胡光锑老师解读小学数学教学的100个问题（二）

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问题11：如何理解“提倡算法多样化”？是不是算法越多越好？

学生在进行运算时，有以下两种不同的情况：第一种是学生按照教师的方法完成运算。过去教学20以内进位加法时，都要求学生用凑十法。如学习9加几，先要复习三部分内容（1）9＋（）＝10，（2）把9以内的数可以分成1和几，如3可以分成1和几，4可以分成1和几……，（3）9加1在加几的连加，如9＋1＋2，9＋1＋4……，为学习凑十法作好准备。然后出示例题9＋2＝？教师用教具演示，拿出一个有10个格子的盒子，装了9个皮球，有一个格空着，外面放2个皮球。有上面的铺垫和教具的演示，学生很快会想到从盒外2个皮球中拿出1个放到盒内去，凑成10，再加盒外面的1个是11个。然后让学生口述统一语言的凑十过程，人人都掌握拆小补大的凑十法。

第二种，学生根据自己已有的知识，在教师的启发和引导下，使用自己的方法运算。在后一种情况下，由于学生生活的背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多样的。仍以9加几为例。请看下面课例片断：

创设问题情境，需要用9＋5来解决，放手让学生讨论9＋5＝？怎样计算（课堂气氛活跃起来，出现以下情况）

（1）数小棒。先数出9根小棒放一堆，再数出5根小棒放另一堆，从9开始，继续数出5个数来而得到14。

（2）摆小棒。把9根小棒、5根小棒各放一堆，从5根一堆中拿出1根和9根放在一起。9＋1＝10，10＋4＝14。

（3）摆小棒。把9根小棒、5根小棒各放一堆，从9根一堆中拿出5根和5根放在一起。5＋5＝10，10＋4＝14。

（4）推理。10＋5＝10，9＋5＝14。

对于同一个问题，学生得出许多不同的计算方法。这些方法都是学生自己的方法。有些方法并不高效，甚至有时有些方法并不合理，但却是学生思考的结果。由此可见，提倡算法多样化，有利于培养学生独立思考，发展学生的创新思维。

提倡算法多样化是不是越多越好呢？不是的，算法多样化是指思考策略的多样化，仍以9加几为例，上面的四种方法代表了不同的思考策略，第一种是计数，第二、三种用的是凑十，第二种是拆小补大，第三种根据第二个加数的特点，利用拆大补小；第四种从已知推出未知。如果还有的学生提出把5分成2和3或者3和2，把其中一个数先与9相加，就没有意义了。

提倡算法多样化会不会加重学生负担呢？算法多样化与一题多解是不同的。一题多解是要求每个学生掌握多种解法，考查学生多方面的知识技能。算法多样化是指群体的多样化，对每个学生来说，只要求掌握自己喜欢的方法。

算法多样化要不要进行优化呢？我们当然应该提倡高效的方法，但是，儿童心目中的“优化”与成人不完全相同的。有一次我去听课，内容是百以内的退位减法，24－6＝？老师要求学生采用的方法是：把24分成10和14，14－6＝8，10＋8＝18。但是有一个学生在说计算过程时却说：6－4＝2，20－2＝18。教师没有思想准备，否定了这个学生的算法，怎么能用减数去减被减数呢？你这是碰对的。这个学生很不服气，他又举出了很多实例，说明自己的算法是对的。其实这个学生的算法的确是有道理的，他习惯于转化成整十数再去减一位数。另外，有些算法因题制宜，如9＋2用数数也能很快算出得数。在20以内退位减法中，用“破十法”还是“用加算减”好，很难分出高低。当然，用数数的方法计算一般的加法，绝不是高效的，我们可以通过合作交流，引导学生心甘情愿地学习别人高效的方法。

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问题12：如何理解空间观念？怎样培养学生的空间观念？

在过去的教学中，也提出要培养学生的空间观念，但没有真正落到实处，重点仍然放在图形的性质，周长、面积、体积的计算。《标准》中规定的内容，将视野拓展到生活的空间，为培养空间观念创造有利的条件。

空间与人类的生存和居住紧密相关，了解、探索和把握空间，能使学生更好地生存、活动和成长。例如，小明在家打电话给小红，请小红到家里来做客。他就要说清楚自己家的方位，从小红家到他家的路线。空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何创造发明。因为，许多创造发明都是以实物形态呈现的，作为设计者首先要从自己的想象出发，画出设计图，然后根据设计图做出模型，再根据模型修改设计，直到完善成型。这是一个充满想像力和创造性的探究过程，这个过程也是人的思维不断在二维和三维之间转换、利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关重要的作用。

《标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化“。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直观感知的基础上，理解空间与平面相互之间的关系。例如《标准》理念下的教材，安排了这样的素材：由若干个正方体搭成一个物体，三个同学分别从正面、侧面、上面来观察，有三幅平面图，哪位同学看到哪幅图，让学生连一连；又如，有几幅物体平面展开图，让学生想象哪幅平面图折起来是一个正方体，哪个是长方体。以上提供的这些素材，都有利于培养学生的空间观念。那么，在教学中，怎样培养学生的空间观念呢？提出以下想法，供老师们参考。

1． 利用学生的生活经验

学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。我们在生活中接触到的都是物体，因此，孩子们刚入学，在学习“空间与图形”这一领域的内容时 ，是先从认识物体，学习立体图形开始的 ，再学习平面图形，最后再进一步研究立体图形。这就是从学生的经验出发来安排教学内容。在学习方向与位置时，利用学生的生活经验“太阳从东方升起”，清早带学生到操场，让学生面向太阳升起的地方，这就是东方，背后就是西方，面向东，右侧就是南方，左侧就是北方。利用生活经验，确定东方后，认识其它三个方向。在教学图形的变换时，利用学生常见的生活现象，认识平移与旋转，如缆车的行进，升降旗等现象认识平移，风车的转动，直升飞机螺旋桨的转动都是旋转现象。一些美丽的图案都是基本图形通过平移和旋转后得到的。这样把视野拓展到生活空间，密切联系生活实际，有助于培养学生的空间观念。

2． 学生亲自动手操作

学生亲自动手，让视觉、听觉、触觉等多种感官协同参与活动，使学生有较多的机会通过内容丰富的图形符号感知及实际操作探究活动，有利于空间观念的形成和巩固。例如，低年级儿童如何初步了解平面图形，教师讲解是说不清楚的。可以让学生动手操作。用一个长方体，平放在纸上，再沿着边画下来，纸上画的就是一个长方形，学生亲自动手画一画，初步感知面与体之间的关系。在初步认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形的基础上，可以进一步组织“动手做”，让学生在钉子板上围一围，欣赏一些美丽的图案，说一说是由哪些图形组成的，特别是利用七巧板让学生拼成自己喜欢的图案，并说一说是由哪些图形拼成的。这些活动都有助于学生空间观念的形成。

（三年级上册第15页）

还可以组织一些游戏，如在学习观察物体时，可以组织“搭一搭”的游戏，甲生已经搭好了一个立体图形，乙生通过问问题，搭出同样的立体图形。乙生：“用了几个正方体？从正面看是几个正方形？”甲生：“用了3个正方体，从正面看是3个正方形。”根据甲生提供的信息，乙生可能搭出3个这样的物体，会是哪一个呢？乙生又要提问题，使其缩小范围。乙生：“从侧面看是几个？”甲生：“2个”。乙生得出判断：只能是这两个。进一步提问题，乙生：“上面的方块在左边还是右边？”甲生：“右边。”从而搭出了一个与甲生同样的问题。这一活动看来是一个游戏，但是，这样的活动对培养学生的空间观念和空间想像力是有很大帮助的，有一定的挑战性，学生是很感兴趣的。在推导一些图形的面、体积计算公式时，老师们经常采用让学生动手操作，这是值得提倡的。

3． 空间观念需要自主探索与合作交流的氛围

以被动听讲和练习为主的方式，是难以形成空间观念的。培养空间观念需要大量的实践活动，学生要有充分的时间和空间进行观察、测量、动手操作、对周围环境和实物产生直接感知，这些都不仅需要自主探索、亲身实践，更离不开大家一起动手，共同参与，合作交流。例如，在学习轴对称图形时，可以开展“剪一剪”活动，教师发给每个学生印有瓶子的一半或衣服的一半轮廓图，先让学生想象一下，这是什么，然后让学生设法把这个物体的整个图形剪下来。学生就要自主探索，亲自实践，有的学生认真地画出另一半，然后沿着轮廓剪下来，但总不十分像。有的学生先把纸对折，再沿着瓶子或衣服的一半轮廓来剪，打开后就是一个瓶子或一件衣服的图形，通过交流，分享各自的想法，通过操作，使学生体会轴对称图形的特点，对折后完全重合。这个瓶子和这件衣服都是轴对称图形，折痕就是对称轴。这些概念的获得，是在动手操作，自主探索、合作交流的氛围中进行的，有利于培养学生的空间观念。

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问题13：如何理解统计观念？怎样培养学生的统计观念？

《标准》在总体目标中提出要使学生“经历运用数据描述信息、做出推断的过程，发展统计观念”，首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，这样做的最主要原因是统计与人们日常工作和社会生活太密切相关了。在以信息和技术为基础的现代社会里，人们面临着更多的机会和选择，常常需要在不确定情境中，根据大量无组织数据，做出合理的决策，这是每一个公民都应当具备的基本素质。而统计正是通过对数据的收集、整理和分析，为人们更好地制定决策提供依据和建议。因此，义务教育阶段数学课程应培养学生具有从纷繁复杂的情况中收集、处理数据，并做出恰当的选择和判断的能力。

在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。所谓“观念”，就不是一种简单的技能，而是需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉，它反映的是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果，自觉的想到运用统计的方法解决有关的问题等等。观念的形成不是一蹴就成的，需要有一个逐步深化的过程，因此课程标准的教材从低年级开始，就安排有组织统计活动的内容，但知识点的进展是非常缓慢的，到第一学段才学到条形统计图。那么怎样培养学生的统计观念呢？

1． 使学生经历统计活动的全过程

“观念”的建立需要人们的亲身经历。要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中；提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流等。例如，北师大版一年级下册教材创设了一个组织比赛的情境，同学们在操场上讨论：“组织什么比赛好呢？”“去问一问同学，他们最喜欢什么活动？”这就使学生认识到统计对决策的作用，引起学生进行调查的愿望。教材紧接着安排小调查，“调查你们班的部分同学，他们最喜欢什么活动，在下图中涂一涂。”这就要组织学生收集数据、整理数据。用在方格纸上涂一涂的方式呈现数据。最后安排学生说一说：

（1） 从统计图中可以看出，调查了（ ）名同学。

（2） 喜欢（ ）活动的人数最多，喜欢（ ）活动的人数最少。

（3） 如果你们班有一名同学没来，猜一猜他最有可能喜欢（ ）活动。

（4） 你认为你们班最好组织什么比赛？

这就是引导学生分析数据，做出合理的决策。上面的例子就是根据低年级儿童的特点，组织学生经历统计活动的全过程。

2． 使学生能读懂统计图

在信息时代，生活中充满了各种数据，这些数据用形象的统计图表来表示。我们在报刊、杂志、电视、广播、书籍、互联网等到处可以看到统计图表。所以有人称我们进入了一个“读图时代”。为了能在这个“读图时代”里更好地生存，首先会读懂图，从大量的“图”中获取有用的信息，从而做出决策或预测。这也是培养学生统计意识的重要方面。例如北师大版二年级下册教材安排了下面一幅统计图，要求学生根据统计图回答问题。

（二年级下册第89页电脑销售统计图及问题）

这幅统计图呈现给学生的是某商店10天中电脑销售情况统计图。图中的时间没有从周一开始，而是从周三开始的，学生应根据前面7天的情况，分析出星期一、二、三电脑的销售量很小，星期五的销售量明显增加，星期六、日的销售量最高，由此预测接下来的周六、周日、周一销售量。有意识地选择一些适当的素材，安排一些这样的读图活动，有利于培养学生的统计观念。

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问题14：如何理解应用意识？怎样培养学生的应用意识？

现代信息技术的飞速发展，极大地推进了数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活的方方面面。学习数学，不能仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用。只有如此，才能使所学的数学富有生命力，才能真正实现数学的价值。这就要求我们必须注意从小培养学生的应用意识。那么怎样理解应用意识呢？《标准》关于应用意识的刻画，为我们理解应用意识提供了基本依据。义务教育阶段的数学学习，学生的应用意识主要体现在以下三个方面。

1． 认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用。

无论从数学的产生还是从数学的发展来看，数学与日常生活有广泛联系，小学阶段的数学内容，走到大街上到处可以找到，因此，有的专家把小学数学称为“街头数学”，说明它与日常生活的密切联系。《标准》北师大版教材第一册第一页，通过卡通人物讨论什么是数学的对话，智慧老人：“数学就在你的身边。”淘气：“我认识了5个小朋友。”笑笑：“汽车的轮子是圆的。”机灵狗：“嘻嘻，这就是数学！”使学生从入学第一天起，就体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边。随着年级的升高，让学生找一找生活中的大数，让学生找一找生活中哪些问题可以用乘法解决，哪些问题可以用除法解决。这些都有利于培养学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在日常生活中有广泛的应用。

2． 面对现实问题时，能主动尝试着从数学角度运用数学知识和方法寻求解决问题的策略。

现实世界有许多现象和问题隐含着一定的数学规律，需要人们从数学的角度去发现、去探索、去寻求解决策略。一个缺乏应用意识的人，会对这些现象和问题视而不见，当然更谈不上会有什么发现了。比如，有一个孩子说：“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数相等。”从数学的角度来审视这句话，这是不可能的。因为98除以5是有余数的，不可能每种颜色颗数相等。实验区学生家长反映：孩子在家里谈论数学的时间多了，双休日跟着父母去超市买东西，孩子主动将所买东西的总价进行估算，与购物小票是否相符。购买花布时，观察哪些图形是对称图形；欣赏图案时，研究这些图案是由哪些基本图形经过平移或旋转形成的。以上例子，说明学生面对实际问题，能够主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，这是数学应用意识的重要体现。

3． 面对新的数学知识时，能主动地寻求其实际背景，并探索其应用价值

在引进新知识时，我们老师总是要通过实际背景，创设具体情境，以便使学生理解数学源于生活。但仅仅如此并不能确保学生具有应用意识。学生只有不局限于教师提供的例子，而能应用所学的知识去解决新问题。例如《标准》北师大教材三年级下册在学习了平均数后，有一个数学故事（有危险吗？）用两张连环画的形式呈现。第一幅画：生1：“我不会游泳。”生2：“这个游泳池平均水深1.2米。”第二幅画：生1在想：“我身高是1.3米，跳下去有危险吗？”学生在帮助生1解决“有危险吗？”这一问题时，要主动与“平均数”这一概念的实际情境联系起来。游泳池平均水深1.2米的意思是有的地方水深低于1.2米，有的地方高于1.2米。总的说来，在这个游泳池里游泳是危险的 。这样为知识的应用找到生长点，从而体会数学的应用价值。

在小学阶段如何培养学生的应用意识呢？首先在教学中和对学生数学学习的指导中，应该重视介绍数学知识的来龙去脉，使学生体会到数学知识的产生源于实际的需要，并把学到的知识应用到实际中去。例如，在学习百以内加减法时，教材创设商店一角的情境，几种商品的单价都是两位数，在计算两种商品的总价时，就要出现两位数加两位数，以前学习的20以内加减法就不能解决这个问题，生活实际的需要产生了两位数加法。然后再引导学生探索两位数加两位数的计算方法。当学生掌握了这一方法后，再让学生计算其它两种商品的总价，把所学的知识应用到实际中去。使学生感受和体验数学知识的应用价值。

第二，学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象，也是培养学生应用意识的一个重要方面。数学是一种“世界通用的语言”，它可以简洁、清楚、准确地刻画和描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐于运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生的数学应用意识，也可以提高学生运用数学的能力。例如，学生在马路上看到交通标记，就能知道行走的路线；在购物时，能意识到数量与总价之间具有函数关系等。

培养学生的应用意识，要贯穿在知识技能的四个部分的内容中（数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用）。主要通过两个基本的课程渠道：（1）应用问题的学习；（2）实践与综合应用。关于应用问题的学习，与过去的应用题教学也有很大的不同。首先在《标准》规定的四个学习内容中，应用题不作为独立的一个领域，它和各部分内容结合在一起。在教材中也不设独立章节。这样彻底打破人为设置的应用题类型，强调培养学生的应用意识。除此之外，还有以下特点：

（1） 选材的现实性、趣味性和思考性

问题的内容应该是学生熟悉的内容，而且是现实生活中可能发生的。有时问题的设计需要对原来的素材有一个去粗取精的过程，但不要太精细，不失其现实性；根据儿童的心理特点，问题设计应该注意有一定的趣味性，语言和内容应有童趣，教材采用数学游戏、数学故事等形式，很受学生欢迎；问题的呈现应该能激起学生的思考，需要学生对已有的知识进行组合、思考，才能找到解决问题的方法。例如，《标准》北师大版教材二年级上册，学生认识了“倍”以后，练习中安排了这样一个问题：

（二年级上册47页第2题）

问题中没有现成的数据，这就给学生一定的思考空间。学生要利用自己的生活经验和已有知识，从图中观察到每个南瓜的高度一样，淘气有9个南瓜那么高，机灵狗有3个南瓜那么高，从而找到淘气身高与机灵狗之间的倍数关系。

（2） 呈现形式多样化

呈现的形式可以有表格、图形。漫画、文字等形式，学生需要从表格、图画里人物之间的对话中获取信息，有时信息多余，需要学生去选择，有时信息不足，需要学生设法间接获取。这样安排，更贴近现实生活。例如我们到商店去购买所需物品，商店中商品琳琅满目，给我们很多的信息量，我们就要选择需要的信息。呈现形式多样化就是把这些生活情境用漫画或表格的形式呈现出来，要求学生会看懂漫画，读懂表格，才能解决问题。

（3） 解决策略多样化，答案可以不唯一

解决策略多样化是为了鼓励学生独立思考，用自己的方法去解决问题，可以通过操作、画图、列表、列算式等方式。列的算式也可以不尽相同，答案可以不唯一，只要合理就可以。这样做，有利于培养学生的创新思维和实践能力。例如，《标准》北师大版教材二年级下册，在学习了有余数除法后，安排了一幅学生去公园租船的情境图，每条船限坐4人，21个同学去划船，至少要租几条船？怎样分配合理？在回答第二个问题时，学生就用小棒或其它学具摆出多种分配方案，但都认为把剩下的一个同学放在第六条船上是不合理的，因为这样分配这个同学太寂寞了，同时也不安全。

培养学生应用意识的另一个渠道，在第一学段是实践活动。它是探索性、实践性和应用性一类的学习活动。要求学生独立自主地探索，应用所学的知识和思想方法进行实践和解决问题。它的形式可以是多样化的，包括小的操作活动，小的调查、小的访谈等。不同的年级采用不同的形式和内容。例如，一年级安排“小调查”，你校一年级有几个班？每班各有多少人？哪班学生人数最多？哪班人数最少？二年级安排的“小制作”，利用学过的图形，在方格纸上设计漂亮的图案；三年级设计旅游计划，包括游览景点，出发时间，回来时间，乘车所需时间，共需时间，查找资料画出旅游路线示意图；估计费用等。这些活动的背后有一定的思考含量，要求学生运用所学的知识，经过自主探索和合作交流，解决与生活密切相关的具有一定挑战性的问题，发展学生的应用意识。

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问题15：如何理解推理能力？怎样培养学生的推理能力？

过去总认为培养学生的推理能力，是到了中学，学习几何证明题时，可以培养学生的推理能力。或者解“奥数”竞赛题，需要推理。那么，在义务教育小学阶段需要不需要培养学生的推理能力呢？咱们先要搞清楚什么叫推理能力？《辞海》中阐述：“由一个或几个已知判断推出另一个未知的判断的思维形式”叫做推理。“推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等。”在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要做出选择和判断，进而进行推理、做出决策。因此《标准》在课程总体目标的数学思考部分，做了如下的要求：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理的能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”我想在小学阶段主要是发展学生的合情推理的能力。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的主要形式。

《标准》对推理能力又做了如下的刻画：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、做出证明或寻求反例”，我体会在小学阶段主要是通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，联系生活实际寻求证据或举出反例。不要求学生进行合乎逻辑的证明，所以小学阶段的概念大部分采用描述性的。由此可见，合情推理的实质是“发现”，因而关注合情推理的培养有助于发展学生的创新精神。

“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据”，语言是思维的外壳，只有想得清，才能说得明。因此在小组内或在全班让学生交流自己的想法是很有必要的，但不要求学生说全班整齐划一的，学生并不理解的程式化语言。

“在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论和置疑”。我认为在第一学段中，这方面要求不宜过高，能用自己理解的语言与他人交流就可以了，但要提倡对别人的意见或老师的意见提出置疑。

如何培养小学生的推理能力呢？首先把培养学生的推理能力贯穿在日常数学教学中。听说有些学校每周设立一节思维训练课，给人感觉难道平时的数学课只学习知识和技能吗？我们说，数学思考培养学生的推理能力要有机地融合在数学教学的过程中。能力的发展决不等同于知识技能的获得。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因此教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地结合在这一过程中。我们在实验区看到学生在学习20以内进位加法时，让学生自主探索9＋5＝？，孩子们想出很多方法算出得数，有一个孩子说，我知道10＋5＝15，那么9＋5＝14，这个孩子就是很好地进行了推理，在过去一律用“凑十法”的情况下，是不会出现这种情况的。又如，《标准》北师大版教材三年级下册在学习长方形面积求法时，组织这样的数学活动：在三个不同的长方形中，让学生用1厘米2的小正方形摆一摆，再把它们的长、宽和面积记录下来，让学生讨论发现了什么规律？从而归纳出长方形面积公式，这个公式是否正确呢？让学生自己随意画一个长和宽是整厘米的长方形，先用公式计算出它的面积，再用小正方形摆一摆，验证一下这样计算是否正确。这些一系列的数学活动，都有助于培养学生的推理能力。

其次，把推理能力的培养落实到《标准》的四个内容领域之中。“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，都为发展学生的推理能力提供了很好的素材，改变过去认为只有几何的证明题才能培养学生的推理能力的现象。例如学生学习了两位数加法，可以放手让学生推想出三位数加法的计算方法。咱们教材一年级下册有这样一个数学游戏，有三幅连环画，第一幅是：智慧老人说：“我会变魔术，你想一个两位数。”第二幅图：智慧列出下面一系列算式，63－36＝27，72－27＝45，54－45＝9，90－9＝81，81－18＝63，63－36＝27。第三幅图给学生提出了这样的一个问题：“你发现了什么？你也想一个两位数，试一试。”这就要求学生认真观察，智慧老人写出的一系列算式有什么特点？是把淘气想出的两位数，交换个位与十位上数字后再相减，得到差，将差的个位与十位上的数字再进行交换后相减，……最后总会出现第一次的算式。这种游戏，不仅练习了百以内的减法，同时培养了学生的推理能力。在空间与图形这部分内容中，在研究图形性质时，通过“看”“摆”“拼”“折”“画”等活动，感知图形的性质，得出一些描述性的结论。在研究新的图形周长或面积的求法时，总要联系或转化成已知的图形，然后推想出新图形周长或面积的求法。除此之外，教材还安排了类似的操作活动，如三年级上册的每张桌子的桌面是正方形的，它的周长是32分米，2张桌子拼成的长方形的周长是多少，3张桌子这样拼起来呢？4张呢？你发现了什么规律？统计与概率的教学，我们都要让学生经历收集数据、整理数据、分析数据，然后做出推断和决策，这本身就是属于合情推理的范围。在实践活动这部分内容中，同样也可以培养学生的推理能力，就拿“估计这本语文书有多少字”这一实践活动来说，学生先要选择具有代表性的一页，利用自己已有的知识，计算出一页的字数，然后推算出这本书的字数。由此可见，我们要充分利用四个部分的内容，培养学生的推理能力，促进学生的全面发展。

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问题16：新教材的呈现形式与以往教材有什么不同？
《标准》在教材编写建议中指出：“教材编写应以《标准》为基本依据，要充分提供有趣的、与儿童生活背景有关的素材，题材宜多样化，呈现方式应丰富多彩。教材的编写应有助于确立学生在教学过程中的主体地位，激发学生的学习兴趣，引导学生在积极思考与合作交流中获得良好的情感体验，构建自己的数学知识。”根据这一精神，新教材的编写有以下特点：
1．密切数学与现实世界的联系
传统教材的呈现形式是以例题为中心，基本上是准备题、例题、练习题的叙述形式，这种呈现形式，容易造成教师讲例题，学生模仿例题做练习，教师牵着学生走，学生处于被动的局面。学生也不容易体会到数学源于生活，在生活中应用。
新教材试图形成“问题情境——建立模型——解释与应用”的基本叙述模式，使学生从生活经验和客观事实出发，在研究现实问题的过程中学习数学、理解数学和发展数学。例如在学习加法时，教材创设了学生非常熟悉的“有几枝铅笔”的问题情境。一只手拿3枝铅笔，另一只手拿2枝铅笔，当把两只手合在一起，一共有几枝铅笔呢？学生根据自己的生活经验和实际操作，得出：2枝和3枝合在一起是5枝。这样一个生活化的事实，用算式表示就是：2＋3＝5，“＋”是加号，学生从自己亲身操作中，体会到加号表示合起来的意思，这个算式读作：2加3等于5。初步建立加法算式的模型。在此基础上，教材的第二部分，通过摆一摆的活动，安排了三组摆桃子图片的活动，由浅入深地加深对加法含义的体验。第一组给出了算式，通过摆一摆，填出得数；第二组学生半独立地列出算式，算出得数；第三组则要求独立列出算式。教材的第三部分“试一试”，安排了两幅生活实景，让学生把初步体验到的加法含义应用到实际中去。特别是“练一练”中的第4题：“说一说，算一算”。安排了一幅一个普通家庭客厅的情境，图中有很多信息，让学生从图中发现加法问题，说一说，再算一算。这是对加法含义的很好应用，并具有开放性。同时培养学生提出问题和解决问题的能力。
2．确立学生在数学学习中的主体地位
本册教材的开篇就是编者大朋友与小朋友的对话，改变了过去“编者的话”“说明”的版面。为什么这样做呢？首先体现了角度的转变，由成人的角度转变为儿童的角度。这本书是给小朋友读的，把学生放在学习的主体地位，同时拉近了编者与读者之间的距离。在第一学段1～6册，通过儿童喜闻乐见的卡通人物（智慧老人、淘气、笑笑、机灵狗）的对话，提出了本册学习的主题。随着每册学习内容的不同，和年级的升高，卡通人物对话的内容也是不一样的。第一册的主题是：“数学就在你的身边”。通过对话“我认识5个小朋友”（数），“汽车的轮子是圆的（形），“嘻嘻，这就是数学”。这种类似三句半的形式，使刚入学的孩子对数学有亲切感。教师们可以利用这一情境，作为新学期一开始师生谈话的内容，鼓励学生提出数学问题，使数学成为自己的好朋友。
数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的实践活动中理解和发展，而不是单纯地依赖教师的讲解去获得。例如“轻重”这一节，安排了三个不同层次的活动。第一个活动“说一说”，结合生活经验，通过观察，直观感知轻重；第二个活动“掂一掂”，亲自实践，体验轻重；第三个活动“称一称”，当一只手拿苹果，另一只手拿梨，掂不出谁轻谁重时，就要用工具来称一称。新教材就是这样提供了大量的观察、操作、实验及独立思考的机会，通过学生群体的讨论和交流来学习数学。这样的课程体系，为确立学生的主体地位创造了良好的课程环境。
3．建立探索性学习方式，培养学生的创新意识
教材每个单元的二级标题是以生活情境或活动方式呈现的，如，“可爱的校园”“美丽的家园”“猜数游戏”“捆小棒”。其目的就是要引导学生通过问题情境或数学活动，进行自主探索，合作交流主动地获取知识。例如加减法（二）捆小棒这一节。通过捆小棒活动，帮助学生初步建立数位概念，认识11～20各数。教材安排了三个活动，第一个活动“数一数，捆一捆”数出10根小棒，捆成一捆，通过操作，使学生体会到10个一就是1个十。第二个活动“摆一摆，想一想”，1捆小棒，再添上1根，对照小棒，学生直观地看到有1个十和1个一，就是11。在计数器上怎样表示呢？1捆在计数器的右边拨1个珠子，1根在左边拨1个珠子。同样一个珠子，在不同的位置，所代表的数有什么不同呢？这时教师就可以介绍数位名称，使学生体会到同样一个“1”，在不同的数位上，所代表的数是不一样的，对照计数器，由学生独立写数。接着学生通过操作再研究几个数，特别在研究“20”这个数，对照计数器写数时，个位上一个珠子也没有，怎么办？为什么要写“0”？如果不写将会怎样？进行讨论，进一步加深对数位的理解。通过一系列的摆一摆、拨一拨、想一想等活动，使学生初步建立“从右边起，第一位是个位，第二位是十位”的数位概念。第三个活动“读尺子上的数”，通过读尺子上11～20各数，使学生了解它们之间的顺序和大小，如“11”排在10的后面，比10大，排在12的前面，比12小。加深对11～20各数的认识。
教材还注重题材丰富多彩，信息的呈现形式多样而且有可选择性，解决问题的策略多样化。如“小猫吃鱼”这一节练一练中的第4题，图中有5只小鸡，2个食盘，让学生想一想将会出现什么情况？学生可以发挥想象，有多种不同的答案。又如，在学习20以内加减法时，在练习中安排了这样的活动，说一说有关“9”，教材作了一个样子，“比10小”“比5大4”“18－9＝9”“3本数和6本书加起来是6本书”。然后让学生换一个数说一说。这个活动就让学生从多角度去认识一个数，培养学生的数感，并具有开放性。教材还安排了很多数学游戏。所有这一切都在于试图使学生尽快地形成探索性学习方式，发展创新意识和创新能力。

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问题17：根据《标准》的精神，从刚入学起着重培养学生哪些良好的学习习惯？
儿童在入学之前，不论在幼儿园还是在家里，都是以游戏为主。到了小学，开始接受九年义务教育，过着正规的学习生活。这对儿童来说，是一个飞跃。儿童在入学时，都有满腔的学习热情和好奇心，背上新书包，发了新课本，有了新文具，高高兴兴上学校。但也有一些陌生感，与他过去生活空间来比，怎么大的天地，怎么多的老师和同学，有些胆怯。因此教师应主动地、和蔼地和每个学生交谈，打消学生对学校的陌生感，尽快成为每个学生的好朋友。要注意通过观察、谈话等方式了解每个学生的情况。每个学生都是抱着美好的愿望上学的，教师要保护并激发这种学习的愿望，循循善诱，积极鼓励应是我们启蒙教师主要的教学方式。
儿童开始过学习生活，必须培养有利于身心健康和集体学习的学习习惯。如，听见上课的信号，要有秩序地进教室，发言要举手，坐姿要端正自然等，这些都有利于集体学习，有利于儿童身心健康。但要有一定的度，如要求学生必须把手背过去坐好，这就很不自然，学生会感到很累。有一件事隔四十年的事使我记忆犹新，我儿子满怀热情地去上一年级了，开学第一天，老师要进行常规训练，我儿子把手背过去坐得直直的，老师多次表扬他，把他树立为标兵，他就这样把手背国去坐得直直的坚持了一上午。中午回来，他看见我的第一句话是：“妈妈，我下午不去上学了。”我诧异的问：“为什么？”他回答说：“上课太累了。”由此可见，不适当的常规训练，会挫伤学生的学习热情。
学生良好习惯的养成，不是一朝一夕就能完成的。因此，教师不要急于求成，不要对学生过早提出统一的、硬性的要求，而应采取循序渐进的方式。良好的学习习惯，不要简单地理解为只是要求学生上课坐好，举手发言等外在形式，根据《标准》的新理念，要改善学生的学习方式，因此更重要的要引导学生学会独立思考、敢于提问、认真倾听别人的意见，乐于表达自己的想法等内在的学习品质及与人合作的团队精神。新理念下的课堂教学，应该是“活而不乱”的。怎样区分“活”和“乱”呢？一位专家说：“评价课堂教学乱不乱，要看学生的注意力，如果学生的注意力集中在学习上，形散神不散，这样的课堂就不叫乱，如果学生没把注意力集中在学习上，形散神又散，这就叫乱”。也就是说，学生的外在的行为是表面的，而学生的注意力是内在的、实质的。
怎样对刚入学的儿童进行学习习惯的培养呢？首先通过故事或通俗易懂儿童化的语言使学生了解这样做的好处，激起学生愿意这样做的愿望。在平时教学中，教师要采用多样化的教学方式，特别是要组织数学活动，把学习的主动权交给学生，组织学生自主探索，动手操作，满足学生好动和自我表现的欲望，让学生在尝试中发现问题，在合作中探究解决问题的方法，在交流中产生情感共鸣，在运用中获得成功的满足，学生在满足心理需要的过程中，注意力自然而然集中在学习上。另外，对刚入学的儿童来说，教师的教学艺术显得格外重要，千叮咛万嘱咐学生是会厌烦的。在组织教学过程中，我们实验区的老师也采用师生互动的方式。要让学生安静时，教师说：“一、二、三”，学生说：“快坐好”；需要提示时，教师说前半句，让学生接着说后半句。如，“小小耳朵——认真听，小小眼睛——仔细看，小小头脑——仔细想，小小双手——学会做”，学生很感兴趣。教师有时用眼神暗示，手势暗示等°能起很好的作用。此外，实验区的老师还总结了处理偶发事件的策略。如，“宽容的策略，转移的策略，停顿的策略，幽默的策略，诱导的策略。暗示的策略，冷却的策略”等。
小朋友特别喜欢表扬，表扬对培养学生良好的学习习惯起着激励和导向的作用。对刚入学的孩子，给一些物质奖励如小红花、五角星等是可以的，但不要太频繁，以免弄得教师手忙脚乱。有时教师为了调动学生的积极性，把做得非常精制的教具奖励给某一个学生，这种做法是不可取的。首先机会不均等，举手的人很多，你只能让一个人来回答，其它的人有的可能回答得比他还好，但是没有这个机会，他得到怎么重的奖励，其它学生不服气，在课堂上经常会发出“嗯嗯”的声音。得重奖的同学，开始觉得很新奇，很高兴，时间一长，可能就把它丢弃了。这个精美的教具对我们教师来说，是多么重要，它是我们需要积累的教学资源。因此，我们提倡课堂评价也要多样化，丰富多彩的口头评价，简单易行，也能取得实效，如“这个同学很认真听别人的发言，他不重复别人的意见”。“这个同学的想法与众不同，很动脑筋”“这组同学讨论的很热烈，合作得很好，希望其它组同学也能像他们那样”。评价要有针对性，语言要丰富，不要总是一句：“你真棒”。评价要真诚，对回答有错误的同学，应善意地指出，或再提一个启发性的问题，引导学生自己纠正错误。使学生在老师的赞赏中体验成功的喜悦，在老师的引导下自觉地修正自己的错误。

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问题18：第一单元的标题为什么为“生活中的数”？教材是怎样体现联系生活实际来学习数学的？
第一单元“生活中的数”主要学习10以内数的认识。为什么单元的标题为生活中的数呢？其目的是让学生感受到数学与生活的密切联系，以及学习数学的愉悦。这个单元有五小节，创设了五个与学生生活密切联系并富有童趣的情境，“可爱的校园”“美丽的家园”“玩具”“小猫钓鱼”“文具”。如，第2、3页“可爱的校园”教材创设了一幅动物学校的情境，模拟小朋友刚入学所经历的事情，儿童会感到很亲切。开学了，小熊坐在大象的头上摇铃，很有童趣。从一般角度来看这幅图，这幅图真美，色彩很鲜艳。从数学的角度来看这幅图，观察到图中有数量，1只大象、2间教室、3只兔子……，通过这幅图，了解学生数数的情况。其中第3页一只小动物提出来：“到校园里走一走，说一说有什么，有多少。”说明要联系学生生活来学习数数。教师可以带领学生走出教室，到校园里走一走，一方面熟悉校园环境，另一方面可以边走、边看、边数数、边交流。教师还可以引导学生数身边的物体，如每个人身上有1个鼻子、2只眼睛、一只手有5个手指等。教师里有6个小组，每组有几个人等。使学生体会到数学就在我们身边。
“快乐的家园”选用的农家小院的情境，帮助学生形象地理解数“1”，1可以表示1个萝卜，也可以表示1筐萝卜；1可以表示很大的一座山，还可以表示很小的一棵草。在对1有所认识的基础上，引申到2，3，4，…等数的认识，可以联系身边的事物，让学生说一说2可以表示什么？3呢？4呢？在第（3）个问题中，教材呈现一幅小运动员踢足球的情境，其目的使学生初步了解数不仅可以表示数量，还可以表示代号。教学时，可以先让学生数一数有几个小运动员在踢球，再让学生指一指4号运动员是哪一位，正在踢球的是几号运动员。
“玩具”这一节中练一练的第3题，教材呈现的是学生很喜爱的一列动物火车玩具，让学生数一数，填一填是第几节，体会数可以表示顺序。通过“小猫钓鱼”儿童熟悉的有趣的连环画，使学生直观形象的体会从无到有的变化过程，当一条鱼也没钓着时，用“0”来表示。教材还联系生活实际，0还可以表示“今天的最低气温是0度，尺子从0开始，扩大对0的含义的理解。让学生说一说在生活中哪些地方用到0。引导学生联系生活实际来学习数学。在“文具”这一节练一练的第3题，主要练习从10数到1，教材呈现了一幅发射火箭倒计时的情境，使学生体会到生活中有时需要10以内数倒着数，同学们联系除夕之夜，春节晚会上倒计时的热烈场面，进行抢答题时有时也用倒计时。以上这些，都体现了要联系学生的生活实际来学习数学。

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问题19：如何进行10以内认数的教学？认数1～5，6～9放在一起学，没有练习写数的时间，怎样保证学生数字写得正确、规范呢？
传统教材是按认数1、认数2、认数3、……逐个数进行认识安排的，教师普遍反映学生学起来感到很厌烦，教材的编排滞后于学生的发展。实际上学生在入学前，对10以内的数有所认识，有一定的生活经验。因此，新教材把10以内数的认识分成三小节，第一小节“玩具”认数1～5，第二小节“小猫钓鱼”认数0，第三小节“文具”认数6～10。一般来说，先通过情境图，让学生数一数图中的实物，在数数的过程中，要注意使学生结合实物一一对应，做到口手一致（口说的数和手点的数一致，初入学的儿童往往口说得快，手点得慢）地数，知道数到最后一个数是代表一类物品的个数。教师还可以让学生数一数其它的实物。在数实物的基础上，再学习读、写数字，这就是符号化的过程，认数字时，先认书写体，再认印刷体，为了帮助学生记住字形，可以把每个数字同它形状相似的实物联系起来，如2像鸭子，6像哨子等。对于字形相似的数字，如3和5，0和6，6和9等要通过比较加以区别，帮助学生辨认。
对刚入学的儿童来说，写数可能会有一定的困难，不容易分辨上下左右的位置，手指也不够灵活，要把数字写得正确、整齐、匀称比较困难。教学时，先引导学生分析字形，说明结构和笔顺，并作示范，然后照描课本上印好的虚线数字，再在田字格或日字格里仿写，最后再独立写数字。5，6，8，9，0这些数不容易写好，特别是拐弯处，要指导学生写得圆滑，没有棱角，10是10以内数中唯一的一个两位数在写数时，在日字格中要占两个格。在指导学生写数时，要注意培养学生正确的写字姿势和握笔姿势，根据初入学儿童生理特点，一次写得不宜太多，不然会产生厌烦情绪。但是，要想把数字写得整齐、匀称，是需要有一定的练习时间的。教材采用分散练习的形式，在这一单元，学生基本掌握正确的写法，第二单元需要纸笔练习的内容比较少，教师可以有计划地布置学生进行写10以内数的练习，表扬写得认真、写得好的同学，在以后的练习中，继续培养学生认真书写。

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问题20：本册教材在学习10以内数的认识时，没有组成和分解，怎样帮助学正确、熟练计算10以内数的加减法？
传统教材在学习10以内数的认识时，有一个非常重要的内容，就是数的组成和分解，如，5和1组成6，4和2组成6，3和3组成6；6可以分成5 和1，6可以分成4和2，6可以分成3和3。通过实际操作后，要求学生能熟练地背诵，作为计算10以内加减法的基础。计算4＋2＝？要求学生回答：因为4和2组成6，所以4＋2＝6。
10以内数的组成和分解来源于1953年我国翻译出版的前苏联教育部批准的普乔柯著《小学算术教学法》，在该书中讲到10以内数的教学，提出认数教学有四个层次，最后一个层次是教给学生数的组成，并且指出数的组成是10以内加减法的思维支柱。普乔柯的这种观点在我国影响非常大，建国以来的小学数学教材，都非常重视这部分内容。我们认为数的组成和分解就是数的“合”和“分”，和加减法的含义是一样的，两者不是因果关系。不必要在10以内数的认识时先学一遍组成和分解，更不需要让学生机械地背诵，可以和学习加减法结合起来，合就是加法，分就是减法。在新教材的第三单元加减法（一）有很多有关数的“合”和“分”的练习。如“小猫吃鱼”练一练的第4题，有关“5”的合和分，“猜数游戏”练一练中的第4题，有关“6”“7”的分和合；“有几只企鹅”中的试一试，就是有关“8”和“9”的分和合；“分苹果”中的练一练，就是有关“10”的分和合，这些都是练习加减法的一种形式。
10以内加减法是数学的最基础的知识，在日常生活中有着广泛的应用。必须要达到正确、熟练。在《标准》中对这部分内容提出了明确的要求。不仅要求计算正确，而且提出速度要求，到第一学段结束时，每分8～10题。怎样达到这一基本要求呢？关于怎样达到“算法的熟练化”，华东师范大学孔企平教授在《小学儿童如何学数学》一书中，提出：“从建构事实到提取事实”的途径。孔教授首先介绍了一个术语：“数学事实”。“数学事实是指一些头脑记忆中已有的数学正确结论。数字性事实是指一种特殊性的数学事实，它指的是那些经常用到的和、差、积、商等学生应该要记住的数值（如：4＋3＝7，7×8＝56）。乘法口诀就是一些数字性事实。基本口算也是这样数字事实。在一定程序上，练习基本口算就是掌握和记忆这些数字性事实的过程”。孔教授在谈到小学生如何形成计算技能时指出：“初学加减法的儿童，一般使用建构事实的方法，例如，当一个学龄前儿童被问到5加3等于多少时，他会先数出5（用手指或豆子），再数出3，然后从头到尾数一次。
至于小学一年级新生，他可能会采用一个稍微有效率的策略称为“由最大数数起”，即“继续数”的策略。这种方法，我们称为构造事实”。孔教授还谈到：“渐渐地，经过低年级的学习，学生们会愈来愈不去使用数数等构造事实的策略，而常常采用提取记忆的方式。比如说，我们问一个二年级的小学生，8＋9等于多少，他会根据记忆直接回答上述问题，这种方法称之为提取事实。”根据我几十年的教学实践和研究，我是同意孔教授的看法的。为此，对如何使学生熟练计算10以内加减法提出以下建议：
1．动手操作，建构事实
我们要从情境出发学习运算，不要一开始就大量进行符号运算，这样做，不利于学生建立数学概念。我们要通过问题情境和动手操作，使学生了解加减法的含义。在初学计算时，一定要让学生动手操作，如，3＋2＝？先摆3个圆片，再摆2个圆片，合起来是5个圆片，由逐一计数渐渐过渡到按群计数。特别对学习有困难的同学，要拉长这一段时间。然后逐渐脱离实物，但在遇到困难时，头脑中可以呈现一幅摆实物的表象，再计算出得数。这样做，看来很低效，但实际上是发展数学思维的基本途径，在计算教学中的操作活动，有利于发展学生的数感。
2．采用形式多样的练习，便于提取事实
运算技能的形成，是需要一定数量的练习的。根据低年级儿童的特点，要采用多样化的练习形式，使学生在愉悦的氛围中进行学习。卡片口算可以作为经常性练习，但练习时间和数量应适当。还可以组织一些游戏，如手指游戏，“我出1”“我出5”。“合起来是6”。又如猜数游戏，这一堆圆片有6个，我用手指盖住一部分，露出的部分是4个，猜一猜，我盖住了几个。利用扑克牌做计算游戏；还可以使练习赋于情境化，调动学生练习的积极性。如“摘苹果”“小马过河”“小小邮递员”等活动，儿童是非常喜欢的。通过练习，逐渐记住这些得数，以便随时提取。
3．尊重学生的差异，逐步提高学生的计算能力
一年级新生由于生活背景和学前教育的不同，对加减法的理解和计算能力都存在一定的差异。教师要尊重这些差异，根据实际情况，安排教学内容和进度。要因材施教，特别要关注学习有困难的同学，维护其自尊心和自信心。学生计算能力的发展是一个循序渐进的过程，10以内口算能力的培养不能一蹴而就。因此在初学10以内加减法时，对计算速度不宜提统一的目标，不宜过早搞速算比赛，这样排出名次，会挫伤一部分学生的学习积极性。对学习有困难的同学，应允许有一个逐步提高的过程，教师应给予针对性的具体帮助，千万不要长时间的课外补课和做题，使其产生厌烦和焦虑情绪。主要在课堂教学中多加关注，还可以采用同学之间在平等和互相尊重的基础上进行互助。必要时在征得他同意的基础上，课下留很短的时间进行个别辅导，在辅导时，也要根据儿童生理和心理特点，采用多样的方式，有针对性进行辅导，要看到这部分学生的点滴进步，及时给予真诚的鼓励，使他们体验到成功感，树立学习的自信心。