觉得叶老的这句话可以从教学的过程和终点两个层面上来理解。我认为的“教是因为需要教”是从教学的起点和过程两个层面上说的，对当下的课堂教学是有针对性的。
回忆当初的教学过程设计——
关于课题。
在这节课上，我不是问“你会用计算器吗？”而是以不断地追问“我会用计算器吗？”来贯穿全课，体现了学习是学生的自主建构的理性认识和培养学生反思智慧的高度自觉，应然的课堂和实然的课堂达到了很好地一致，我非常满意。

关于课始的三道题。
人们在生活中是十分相信计算器的，甚至是“迷信”。但计算器算出来的结果一定对吗？
三道题中加法、减法、乘法、除法等四种运算都有，但一题有一题的功能。在组织学生交流完感受后，老师的概括是----
第一，为什么要用计算器？或者说什么时候才用计算器？遇到大数目的计算才用计算器来帮助，并不是所有计算都需要用计算器。
第二，孔子说“工欲善其事，必先利其器。”要真正用好计算器，首先要熟悉你的计算器，它是聪明型的还是傻瓜型的。像第三题，聪明型的计算器，当然可以直接输入了；傻瓜型的计算器，最好要学会用“M+”和“MR”这两个键。
考虑到可能有学生用“倒减”的方法来解决记忆中间数的问题，我设计了一道练习题“20655÷ (27×45) =”，对全班同学是巩固，对提出“倒减”的同学还是醒悟：“凡事都是有利有弊的”。
第三，使用计算器时要注意运算顺序，并可以用估算来帮助验算。

关于“猜数字”游戏
借助计算器可以让我们发现一些数和运算的美妙。但一些传统的题材在这节课中我都做了教学加工。不只是一种展示和欣赏，而更多的是一种激发和挑战。
我们熟知的：
12345679×2×9=222222222
12345679×3×9=333333333
12345679×4×9=444444444
…………
我把它加工成了妙趣横生的“猜数字游戏”，吸引了孩子的眼球。由乘变除，更加巧妙地彰显了计算器的优势。
在这节课上，我正视并接纳学生学习过程中的差错。课中创设的“猜数字游戏”，由于数位多确实需要用计算器，但正由于数位多，学生可能会把9个“5”输成8个或10个“5”，“12345679”也可能输成“123456789”。“计算器算的也会错？”分析错因的过程就是学习使用计算器的过程。
我用计算器尝试了学生可能出错的各种类型，以便自己心中有数，但在执教过程中，又不是直接指出学生错在何处，那样就剥夺了学生自己“反省”的机会。想到郑板桥的“难得糊涂”的名言，课上的我装糊涂，学生报出“2.700000022”时，我愣住了，好像被难住了，过了一会才说：“你算错了”，给学生的印象是老师思考后作出的判断，应好好“反省”。板桥先生说“由聪明而糊涂难上加难”，看来也不一定，只要把学生放在主体的位置上，做老师的就好“糊涂”了。

关于“挑战题”
根据大家熟知的“宝塔数的美”：
1×1= 1
11×11= 121
111×111= 12321
1111×1111= 1234321
11111×11111=123454321
……….
我加工成了“22222222×55555555＝？”，可以说是苦心孤旨。这样的题更富于挑战性，恰到好处地渗透了“化难为易，化繁为简”的转化思想，同时让学生领略了数学的美妙。学生在解决这样有挑战的问题时，可能会想出竖式计算，老师再结合竖式
学生解出这道“挑战题”后，我打算用华罗庚先生的“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的诀窍。”一段话来总结的，虽然他的这段话说得浅显易懂、深刻实用，我对本家也很有感情，但我更想让学生尽早知道被外国人十分尊崇而很多中国人并不知晓的我国第一位哲学家“老子”的言论。这样就选择了普适性更强的“天下难事，必作于易，天下大事，必作于细。”。两者都用的话，叠床架屋并不好。

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华应龙“百分数的意义和写法”实录与解读

【课堂实录】
师：同学们，喜欢踢足球或看足球吗？（播放足球比赛录像片断）去年我国足球史上发生了一件大事，我想你肯定知道啦--
生：中国男子足球队冲出了亚洲，走向了世界。
师：对！踢球的11个，赢球的13亿！全国人民喜气洋洋。如果在今年的世界杯比赛中，我们中国队获得一个宝贵的罚点球的机会，你是米卢的话，将会安排哪位球员来主罚这粒点球？
生1：郝海东！
生2：祁宏！
生3：范志毅！
师：你为什么安排郝海东来主罚？
生1：郝海东在十强赛中进球最多！
师：那你为何让祁宏来主罚？
生2：祁宏的脚法最好！
师：（看着生3）请说说你的理由。
生3：范志毅是三朝元老，心理最稳定。
师：三位都言之有理。那究竟安排哪位主罚呢？我想，米卢会比较一下队员中罚点球最好的那几位的成绩，然后再定夺。你认为呢？
同学们点头称是。教师出示以下表格：

球  员	罚点球总数	进球数
郝海东	25	22
范志毅	20	18
祁 宏	50	43

师：看了这张表格，你认为谁去主罚最好？为什么？
学生大多说"范志毅"。
生4：我觉得应让范志毅来主罚，因为他罚球最稳、最准。
生5：我觉得哪位失球最少，就该让哪位主罚，所以安排范志毅去罚。
师：有道理。郝海东失球数是25-22=3，范志毅失球数是20-18=2，祁宏失球数是50-43=7， 这样看来是应让范志毅去罚。同意这一理由的，请举手。
全班学生都举手了。
师：考虑好了吗？不改啦？
生齐：考虑好了！不改啦！
师：按这样的说法，如果我罚点球的成绩是罚1个球，可踢飞了。我的失球数是1-0=1，最小，那个点球倒该我去罚了不成？
学生们都笑了。笑过之后是思考，少顷--
生6：我会安排范志毅来主罚。因为郝海东踢25个进了22个，照这样计算，郝海东踢100个会进88个；范志毅踢20个进了18个，那么，范志毅踢100个会进90个；祁宏踢50个进了43个，那么，祁宏踢100个会进86个。这样一比较，我是安排范志毅去踢这个点球。
师：是个好主意！乍看不明白，照这样计算之后，都踢满100个球就一目了然。
生7：（抢着说）应算进球数与罚球总数的百分比。郝海东是88%，范志毅是90%，祁宏是86%，所以应让范志毅去踢。
学生们眼睛一亮，颔首赞同。

……

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【案例解读】
传统教学中，学生缺少自主探索、合作学习、独立获取知识的机会，依*查阅资料，集体讨论为主的学习活动很少，很少有根据自己的理解发表看法与意见的机会，教师也很少布置如观察、制作、实验、读课外书、社会调查等实践性作业，课堂教学在一定程度上存在着"以课堂为中心，以教师为中心和以课本为中心"的倾向。因此，改造这种单一、被动的学习方式正成为扎实推进素质教育，深入贯彻《基础教育课程改革纲要》精神的重点研究课题。
"百分数的意义和写法"一课是积极的尝试，勇敢的探索。
--从这节课上，我们可以鲜明地认识到：小学生学习的数学应是生活中的数学，是学生"自己的数学"。数学来自于生活，又必须回归于生活。数学只有在生活中才能赋予活力与灵性。数学学习内容远离生活无疑是导致学生对数学没有兴趣的根本原因，它使本该生动活泼的数学学习活动变得死气沉沉。有鉴于此，数学的教与学应该联系生活，注重现实体验，变传统的"书本中学数学"为"生活中做数学"，建立以解决问题为中心的师生教学相长的互动关系模式。
许多孩子都对足球感兴趣。他们差不多都有自己崇拜的球星，这个球星是多少号，有什么嗜好，他们简直如数家珍。教者将对孩子极具吸引力的足球与数学学习巧妙结合起来，引领孩子们进入数学的园地，是件十分有趣的事。
"如果你是米卢，你安排哪位球员去主罚这粒点球？"学生们见仁见智，孩子化、个性化的见解，颇值称道。在"山穷水复疑无路"之时，学生6、7的发言似一颗石子投进蓄势已久的平湖，激起了层层涟漪，"柳暗花明又一村"。因为学生在生活中早已接触到百分数，课前老师又布置学生--①找：寻找身边的百分数，想想它表示的意思；②查：查资料，可以上网搜索，也可以请教他人，了解有关百分数的知识；③问：对于百分数还有哪些疑问。所以学生头脑中对"百分数"是有准备的，只是没想到在熟悉的足球中可以用上。如果开课就让学生交流收集的百分数，然后学习百分数有关知识，在回答为什么生活中要用百分数时安排"罚点球"一题，也是可以的。不过，那样的话，"罚点球"一题的解答将是例行公事，思路闭锁，空间狭小，了无生气。知识是知识，生活是生活。陶行知先生说过："生活与教育是一个东西，而不是两个东西。"前后次序的调整，有时会别有洞天，生发出意想不到的教育效果。"朝三暮四"的成语故事也是个很好的例证。"灵感总青睐有准备的头脑。""学了知识，原来是可以用上的。"我想学生头脑中会有如此等等的认识，应该说这样的教学处理学生学到的绝不只是"百分数"的知识，而是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的综合发展。
"为什么要算百分比呢？如果不求进球数是罚球总数的百分之几，而是求几分之几，行不行呢？"教者不是在学生说出"百分数"后，迫不及待地以"裁判"自居，而是组织学生讨论。这样，既尊重学生的主体地位，让学生自探明之，自求得之，又以完成"由谁来主罚点球"这一具体任务为驱动，巧妙地把教学内容隐含其中，抓住了本节课的教学重点。
这样，"学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的"。我们的学生在学习时就会感到一种乐趣，体验到一种成就感，激励他们进行更深入的学习与研究。
学生交流收集到的百分数的意义一环，可以说是精彩纷呈，教师不断地赞赏学生独特性和富有个性化的理解和表达，师生之间弥漫、充盈着一种精神氛围，师生共识、共享、共进，形成了一个真正的"学习共同体"。虽然学生只是举了一两例，但怀海特说过，"教育的问题就在于使学生通过树木而见到森林。"现在的学生生活是丰富多彩的，他们接触到的世界是五彩缤纷的，他们能够用不同的生活来感悟书本。这样，把生活和知识关联起来，建立意义的联系，使学生明白知识来自于生活，帮助学生在生活中发现意义和充满意义。知识，在交流中增殖；思维，在交流在碰撞；情感，在交流中融通。学生学习的不只是"文本课程"，而更是"体验课程"。这正是《数学课程标准》中提出的新的境界：数学教育应该"在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上"，"帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法"，"获得广泛的数学活动经验"。
--从这节课上，我们可以强烈地感受到：学生学习方式的变革所带来的是课堂教学的生机勃勃，彰显了课堂教学的生成性本质特征。学生能够用自己的眼睛去观察，用自己的头脑去判别，用自己的语言去表达，能够成为一个独特的自我。我们教师要珍惜学生那种想象的丰富性，让学生带着主观臆测（哪怕是错误的），将感性知识暴露出来；我们教师要激发那种灵感的活跃性，让学生学习兴奋的选择性得到泛化，神经联系的突发性得到加强。《数学课程标准》的理念是"以人为本"，这就决定着数学教学的目标指向：适应并促进学生的发展。因此，我们教师必须以学习者的角色去读懂学生。因为只有知道什么样的学生是好学生，自己才能教好学生；只有知道什么知识为学生所需要，自己才能为学生提供所需要的知识；只有了解学生学习的最佳方式，自己才能找到最佳的教学方式。
--从这节课上，我们可以清楚地看到：教师是学习活动的组织者，是为学生提供环境、条件、刺激的创造者，同时是一个积极的鼓动者和参与者。教师成为了学生中的"一个"，参与学生的共同活动，而不是自作权威，高高在上，成为机械传递知识的简单工具。只有这样，教师才能把准学生的脉搏，进入学生的内心，和学生的情感产生共鸣、撞击和生发，才能有"天光云影共徘徊"的教学效果。
整节课上，教师没有提及"表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分?quot;这一经典的概念，也没有一步一步地概括，然后借助一位优生的嘴巴，把这句严密、枯燥、抽象的话语塞给学生。但是整节课从头到尾都紧扣"百分数的意义"这一教学重点和难点，苦心经营，匠心运作。"写数"一节的教学更让课堂闪耀创新的光辉。黑板，不再是教师神圣的领地；板书，不再是教师独有的专利。黑板上，教师只写"百分数"三字，惜墨如金，但允许学生涂鸦，写满了百分数。在教师请学生说出所写百分数的意义的一刹那，我想每个百分数后面都藏着那句经典的概念。学生的交流无不是将已经获得的主观印象投射在所写的百分数中，从学生饶有趣味的解说中完全折射出了学生对百分数的认识。说哪个百分数的意义呢？不再是教师指派，而是自主选择。萝卜青菜各有所爱。求异的心态，又驱使学生选择了各具特色的百分数来解说意义：小于100%的，等于100%的，大于100%的；分子是整数的，分子是小数的。那是多么的丰富、生动啊！可以说，那经典的概念教者一字没写，但不着一字尽得风流。反思我们以往的教学，如果说学生上课时还带着饱满热情的话，但随着课的进程，生硬的抽象、概括的展开，学生的热情慢慢地被消耗殆尽，原本生动的教学变得机械繁琐，索然无味。诚然，数学学习过程实质是现实世界各种数量关系内化上升为形式化的过程，但是，我们对小学生的要求应"淡化形式，注重实质"，一切以学生的发展为本，不能过分地刻意地去体现数学教学的严谨性，而应以解决问题为中心，以引导学生发现问题、分析问题、解决问题的逻辑性来体现教学的严谨性，深刻地理解明确知识与默会知识的联系。
--从这节课上，我们可以深刻地体会到：教学不能等同于发展。只有那些能够激发学生强烈的学习需要与兴趣的教学，只有那些能够带给学生理智的挑战的教学，那些在教学内容上能够切入并丰富学生经验系统的教学，只有那些能够使学生获得积极的、深层次的体验的教学，也只有那些能给学生足够自主的空间、足够活动的机会的教学，也就是只有那些倡导新的学习方式即自主学习、合作学习、探究学习的教学，才能有效地增进学生的发展，创建一种开放的、浸润的、积极互动的课堂文化。君不见，学生获得发展时，那茅塞顿开、豁然开朗、怦然心动、悠然心会的神情是多么地生动和迷人！
这样的教学，从学生的发展来说，是潜能的开发、精神的唤醒、内心的敞亮、独特性的彰显和主体性的弘扬；从师生共同生命历程的角度来说，是经验的共享、视界的融合与灵魂的感召。
如此充盈着生命活力的课堂，能不享受到教育的幸福？

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华应龙“角的度量”课堂实录

一、引入，产生量角的必要
1、（出示三个滑滑梯，角度不同）
师：想滑哪个？
生：第三个，因为刺激
生：第一个矮一些，最后一个最高
师：还有不同吗？
生：角有不同
师：对，这些角有大有小
2、
师：那么滑滑梯的角度到底多大才合适呢？我们就需要量出角的大小。
生：可以用量角器量
师：会量的举手
尝试：用量角器量一量角2到多大。
独立尝试——生演示
（方法不是很准确）

二、认识量角器
1、师：我们先不去研究到底有多少度，看到这个量角器，这么复杂你有什么问题吗？
生1：两圈数字到底看哪圈数字
生2：角是尖尖的直直的，量角器怎么是圆圆的。
师：还有其它问题吗？（学生思考）虽然没有人回答，但大家都在思考
生3：外面一圈是什么用的？
生4：为什么左边是外圈大，右边是内圈大。
2、师：我们来讨论第二个同学的问题，量用器是用来量角的，能在量角器上找到角吗？
生：不是，因为那里虽然有一条是直的，但另外一条是弯的
师：角是两条射线……
生2：这里是一个直角（指向量角器的90度）
师：同意吗？那么这个角的顶点在哪儿？我们可以用一个词来表达。
生：中心
师：对，这个点我们就叫量角器的中心，这一条边是0，我们就叫他0度刻度线。另外一条呢（90度刻度线）
3、师：90度还有个简单的写法——900。简洁，来写一写
师：在纸量角器上画出一个90度的角。想一想，顶点的哪里？画长画短有关系吗？
4、师：在第二个纸量角器上画一个60度的角。尽可能与同学画得不一样。
（展示两个作品——左右两边的角）
师：相同的是60度，什么不一样
生1：位置不一样
生2：边画的地方不同。
生3：边长不同
生4：两条边所夹的角的方向不同。
师：对，也就是开口方向不同。我们还发现这里是外圈是60度，而另一个是内圈是60度。
现在你们知道内圈和外圈有什么用了吗？
生：左边就是内圈，右边就读外圈。
师：说得直好，其实我们也可以不用去记左边右边，这里有一条0刻度线。我们知道0就是……对，就是表示开始，我们只要记住从0这里开始了。
5、师：在第三个纸量角器上画上一度的角。
师：太难了是吗？这里有没有标出1度呢？其实从边开始的一小格就是1度的角。
师：能找到多少个1度多的角？
对，全世界都规定把一个半圆平均分成180度。
感觉到1度的角很小很小对吧？
6、师：在第四个纸量角器上画一个157度的角。
展示作品。
作品1：正确（简评）
作品2：（画了一个23度的角）
生1：这个角接近140，不是接近160。
生2：应该从0度刻度线开始画，而他从180度开始画了。
7、有收获吗？有些问题是不是解决了？

三、运用量角器。
1、观察刚才画的四个角，有什么相同的地方吗？
生1：顶点相同，还有一条相同的横线。
生2：都是从0度刻度线开始画起。
2、你从量角器中能看到什么？
生1：看到180个1度的角。
生2：有18个10度的角。
生3：有14个蓝色的数字。
生4：360个5刻度的角（师：可能要琢磨琢磨这句话）
生5：看到了两个直角。
师：我们已经有一双数学的眼睛，有些同学画了就看到， 不画就看不到，相当于穿马夹就认识不穿就不认识。
3、师：量一量角2 是80度还是100度？
生：同桌交流量法。
反馈：
生：要对准顶点，对准0刻度线。
师：那这个有什么问题吗？（没对准一点）
（演示学生在认真校正）——这个过程的记忆
师：那谁能说说量角的过程了呢？
生：先对准顶点……
生2：我有补充，应该看另一条边有多少度。
师：其实就是把量角器上角和要量的角重合在一起。

四、练习。
4、师：看看角3，比一比和角2 一样大吗？去量一量
生：一样大
师：我们又证明了角的大小和边的长短无关。
量一量角4（钝角） 角5 角6（开口方向不一样）。
教师用简笔画画出足球门
拓展交流：
德国足球博物馆放着量角器，说明射门角度的精准
风筝高度怎么量
8度学习 9度吃饭 11度沙发 滑梯40~56度24分。

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华应龙“莫比乌丝圈”教学实录

教学背景：

“莫比乌丝圈”是北师大版五年级上册的教学内容。教材中的“莫比乌丝圈”也就是很多趣味数学读物上提到的莫比乌斯带。莫比乌斯带也叫莫比乌斯圈。

莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的一个副产品。莫比乌斯带已被作为“了解并欣赏有趣的图形”之一写进了新的数学课程。

教学实录：

一、变魔术

师：（出示一张白纸条）请拿出这样的白纸条，这张纸条有几条边？几个面

生：（齐）四条边、两个面。

师：一个正面、一个反面。现在我 会变魔术，我能把它变成只有两条边、两个面。

(师微笑着把纸条变成纸圈。)

师：是不是两条边、两个面?

生：是!

师：你会吗?

生：会!

师：我看那位同学的笑很特别，什么意思?

生：(笑着说)这没什么神奇的!

师：是啊，地球人都知道。奇妙的是我还能把它变成一条边、一个面。

(生瞪大眼睛，兴趣一下子被激发起来了。有同学在想，有同学在试。)

师：非常好，有同学在大胆尝试，有五六位同学已经做出来了。太棒了！是不是这样的?

(师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯圈。)

师：不想让你们看到!(师出示莫比乌斯圈)想想吧，是怎么做的?

二、做纸圈

师：(看到大多数同学都做成了)同学们可以互相帮助。看到同学们快乐的笑脸，我真高兴！我们可以这样做： (师演示)先做成一个普通的纸圈，然后将一端剪开翻180°，再用胶水粘牢。是不是一条边、一个面?怎样检验呢?

(生用手指沿着纸条的边和面各画了一圈。)

生：是一条边、一个面!

师：我们一起动手，都来检验一下吧。拿出一支水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面。

生：真是一个面，怎么回事?

……