五上各单元教材分析
第一单元《认识负数》教材分析沈重予
在一至四年级的数学教材里，“数与代数”领域主要教学整数的知识，这些整数都是自然数（０和正整数）。本单元教学负数，是过去小学数学里没有的内容。在小学数学里教学负数的知识（只涉及负整数的初步认识）出于两点考虑：第一，负数在日常生活中的应用还是比较多的，学生经常有机会在生活中看到负数。让他们学习一些负数的知识，有助于他们理解生活中遇到的负数的具体含义，从而拓宽数学视野。第二，适量知道一些负数的知识，扩展对整数的认识范围，能更好地理解自然数的意义。
《数学课程标准（实验稿）》对教学负数提出的具体目标是“在熟悉的生活情境中，理解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”。根据这一教学目标，本单元的教学内容分两部分编排：第一部分是结合现实情境教学负数的意义，让学生初步认识负数，初步能认、读、写负数；第二部分是负数的实际应用，引导学生应用正数和负数表示日常生活中具有相反意义的数量，进一步体会负数的意义。练习一的第１～６题配合第一部分的教学，第７～１０题配合第二部分的教学。“你知道吗”介绍我国古代认识和使用负数的情况。本单元结束时，还安排了一次实践活动《面积是多少》，回忆面积的意义、常用的面积单位、长方形面积计算公式，初步建立图形的等积变形思想，培养转化策略，为教学平行四边形等三个图形的面积打下扎实的基础。
１． 联系温度和海拔高度的表示方法，初步教学负数的意义。
本单元教学负数的重点是理解它的意义，初步建立负数的概念。生活中有许多具有相反意义的数量，如上升与下降的距离、收入与支出的金额、盈余与亏损的数量……怎样用数学的方法清楚、简便地表示并区分这些具有相反意义的数量?于是人类发明了负数。这些既是负数产生的历史过程，也是教学负数时可采用的素材。本单元教学的第一部分，选择学生经常接触到的气温和具有形象特征的海拔高度为素材，帮助学生初步建立负数的概念。
（１） 用负数表示低于零度的温度，学生首次感知负数。
例１精心选择三个城市同一天的最低气温，设计了“创设问题情境——讲解负数知识”的教学线索，让学生有意义地接受负数。教材分三个环节编写：第一是营造需要——用不同的数分别表示零上温度和零下温度；第二是讲解负数的知识，包括正数和负数的表示方法和读、写；第三是通过“试一试”巩固例题教学的知识。
教材通过精心选择的三个最低气温，营造教学负数的氛围。南京的最低气温刚好是０摄氏度，上海的最低气温是零上４摄氏度，北京的最低气温是零下４摄氏度。上海和北京的最低气温是两个不同概念的４摄氏度，怎样用数学的方法分别表示这两个温度，让人一看就明白而且不会发生混淆?这就是教学负数的氛围。为了营造这样的氛围，例题让学生联系各个城市图片右边的温度计说说“能知道些什么”，鼓励他们广泛地交流，包括看到的各个城市的具体气温以及由此想到的上海气温比０摄氏度高，北京气温比０摄氏度低等内容。由此在学生内心产生一种需要：寻找一种比较简便的方法，表示并区分上海与北京的不同气温。
教材把正数与负数结合在一起讲解，有利于突出负数的意义与表示方法，体会正数与负数分别表示具有相反意义的数量。先讲零上４摄氏度与零下４摄氏度分别记作+４℃和-４℃，让学生清楚地看到它们使用了不同的表示方法。再讲“+４”与“-４”的读法，并通过“+４也可以写成４”初步把以前学过的那些大于０的自然数与正数联系起来。
“试一试”让学生独立写出香港、哈尔滨、西宁三个城市某一天的气温，其中两个城市的气温用负数表示，一个城市的气温用正数表示。通过写出这些正数和负数，再次体会负数的意义，巩固在例题中教学的知识。
在教学用正数或负数表示温度的同时，还应教会学生看温度计上显示的温度。如温度计上同时表示摄氏温度与华氏温度，我们生活中经常使用的是摄氏温度，它的标记是“℃”。又如温度计上的零上温度要从零度刻度线往上看，每小格表示１度，每大格表示１０度；温度计上的零下温度要从零度刻度线往下看，也是每小格表示１度，每大格表示１０度。第７页第６题在温度计上表示某市２００４年四个季度的平均气温，也是为了让学生学会看温度计而设计的。
（２） 用正数或负数表示海拔高度，丰富对负数的感性认识。
例２用正数表示珠穆朗玛峰的海拔高度，用负数表示吐鲁番盆地的海拔高度。虽然学生缺乏海拔高度的知识，但“高于海平面”“低于海平面”等概念形象具体，有利于学生体会正数和负数分别表示具有相反意义的数量。例题采用“比海平面高”“比海平面低”这样的描述表达了珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的相对高度，用图画帮助学生理解词语的意思。图中把海平面用一条红色虚线凸现，这样，什么是比海平面高、什么是比海平面低，以及需要不同的数来表示和区分这两种数量就显而易见了。通过用+８ ８４４米表示海拔８ ８４４米，用-１５５米表示海拔负１５５米，学生又一次联系实际体会到正数与负数的意义，他们对负数的感性认识就更丰富了。
这道例题里没有讲+８ ８４４、-１５５的读法，这是考虑到学生在前一道例题中已经初步学习了正数与负数的读法，这里把读数的机会留给了学生。
（３） 初步揭示正数与负数的概念。
通过两道例题以及“试一试”的教学，已经认识了+４、-４、１９、-１１、-７、＋８ ８４４、-１５５等数。如果把这些数分成两类，那么可以把+４、１９、+８ ８４４分在同一类，把-４、-１１、-７、-１５５分在另一类。教材告诉学生像前一类这样的数都是正数，像后一类这样的数都是负数，初步揭示了正数与负数的概念。要注意的是，教材没有给正数、负数下定义，只是通过列举的方式让学生知道怎样的数是正数，怎样的数是负数。并联系零上温度、比海平面高的高度都可以写成正数，零下温度、比海平面低的高度都可以写成负数，支持正数与负数概念的形成。
第３页“练一练”第１题，先读一读题中的６个数，再把这些数分别填入正数或负数的集合圈里。可以在填写后让学生说一说，在两道例题里正数分别表示了什么样的数量，负数分别表示了什么样的数量，以加强对正数与负数的理解。第６页第３题在写出５个正数与５个负数之后，也可以对学生提出类似的要求。
教材中的“０既不是正数，也不是负数。正数都大于０，负数都小于０”这些知识不需要我们告诉学生，他们只要联系例题学习的体会完全能够自己得出，教学只要引一引就可以了。这些知识也不需要机械记忆，学生自己得出的知识能够记住，并通过这些知识进一步理解负数的意义。
２． 在盈与亏、收与支、升与降、增与减以及朝两个相反方向运动等现实的情境中应用负数，进一步理解负数的意义。
本单元的第二部分以生活中常见的负数为教学内容，让学生体验并尝试在生活中应用负数，从而进一步理解负数的意义。
（１） 两道例题设计了不同的教学方法。
例３呈现了一张反映新光服装店今年上半年每月盈亏情况的统计表，在“盈亏金额”栏里有正数，也有负数。教学任务是让学生了解正数与负数在这道例题中分别表示的具体意义，看着统计表里的数据逐一分析各个月是盈利还是亏损，具体的钱数各是多少。还可以分析这半年盈亏的整体状况，包括有几个月是盈余的，有几个月是亏损的……这道例题的教学方法是，先由教材告诉学生“通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示”这个规则，再由学生依据规则对统计表里的每个数据作出具体的解释。从而体会正数和负数可以分别表示盈与亏这两种具有相反意义的数量。
例４呈现的是一幅平面图，学校在平面图的中心，它的东、西两个方向２ １００米处分别是邮局和公园，南、北两个方向１２４０米处分别是少年宫和超市。这道例题的教学要求是让学生知道在相背运动时，如果一个方向行走的路程用正数表示，那么另一个方向行走的路程可以用负数表示。“开放”是这道例题的特点，表现在两点上。一是情境与问题有开放性。小华从学校出发，沿东西方向的大街走２１００米，到了什么地方?这个问题有两个答案，即小华如果向东走，则到达邮局；如果向西走，则到达公园。同样，小华从学校出发，沿南北方向的大街走１２４０米，到达的地点也有超市或少年宫两种可能。二是解决问题的方法有开放性。在前面的几道例题中，用正数表示零上温度、高于海平面的高度、盈余金额，用负数表示零下温度、低于海平面的高度、亏损金额，这些几乎都是人们已经约定了的，在通常情况下大家都遵循这些表示的规则。在本例中，朝哪个方向行走的路程记作正数，朝哪个方向行走的路程记作负数，一般没有约定，而是在解决问题时临时规定的。如果把向东行走的米数记作正数，那么向西行走的米数就记作负数；也可以把向西行走的米数记作正数，那么向东行走的米数就记作负数。教材充分体现开放性的特点，首先是通过开放的问题情境：小华沿东西方向大街走２ １００米“到了什么地方”，沿南北方向大街走１ ２４０“可以到哪里”，在学生中引发争议，使他们感受到可以用正数和负数区别表示相反方向运动的路程。其次是允许并鼓励学生应用不同的表示规则。在小华沿东西方向的大街行走时，“如果把向东走２１００米记作+２ １００米，那么向西走２ １００米记作-２ １００米。”为学生“把向西走２ １００米记作+２ １００米，向东走２ １００米记作-２ １００米”留出了空间。在小华沿南北方向的大街行走的问题中，要求学生“根据行走的方向和路程，分别写出一个正数和一个负数”，赋予他们按自己的意愿确定表示规则的机会与条件。这样，学生对正数与负数能分别表示具有相反意义的数量会有更深切的体验。
（２） 两次“试一试”提出了不同的认知要求。
第４页的“试一试”里，告诉学生新光服装店去年下半年每个月的盈利或亏损的金额，让他们在盈亏的情境中应用负数知识，加强“盈利通常用正数表示，亏损通常记作负数”的印象。与例题相比，这次“试一试”在认知水平上没有提出更高的要求，仅是变换了思维的方向。例题是根据“表示规则”体会统计表里各个正数与负数的具体含义，“试一试”是应用规则把具体现象用正数或负数表示在统计表里。预计学生完成这次“试一试”一般不会有困难。
第５页的“试一试”对学生提出了两点要求： 一是写出数轴上的点所对应的数，其中有正数，也有负数。通过写数与读数，尤其是数轴上正数与负数的位置，进一步体会正数与负数表示相反意义的数量，从而更好地理解负数的意义，巩固负数的知识。二是看一看并想一想，-２接近０还是接近２，在数轴上初步感受数序。和例题相比，在认知水平上提出了更高的要求，对各道例题教学的知识与思想方法适度地概括与提升。教学这次“试一试”，要对这两个问题作细致的思考：（１） 怎样呈现数轴，使学生理解数轴上已有的０、１、２、４，以及-１、-２、-５等数的意义，有利于继续在方框里填出其他各数。（２） 怎样帮助学生初步体会数的排列顺序。下面提供对这两个问题的教学设计，仅供参考。
“你会填一填、读一读吗”的教学可以分三步进行。首先出现数轴，在它的上面有许多间距都相等的点，其中一个点的下面写出数“０”。接着联系在例４中学到的用正数和负数表示相反方向运动的路程的经验（也可以联系其他例题中应用正、负数的经验），出现数轴上的其他已知数。如果从“０”点出发，向东走１步、２步、４步，到达的位置用数轴上“０”右边的点及相应的数１、２、４表示，那么向西走１步、２步、５步，到达的位置应该用“０”左边的点及相应的-１、-２、-５表示。给抽象的数以具体的含义，能帮助学生体会数轴上的点与数之间的对应关系。然后再让学生写出四个框里的数，并说说自己的思考。这样，学生不仅写出了这些数，还联系实际体会了这些数的意义。
联系数轴上的数初步体会数序也可以分三步进行。首先仔细观察数轴上“０”的左边和右边分别是什么样的数，联系“正数都大于０、负数都小于０”体会这样分布的合理性。然后仔细研究正数１、２、３……在数轴上的排列方向是从左往右，-１、-２、-３……在数轴上的排列方向是从右往左，也要联系实际体会这样排列的合理性。最后是观察数轴上的数，回答“-２接近０还是接近２”这个问题，并简单解释其理由。
（３） 联系已有的知识与经验，在练习中继续体会正数与负数表示的具体对象。
练习一里继续扩展教学素材，让学生通过水位、升降机的上升与下降，在银行取款与存钱，公共汽车停靠时乘客的上车与下车等感兴趣、能接受的题材，丰富对负数的感性认识，更好地理解负数的意义。这些练习在编写上的共同点是，通过一个已知的数据显示用正数、负数表示的规则，让学生按这样的规则，把同一情境中其他的数分别记作正数或负数。要尽量让学生独立完成练习，一是通过自己读题，独立理解问题情境；二是仔细寻找，独立发现记作正数（或负数）的规则；三是独立完成练习后，交流写出的数以及写数时的思考。对少数有困难的学生，可以在体会“表示的规则”上给予适当的帮助。如第１０题表格里“起点站”下面的“+２１”表示上车的人数记作正数，起点站上车２１人。
在每一道题完成以后，还可以组织学生说说，这道题里什么样的数量记作正数，什么样的数量记作负数，正数与负数在现实情境里表示的数量有什么不同，引导他们主动地体会负数的意义。
３． 《面积是多少》让学生体会转化、估计等解决问题的策略，为教学平行四边形等图形的面积计算作比较充分的知识准备和思想准备。
实践活动《面积是多少》安排在平行四边形、三角形、梯形面积计算教学的前面，其任务主要有两个：一是复习并激活已经教学的面积知识，包括面积的意义、面积单位、长方形和正方形的面积公式等。二是让学生体会转化、估计等解决问题的策略，为主动学习其他图形的面积计算打基础。
（１） 已有的知识对教学新知识的重要作用大家都很清楚，教材复习旧知不是让学生被动回忆，而是在一个个现实的情境中，主动从记忆中提取，通过解决问题使这些知识处于激活的状态。如，所有的问题都是求平面图形或物体表面的面积，势必会引起对面积概念的回忆；各个求面积的问题使用了不同的面积单位，这就复习了常用的面积单位；有些问题的解决归结到长方形、正方形面积的计算上，这些面积公式在应用中被激活了。
（２） 转化作为一种策略包括两层内容： 转化的方法和转化的意识。前者是操作层面上的技术，后者是思想层面上的体验。
第１０页教学的转化方法是，对图形进行分解与组合（一个大图形可以分解成若干个小图形，这些小图形共同组合成大图形）、分割与移拼（先把一个不规则的图形进行分解，再移动其中一部分或几部分的位置，拼成一个比较规则的图形），在保持面积不变的前提下，实现形状的变化。教学的转化意识是，稍复杂的图形可以等积变形成较简单的图形，求积方法未知的图形可以变成求积方法已知的图形，转化是实现新旧知识相联系的手段，是探索新知识的途径。教材让学生通过解决新颖的、富有挑战性的问题，学习转化方法，体验转化思想，形成自己的策略。
在“分一分、数一数”里教学分解与组合进行图形转化的策略。教材通过问题“你能先把每个图形分成几块，再数一数吗”引导学生把较复杂的不规则图形转化成若干个长方形、正方形的总和。在“移一移、数一数”栏目里教学分割与移拼进行图形转化的策略，通过问题“怎样移动图形中的一部分，很快数出它的面积”既激活学生在前一个活动里初步获得的体验——把复杂的图形转化成长方形（或正方形），又明确指出这里的转化方法——移动图形中的一部分。
这两个活动的教学一般可以分两步进行： 第一步是在教材的引导下，学生独立开展转化图形的活动，并数出（算出）图形的面积。第二步是组织学生交流，首先要交流各人的转化方法，让学生一方面体会转化的方法是多样的；另一方面体会各种转化方法有共同点，就是把复杂的图形变成长方形和正方形；还要交流把图形“分一分”“移一移”对计算它的面积起了什么作用。这样，学生得到的就不单是转化的方法，而且体验了转化对解决问题和数学学习的意义。
（３） 通过数方格进行估计，也是一种计算图形面积的策略，特别对复杂的、不规则的曲线图形更显得有价值。第１１页教材里有三点要引起教学的注意：第一，注意方法的指导。“数一数、算一算”的活动是求池塘的面积，教材先指导学生“把整格的和不满整格的分别涂上不同的颜色”，又指导学生“不满整格的都按半格计算”。前者能使数方格时避免遗漏和重复，从而减少错误，后者能使计算简便，很快得出结果。第二，注意对方法的反思和评价。在算出池塘的面积后，教材让学生反思“这样的算法合理吗”，并通过讨论评价这种方法。教学时可以把教材中的问题拆成两组问题进行反思和评价，先讨论“把整格的和不满整格的分别涂上不同的颜色”的目的是什么，让学生体会这样做的好处，从而变成自我需要、自觉行动。再讨论“为什么把不满整格的都按半格计算”，让学生体会不满整格的有小于半格和大于半格两种情况，把它们都按半格计算是比较合理的。第三，注意方法的发展和应用。“数一数、算一算”的活动还要数方格估计对称的树叶的面积，学生可以创造性地应用估计池塘面积的方法，先得出半片树叶的面积，再乘２得到整片树叶的面积。在“估一估、算一算”的活动里，继续估计其他树叶的面积和手掌的面积。为了便于学生估计，教材在最后的附页里提供了面积是１平方厘米的方格纸，学生不仅能用来完成教材中的练习，还可以结合自己的兴趣，进行更多的估计面积的活动。 第二单元《多边形面积的计算》教材分析沈重予
本单元教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算，这是在学生认识了这些图形的特征，掌握了面积的意义和长方形面积计算公式的基础上安排的。全单元内容在编排上有四个特点。
第一，先教学平行四边形的面积公式，然后以它为基础教学三角形、梯形的面积公式。因为把三角形、梯形转化成平行四边形比较化成长方形简便，从平行四边形面积公式推理出三角形、梯形的面积公式比较容易。
第二，加强练习，突出知识的实际应用。为了使学生掌握平面图形的面积计算方法，全单元安排了三个练习，分别巩固平行四边形、三角形、梯形的面积公式，并在简单的情境中应用这些公式解决实际问题。
第三，设计了全单元内容的“整理与练习”，除了知识的巩固性练习和应用性练习外，突出了对知识的整理和结构的建立，并引导学生开展自我学习评价，小结自己在知识与技能的掌握方面、学习活动的开展方面、习惯与态度等情感方面的表现与收获，力求把促进学生全面、持续、和谐的发展落到教学的实处。
第四，安排了一次实践活动。在本单元结束时，利用已经掌握的五种平面图形的面积公式，通过割、补等操作活动，对图形进行分解与组合，计算稍复杂的不规则图形的面积，从而提升对常用面积公式的掌握水平。
“你知道吗”介绍了我国古代把一个三角形转化成长方形，从而推导三角形面积计算方法的历史记载。不仅弘扬中华民族的文明历史，还让学生体会转化策略的具体应用是多样而灵活的。在此基础上，编排了第２５页的思考题，让有兴趣的学生学习使用。
１． 组织学生动手操作、合作交流，经历探索面积计算公式的过程。
教材希望学生通过探索，理解并掌握三角形等图形的面积公式。因为这些图形的面积计算的教学价值，不只是知道几个公式和进行求积计算，更在于通过这些内容的教学发展学生的形象思维和空间观念，培养实践能力和创新精神，积极参与数学学习活动的热情和信心。
研究并推导三角形等平面图形面积公式的途径是多样的，教材选择了把平行四边形割补成长方形、把两个完全相同的三角形（梯形）拼成平行四边形等方法。这些方法与思路比较贴近学生已有的数学活动能力和思维发展水平，易于操作，适宜大多数学生应用。
教材通过引导方向、提供条件、安排交流、组织思维这样的线索支持和帮助学生探索。
（１） 创设启动学生探索的情境。
研究新的数学问题，需要明确的方向和清晰的思路，这一点在教学中尤为重要。
在教学平行四边形面积时，第１２页的两道例题起帮助学生确立研究思路的作用。例１通过“每组的两个图形面积相等吗”唤醒把图形等积变换的思想方法——一个复杂的图形可以转化成面积相等的、比较简单的图形，这是研究平行四边形面积计算的策略。例２把一个平行四边形转化成长方形，为学生明确了探索活动的思路和方法。沿着平行四边形的一条高把它剪成两部分，是实现图形有效转化的关键。为此，教材一方面把平行四边形置于方格纸上，便于学生沿着高剪。另一方面提出“它们都是沿着什么剪的”这个问题，引导学生注意自己的剪法，交流各人的剪法，体会沿着高剪的必要性与合理性。
在教学三角形面积时，第１５页的例４用图呈现了一个三角形的面积是它所在的平行四边形面积的一半这个十分重要的数量关系。学生可以用数方格的方法，从每个三角形的面积各是几个小方格，推出它的面积是多少平方厘米。也可以先通过“底×高”算出每个平行四边形的面积，再除以２算出每个三角形的面积。两种方法结果相同，印证了两种方法都是正确的。而后一种方法比前一种方法方便，避免了数方格时的一些麻烦。由此产生研究三角形面积计算的方向和思路：能否从平行四边形面积算出三角形的面积?
（２） 为学生提供操作的物质条件和方法指导。
研究平行四边形面积计算的问题，要把平行四边形剪拼成长方形；研究三角形面积计算，要把两个相同的三角形拼成一个平行四边形。这些研究活动都在相应的图形上进行操作，教材第１２７页有许多平行四边形和三角形，第１２９页有许多梯形，为学生开展操作活动提供需要的图形。
除了提供操作的图形，教材还在以下三个方面对操作活动给予支持： 一是告诉学生到哪里去选取操作的材料。第１３页例３和第１５页例５都清楚地指出“从第１２７页选一个平行四边形（或三角形）剪下来”，第１９页例６的操作材料是方格纸上的梯形。二是指导学生怎样操作。在三道例题中分别有把平行四边形“转化成长方形”“看看与（例题中）哪一个三角形可以拼成平行四边形，拼一拼”“看看哪两个梯形能拼成平行四边形，拼一拼”。三是指出通过操作应初步知道些什么。如通过长方形的面积“求出平行四边形的面积”；先“求出平行四边形面积”，再“求出每个三角形的面积”；先“求出平行四边形面积”，再“求出每个梯形的面积”。教材希望这些方法指导，使操作活动有序、有效地进行，为进一步的数学思考积累感性材料。
（３） 在个体操作的基础上安排合作学习。
在三道研究图形面积计算公式的例题中，每个学生都只进行了一次图形的割补或移拼活动。同一小组的学生，在第１２３页里选择了不同的平行四边形和三角形，因此具有相互交流的需要与可能。通过交流，学生能知道，任何形状的平行四边形都可以转化成长方形，只要是完全相同的两个三角形都可以拼成一个平行四边形。这样，他们对图形变换的认识不再是个案的体会，而是对图形本质联系的体验。这对形成图形的面积公式是十分重要的一步，也体现了数学学习的严谨性与数学结论的确定性。
在每道例题中都设计了一张表格，这是在交流后每名学生都要填写的。表格的内容都是两部分：一部分是转化后的图形的有关数据，如转化成的长方形的长、宽与面积，拼成的平行四边形的底、高与面积；另一部分是转化前的图形的有关数据，即原来平行四边形的底、高与面积，原来一个三角形（梯形）的底、高与面积。把这两部分内容设计在同一张表格里，能引导学生从数量的角度，体会图形转化前后在长度与面积上的对应联系。表格里先填转化成的图形的数据，后填转化前的图形的数据，出于两点原因：一是学生通过操作，已经实现了图形的转化，新图形的边的长度可以用尺量得，面积能够算得，完成表格的左半部分比较容易。二是原来图形的面积是依据“图形的形状变了、大小不变”推导出来的，没有转化后的图形的面积就得不到原来图形的面积。至于原来图形的底、高的长度，学生有条件通过推理得到。在填写表格右半部分时，学生对转化前后两个图形的联系有所理解。
（４） 组织推理，建立数学模型。
在教学面积公式的三道例题中，都设计了三个讨论题，这些讨论题的任务是组织起面积公式的推理活动。其中前两个讨论题是关于转化前后两个图形的比较研究，归纳出两者之间的内在联系，包括面积之间的联系以及线段间的对应联系。这些联系，学生在操作活动中已有初步感知，又通过填写表格有了比较清楚的体会，通过讨论，可以把具体现象上升为理性认识。第三个讨论题是从转化后图形的面积计算得出原来图形的面积计算，是对已有的面积公式进行等量替换得出新的面积公式。教材里没有写出这样的替换，把它留给学生进行。学生从中不仅认识了新的面积公式，而且在数学思考，特别是开展推理活动方面，将得到一次很好的锻炼。本单元教学的三个面积公式，既用文字表达，也用字母表达，都是具有普遍规律和应用价值的数学模型。公式的得出是建模的过程，只要学生经历了探索公式的全过程，一定能理解和掌握这些公式。
２． 在练习中加强对面积公式的体验。
本单元结合面积公式的练习是比较充分的，配合每个面积公式各安排了一道“试一试”、少量的“练一练”以及一个练习。“试一试”是学生首次应用新学的面积公式解决简单的实际问题，在“练一练”和练习中一般都有三方面的内容，一是加强对面积公式的理解，突出公式中最关键的成分，二是应用公式求图形的面积，三是解决与面积计算有关的实际问题。这里对第一方面的内容作一些说明。
教材十分重视学生对面积公式的理解，在得出面积公式以后，仍然给学生许多机会，让他们的体会逐步深刻。
第１４页第１题在方格纸上画两个形状不同的平行四边形，可以有两种思路。一种是画出面积为１５平方厘米的平行四边形（因为长方形的面积是１５平方厘米），这样的平行四边形可以是底５厘米、高３厘米，底３厘米、高５厘米……应用这种思路能更熟悉平行四边形的面积公式。另一种是画出底５厘米、高３厘米而形状不同的平行四边形（因为长方形长５厘米、宽３厘米），这种思路能更好地认识平行四边形与相应长方形的联系，又一次体会这两种图形面积公式的关系。
第１４页第５题拉动细木条钉成的长方形框，它的周长始终不变，面积变得越来越小。原因是图形变了，先是长方形变成平行四边形，再是平行四边形的高越来越短。学生从中区分平行四边形的边与高，体会到它的底虽然不变，由于高变小了，面积也小了。
第１６页“练一练”、练习三第１题都是两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形或一个平行四边形（长方形）分成两个一样的三角形，如果已知一个三角形的面积能求平行四边形的面积或已知平行四边形（长方形）的面积能求一个三角形的面积。这些题突出了等底等高的平行四边形与三角形面积的关系，能减少学生求三角形面积忘记除以２的错误。练习三第１０题使学生进一步体会平行四边形与三角形的关系，只要它们等底等高，无论三角形在平行四边形的哪里，它的面积总是平行四边形的一半。
第１７页第５题判断方格纸上哪几个三角形的面积是平行四边形的一半。其中最左边的那个三角形与平行四边形的底都是３、高都是４；最右边的那个三角形刚巧是底４、高３。平行四边形的面积是“３×４”，这两个三角形的面积都是“３×４÷２”。这样，学生不仅作出了判断，而且对三角形面积公式的理解更灵活了。
第１７页第６题在方格纸上画面积是９平方厘米的三角形，也有两种思路。一种是根据“底×高÷２=９”，假设底是２厘米，则高是９厘米；假设底是３厘米，则高是６厘米……另一种思路是先画出面积是１８平方厘米的平行四边形（如２×９、３×６等），再把平行四边形分成两个相同的三角形，从中选取一个。两种思路都能加深学生对三角形面积公式的体验。
第２０页“练一练”第１题，练习四第１、２题的设计都与前面相似，不再重述。
３． “整理与练习”以及实践活动《校园的绿化面积》的编写，充分考虑了学生学习的需要，努力提高他们的学习水平。
小学高年级数学，教学的内容多了，可应用的范围广了。因此，及时整理学到的知识，经常调整认知结构；回顾学习过程，积累继续学习的资源；联系实际，在日常生活中应用知识……都是学生的学习需要。教材编写全单元的整理与练习，安排实践活动是从学生的实际需要考虑，满足他们的需要，培养学习数学的能力。
先分析整理与练习。“回顾与整理”已经学过的面积计算公式，包括本单元教学的三个公式以及三年级（下册）教学的长方形、正方形的面积公式。这个栏目在编写上有两个特点：一是鼓励学生自己整理，在回忆知识的时候，用适合自己的形式把全部知识理一理。教材中呈现了两种整理形式，即列表整理和画图整理，前者理出了有什么知识、是什么知识，后者理出了面积公式间的关系。教学时要从学生的实际能力出发，对有条件的学生，应鼓励他们自己整理，并加强交流，体会整理方法是多样的，各种整理形式都有其特点。对有困难的学生，可以先看看教材中的整理，然后选一种形式自己也来理一理。二是突出对学习过程的回顾与学习策略的提炼。“平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程有什么相同的地方”这个问题引导学生回顾学习过程，通过寻找“相同的地方”提炼转化策略，都是把新的图形转化成已能求面积的图形，都是利用已有的面积公式推出新的面积公式。转化策略支持了本单元中对面积计算公式的探索，还能广泛应用于其他数学知识的学习和数学问题的解决。“练习与应用”栏目有三个编写特点：一是通过第１题、第４题的判断与画图，继续加强对各个面积公式的理解以及公式之间联系的体验，如第１题里的四个图形的底相等、高也相等，长方形与平行四边形面积相等，三角形、梯形的面积都是平行四边形、长方形的一半。所以三角形、梯形的面积公式里都有“÷２”。二是以练习平行四边形、三角形、梯形的面积计算为主，带着练习长方形、正方形的面积计算，帮助学生全面地掌握知识。三是在稍复杂的情境中解决与求面积有关的实际问题，如第３、７、８、９题。这些题比前面练习中的实际问题复杂，但更贴近实际生活，对学生更有吸引力和挑战性。“探索与实践”栏目引导学生走出书本、走出教室、走进生活，寻找并解决与面积知识有关的实际问题。栏目里设计的两道题都富有教育、教学的价值。第１题求一堆钢管的根数，学生最容易想到的方法是把各层的根数连加，还能应用加法运算律使连加计算简便。教材引导学生从“梯形面积的计算方法”的角度体会自己的算法，进一步理解梯形的面积公式，获得解决这个实际问题的技巧。第２题安排学生自行开展小型的实践活动，把图形的认识、测量长度的方法和计算面积的公式等多方面知识融为一体，对发展学生的数学意识是十分有益的。“评价与反思”是教材新开辟的教学活动栏目，以这个栏目推动课堂教学评价的改革。教材中的这个栏目，引导学生实事求是地反思自己在学习过程中的表现和学习的收获，对自己的学习作出主动、客观、有积极意义的评价，从而促进更好地发展。这个栏目里的内容有两个显著的特点：第一，知识与技能的习得是评价内容之一，但不是惟一。把参与学习活动的态度、能力和对数学活动的体会作为评价的重要方面，努力体现新课程倡导的动手实践、自主探索、合作交流等学习方式。通过评价，使学生知道应该以什么样的态度学习数学。第二，尽力调动学生开展评价的积极性，以自我评价为主，配置有趣的评价表达方式，由学生“根据自己的表现，能得几颗星，就把几颗星涂上颜色”，从而清楚自己在学习时的表现以及以后应该怎样做。
再分析实践活动《校园的绿化面积》。编排这次实践活动的目的是，进一步丰富学生学习、应用数学知识的思想方法，培养估计、测量等应用能力，发展学生的想像和创新精神。在“想想算算”里计算稍复杂的图形的面积，这些图形都可以分解成两个基本的图形，它的面积或是两个基本图形的面积之和，或是两个基本图形的面积之差。教材把“分解与组合”作为一种思想方法，通过计算不规则图形的面积凸现出来。呈现华风小学校园里的草坪的平面图，由大卡通提问“你准备怎样算?在小组里交流”，引导教学把重心放在思想方法上。呈现了学生交流的场面，交流的内容也是解决问题的策略。对计算校园里两块花圃的面积，也应该先让学生说说自己的思路。在分别求出各个基本图形的面积时，找到相关的长度数据是教学的难点，如从草坪图分解出来的梯形的底和高，左边花圃图分解成的长方形的宽或长等，这些都需要联系图形的特征通过推理和计算才能得出，应该给学生适当的指点。“量量算算”在校园里找一块合适的草坪或花圃，先估计，再测量计算面积。“合适”的意思是，形状为已经学过的图形，并且不太复杂，最好是平行四边形、三角形或梯形的；面积不要过大，也不要过小，便于估计和测量；测量长度方便、安全。学生估计花圃或草坪的面积可能出现两种思路：一种是凭借头脑中对１平方米的表象，直接估计面积大约是多少平方米；另一种是先估计有关的长度大约是多少米，再应用面积公式算出面积大约是多少平方米。两种思路都是可以的。估计面积允许有较大的误差，重要的是估计时的思考。实际测量计算面积所要的长度，由于学生还没有学过小数，花圃、草坪的面积通常以平方米为单位，所以只要量得大约长几米就可以了。对于面积较小的花圃用平方分米作面积单位也是允许的。“画画算算”里为华风小学设计一个花圃，它的形状、大小都是开放的，学生可以按自己的意愿设计，把自己的个性特点、丰富的想像、创新意识充分地表现出来。在方格纸上进行设计，便于画图，也容易算出面积。
第三单元《认识小数》教材分析沈重予
在一至四年级，“数与代数”领域主要教学整数的知识，学生已经初步掌握了十进制计数法。三年级（下册）曾经教学了一位小数，初步体会了一位小数与十分之几的分数间的联系。这些都是继续教学小数知识的必要基础。本单元系统地教学小数知识，将使学生建立比较完善、比较深刻的小数概念，内容分小数的意义、小数的性质、比较小数的大小、把非整万（亿）的数改写成以“万”“亿”为单位的数等四部分编排，表现出四个主要特点。
第一，充分利用学生已有的经验，教学小数的知识。这些经验包括以元为单位的小数所表示的金额，以米为单位的小数所表示的长度等，都是学生在生活中已经初步认识了的。这些经验能支持学生理解小数的意义，发现小数的性质，进行比较小数大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃。
第二，数形结合，教学小数的知识。小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。教材编写时充分注意了这一点，如用大正方形表示整数“１”，它的十分之几、百分之几分别表示成一位小数、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系……这些都有助于学生领会小数的知识。
第三，始终把小数的意义作为教学重点。本单元编排的四部分教学内容是循序渐进的，小数的意义是进一步教学小数性质、比较小数大小的规则、改写大数的方法的基础，后面三个内容的教学又促进了小数概念的逐步清晰、逐渐深化。
第四，选择大量有意义的现实数据。如普通食品、常用物品的价钱，我国部分大城市的人口数，反映我国经济发展和科技进步的数据，集知识性、应用性、思想教育为一体。
１． 以两、三位小数的意义为教学重点，逐渐形成比较完整的小数概念和计数方法。
十进分数除了可以写成分母是１０、１００、１ ０００……的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是１０的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是１００的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。
教学小数的概念编排了四道例题。前两道例题联系具体的数量复习一位小数，引出两位、三位小数，初步概括小数的意义。后两道例题教学小数的计数单位、数位顺序和计数方法，进一步加强小数的概念。
（１） 例１从已有经验切入，先教学两位小数的读法，再感受两位小数的含义。
例题呈现三种物品的单价，都是以“元”为单位的小数，其中０．３元在三年级（下册）教材中已经认识，０．０５元和０．４８元都是两位小数，它们的读法与意义都是新知识。例题里设计了三项教学活动。第一项是把０．３元、０．０５元、０．４８元这三个以元为单位的小数，用“角”或“分”作单位说出来。这是联系学生的已有经验，以旧引新，既消除对两位小数的陌生感，又为下面体会小数的意义埋下伏笔。第二项活动是以０．０５和０．４８为例，教学两位小数的读法。教材在正文里写出“０．０５读作零点零五，０．４８读作零点四八”，让学生感受小数的读法是从左往右依次读出各位上的数。要注意的是，关于小数的读法是陆续教学的，这里先读整数部分是０的两位小数，在后面的教学中还会继续读整数部分不是０的两位小数以及三位小数。第三项活动是通过“１分是１元的１/１００，可以写成０．０１元；５分是１元的５/１００，可以写成０．０５元；４角８分是１元的４８/１００，可以写成０．４８元”感受两位小数的含义，这是例题的教学重点，也是难点。为此，提出三点教学建议：第一，可以先让学生说说０．３元是１元的十分之几，通过对十分之几的分数还可以写成一位小数的回忆，推动对百分之几的分数可以写成两位小数的认识。第二，有条理地展开“０．０５元是１元的几分之几”的过程。１元=１００分，１元平均分成１００份，１份是１分，１分是１元的１/１００；０．０５元是５分，是５个１/１００，是１元的５/１００。至于０．４８元是１元的几分之几，可以让学生照这样有条理地思考和表述。第三，提取两个问题的答案，在１元的５/１００是０．０５元、１元的４８/１００是０．４８元这两个实例中，看到百分之几的分数还可以写成两位小数，初步感受两位小数的意义。
（２） 例２在新的素材中继续体验小数的含义，初步建立小数概念。
虽然例１已经展开了写出两位小数的过程，但对两位小数意义的体验还不够深刻，而且位数更多的小数尚未教学。因此，例２选择长度的改写继续教学小数，让学生在例１的基础上获得对小数的更多体验，初步形成小数的概念。
例２的教学分成三段进行。第一段继续教学两位小数，先是１厘米还可以写成０．０１米，在直观的刻度尺图上，从米与厘米间的进率想到１米平均分成１００份，每份是１厘米，从而理解１厘米是１/１００米，１/１００米还可以写成０．０１米，突出这里的“１”必须写在小数点右边第二位上。然后要求学生把４厘米和９厘米分别先写成以“米”为单位的分数，再写成以“米”为单位的小数，从中体会不仅是“元”为单位的百分之几可以写成两位小数，其他百分之几的分数都可以写成两位小数。第二段教学三位小数，与前一段的教学相似，先示范了１毫米写成０．００１米，并展开了改写时的思考：１米是１０００毫米→１毫米是１/１０００米→１/１０００米写成０．００１米。再要求学生把７毫米、１５毫米分别写成以“米”为单位的分数和小数，感受三位小数的含义。首次教学三位小数，教材未出现读法，让学生把读两位小数的经验迁移到三位小数上，感受读小数的方法与要领。第三段初步概括小数的意义，回顾和反思两道例题中的改写以及三年级（下册）里的感受，先指出“分母是１０、１００、１０００……的分数都可以用小数表示”揭示了这些特殊的十进分数与小数之间的联系。再联系具体的改写活动，从一位小数是根据十分之几的分数写成的，理解“一位小数表示十分之几”；从两位小数是根据百分之几的分数写成的，理解“两位小数表示百分之几”；从三位小数是根据千分之几的分数写成的，理解“三位小数表示千分之几”……
“试一试”和“练一练”都围绕小数意义而设计，要注意的是这里把整数“１”平均分成１０、１００、１０００份，用分数和小数表示其中的若干份，使小数概念更抽象、概括，并初步沟通整数与小数的联系。在“试一试”里数形结合，一个正方形或一个正方体表示整数“１”，有助于例题教学的知识迁移、认识提升。“练一练”第２题解释三个小数的意义，在演绎推理中清晰概念的内涵与外延。
（３） 例３和例４教学小数的计数单位、相应的数位以及数位顺序。
整数和小数都使用十进制计数法。学生在四年级已经知道整数是十进制计数法，本单元例３教学的内容是小数也使用十进制计数法。十进制计数法的本质特征是“相邻两个计数单位间的进率是１０”，例３分两步教学这一点：首先在表示整数“１”的正方形里涂颜色表示０．６和０．０６，在涂色时感受０．６里面有６个０．１，０．０６里面有６个０．０１，从而明白０．１与０．０１都是小数的计数单位。学生已经知道０．１和０．０１分别是一位小数和两位小数，分别表示１/１０和１/１００，在此基础上能够接受小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一。并由此联想得出小数点右边第三位是千分位，计数单位是千分之一……然后看看表示整数“１”的正方形，思考“１里面有几个０．１”“０．１里面有几个０．０１”这两个问题，理解１和０．１、０．１和０．０１等相邻计数单位间的进率，类推出０．０１和０．００１间的进率，从而形成“相邻两个计数单位间的进率都是１０”的认识，把十进制计数法从整数扩展到小数。这道例题安排的０．６和０．０６是两个不同且具可比性的数，有利于巩固小数的意义，形成计数单位及数位的认识。
例４里的小数的整数部分不再是０。在写三百四十四点七二五之前，要分析这个数，分清它的整数部分与小数部分：三百四十四(整数部分点)小数点七二五(小数部分)。在写出这个数以后，要体会小数部分与整数部分的读法是不同的。整数部分按照整数的读法读，要说出各个数字的计数单位；小数部分只要顺次读出各个数位上的数，不必说出计数单位。例题还要求说说３４４．７２５每一位上的数各是几，各表示什么。要从它的最高位开始依次一位一位地说，从而理解这个小数的意义。教材从学生的分析中选择“百位上是３，表示３个百”“百分位上是２，表示２个百分之一”通过比较进一步清楚百位与百分位是不同的数位，处于不同的位置，有不同的计数单位。类似地还可以对十位与十分位、千位与千分位作比较，为独立填写数位顺序表作充分准备。
教材把数位顺序表留给学生填写，是考虑到亲自填表比看现成的表格效果要好得多。其中整数部分已经写出的个位及计数单位，能引起对整数数位顺序的回忆。小数部分写出的两个数位及计数单位，体现了前面教学的数位顺序，学生能够继续写出其他数位及计数单位。把数位顺序表填写完整后，可以围绕下面两点组织练习：一是数位的排列顺序和各个数位的所在位置。如顺序表里整数部分的数位从个位起往什么方向排列，小数部分呢?又如小数点左边第一位是什么位，右边第一位呢?再如百位和百分位分别是小数点哪边的第几位?二是相邻两个计数单位间的进率。如整数部分，１个千是几个百?１０个十是几个百?又如小数部分的０．１是几个０．０１？１０个０．００１是几个０．０１?再如个位与十分位的计数单位，１里面有几个０．１？１０个０．１是多少?
“试一试”和“练一练”里的都是两位小数或三位小数，整数部分一般都不是０。选择这些小数，是为了巩固数位顺序和计数单位的知识，尤其是个位与十分位的关系，进一步理解小数的意义。
练习五配合四道例题的教学，以小数意义为重点，把小数的读、写知识有机结合起来。习题的设计与编排有三个特点：一是从形象到抽象地写出小数，从说出小数的计数单位到分析小数的组成，有一条渐进的序线。如第１题看图、涂色、写出小数；第４题在没有图形的情况下把六个分母是１０、１００或１０００的分数写成小数；第５题直接写出“元”或“米”为单位的小数。这三题都是写出小数，在要求上是递进的。又如第２题分别说出一位、两位或三位小数的计数单位和各表示几分之几，第６题则分析小数的组成或根据组成写出相应的小数，要求也是递进的。上面的练习在教学例题时一般都进行过，教材把它们再次有序地组织起来，重温认识小数的过程，更好地理解小数的意义。二是联系实际读、写小数，如第７、８题。在知识与技能训练的同时，体会小数的现实应用。三是提出挑战性的要求，激发热情、激励思维。第９题在数轴上标出五个小数的位置，要根据小数的意义进行推理。第１０题用数字卡片摆出符合要求的数，熟练小数的读、写方法。
２． 教学小数的性质，突出对性质的体验。首先体验性质的合理，然后体验性质的应用。
小数的性质是小数概念的重要内容之一。教学小数的性质，能使学生进一步理解小数的意义，又为教学小数四则计算作必要的知识准备。教材分两段教学小数的性质，第一段是理解性质的内容，第二段是应用性质改写小数。
（１） 让学生在许多事实里体验小数的末尾添上“０”或去掉“０”，小数的大小不变。
教材里的小数性质，不是直接告诉学生的，而是让他们在数学现象中体验并发现的。这样的体验，不是一次两次，而是多次。有些安排在得出小数性质之前，有些安排在得出小数性质之后。
例５通过“橡皮与铅笔的单价相等吗”这个实际问题，抽象出比较０．３元和０．３０元的大小这个数学问题，联系小数的意义，得到０．３=０．３０。紧接着例５的“试一试”，看图比较０．１米、０．１０米和０．１００米的大小，由１米=１０分米=１００厘米=１０００毫米得到０．１=０．１０=０．１００。例５和“试一试”为小数的性质提供了具体的感性材料，教材支持学生独立思考得到这两组等式，增强对等式的感受，体验等式的合理性，从而发现小数的性质。
例６是为了进一步理解小数性质的内涵而设计的，着力于对小数“末尾”的理解。情境中的食品价钱都是以元为单位的小数，各个小数里都有“０”，有些“０”在小数的末尾，有些“０”不在小数的末尾。让学生判断“哪些０可以去掉”，有助于准确理解和把握小数“末尾”的含义。在这道例题中学生还能体验到，去掉小数末尾的“０”不改变小数的组成。如２．８０元是２元８角，２．８元也是２元８角；２．８０是２个一和８个十分之一，２．８也是２个一和８个十分之一。从而确信小数的性质是合理的。
第３５页“练一练”是发现小数性质以后使用的，两道题都数形结合，加强对小数性质的理解。其中第１题通过０．１和０．１０、０．２和０．２０、０．３和０．３０……每组里的两个数对应于数轴上的同一个点，又一次证实小数的性质。第２题通过涂色时的感受，体会０．６和０．６０的大小相同，０．６和０．０６的大小不等。让学生清楚地看到，如果添上或去掉的“０”在小数末尾，不会改变原来数的大小；如果添上或去掉的“０”不是小数末尾的０，小数的大小随之发生变化。
（２） 让学生通过改写小数，体验小数性质的应用。
应用小数的性质，去掉小数末尾的“０”化简了小数，在小数末尾添上“０”增加了小数部分的位数，都是在不改变小数的大小的前提下进行的。教材让学生在改写小数的活动中，获得这些体验。
第３５页“试一试”，不改变数的大小，把三个数都写成三位小数。这三个数中有一位小数０．４、两位小数３．１６和整数１０。把改写这些数安排在“试一试”，是锻炼学生应用知识解决问题的能力。在学生改写以后，要抓住三点进行交流：一是改写这三个数时应用了什么知识?二是为什么给三个数添上的“０”的个数不同?三是１０是整数，怎样在小数的末尾添上“０”?
练习六第１～５题是围绕小数性质设计的。第１、２题巩固并深化对小数性质的理解，突出去掉或添上的“０”必须是小数末尾的０。第３、４、５题都是应用小数的性质改写小数，其中有去掉末尾的“０”化简小数，也有在末尾添“０”增加小数部分的位数；有改写小数，还有改写商品的单价。这些练习题使学生在应用中掌握小数的性质。
３． 比较小数的大小，淡化统一的法则，鼓励个性化的思考。
学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认识上作必要的调整。如，在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数中未必一定如此（三位小数不一定比两位小数大）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移。
以前教学比较小数的大小，重点是比较的法则，教材里列出若干方法与规则，要求学生理解和应用。本单元把比较小数的大小作为小数概念教学的一部分，比较时的思考是根据小数意义展开的，并通过比较大小进一步充实小数的概念。这部分教材设计成三个层次。
（１） 详细地展开比较的过程，鼓励方法多样化。
这个层次里教学例７和它下面的“试一试”，有一位小数与两位小数的比较、两位小数与三位小数的比较，有整数部分都是０的小数相比较，也有整数部分不是０的小数相比较。教材鼓励学生按自己的思路去比，在例７里可以联系实际数量，比０．６元与０．４８元的大小。还可以把０．６和０．４８变成相同计数单位，比含有单位的个数；喜欢形象思维的学生，可以在相同的正方形里分别表示出０．６和０．４８，看谁的图形大些。如果学生使用其他方法，也是允许的。各人比较时选用的具体方法虽然不同，本质上都是根据小数的意义展开思路的，学生在完成比较小数大小的过程中，小数的概念得到了加强。教学“试一试”也要让学生在交流中展示自己的思考，鼓励创新。如７．９０比８小，８．３２比８大，所以７．９０<８．３２。这样，比较小数大小的方法就不是教材或教师告诉学生的，而是他们自己建构的。
（２） 在比较大小的练习中，压缩思考过程，掌握比较要领。
在这个层次里要完成“练一练”和练习六第６～９题。学生在上一个教学层次里，初步接触了比较小数大小时经常遇到的一些情况，并详细地体验了比较的方法。这个教学层次，要应用初步获得的经验，通过一定数量的练习，进一步体验比较的方法，掌握比较大小的要领。练习的题量比较大，要从中选择一些题，让学生说说“应该抓住哪一点进行比较”。如比较２元和１．９元，只要想１．９元不满２元。又如比较３．４５米和３．５４米，只要想４个十分之一小于５个十分之一。再如比较３６．９千克和３７．４千克，只要想３６<３７。这样的练习，能引导学生压缩思考过程，体会比较的要领，培养思维的灵活性和敏锐程度。
（３） 在开放的问题中，发现并掌握一些规律，提升比较小数大小的能力。
练习六第１０题，在７．３１>□．４的方框里可以填０、１、２……６等数，通过填这些数，学生可以发现：两个小数中，整数部分大的那个数比较大。在０．５４２<０．５□３的方框里，学生可能先想到的是填５、６、７、８或９，于是发现： 如果两个小数的整数部分相同，十分位上的数也相同，百分位上数小的那个小数比较小。学生还会想到方框里还能填４，这时，他们把刚才的发现又发展了一步。练习六第１１题把组成的６个两位小数按大小顺序排列到表格中，学生又一次体验了在第１０题的发现。这些发现就是比较小数大小的一般法则，掌握这些法则，就能迅速比较小数的大小，正确作出判断。
４． 联系学生已有的知识，教学改写较大的整数和求小数的近似数。
学生已经能够把整亿、整万的数改写成用“亿”或“万”为单位的数，并体会了这些改写方便读数和写数，有助于理解较大数的意义。他们还初步学会了用“四舍五入”的方法求整数的近似数。本单元的例８，要把非整万、非整亿的数改写成用“万”“亿”作单位的数。例９教学求小数的近似数。新旧知识有密切联系，已有的改写较大整数的经验和求近似数的方法，都可以应用于新知识。新旧知识也有不同的地方，在改变数的单位和求近似数时，还要应用小数的意义和性质。因此，教材既充分利用学生已有的知识经验，又突出新旧知识的不同。
（１） 改写较大的整数，先教学思考与方法，再教学特殊情况的处理。
例８以行星之间的平均距离为教学素材，所出现的较大整数都是有意义的数。意义在于学生有兴趣，能丰富他们的科学知识。而且感到这些数比较大，读与写都不大方便，乐意改变这些数的单位。教学分三个层次进行。第一个层次把３８４４００改写成用“万”作单位的数，在这个层次里着力教学改写时的思考，并得出改写的方法。３８４４００是一个较大的数，通过读数能够知道它是３８个万和４４００个一组成的数。所以，用“万”作单位表示这个数时，“３８”应该是整数部分里的数，“４４００”应该是小数部分里的数。教材给３８４４００里的“４４００”和３８．４４里的“４４”加上同样的色块，显示了这一思考过程，从而得出改写的方法：在万位的右边点上小数点。至于改写后的数要用“万”为单位，以及根据小数性质化简，都是学生能够解决的，教材不作过多强调。第二个层次是把１４９６０００００改写成用“亿”作单位的数，在上一层次“扶”的基础上，这里采取了“放”，让学生完成改写。教材只是通过问题“在哪一位的右边点上小数点”提示改写的方法。教学的时候要注意两点：一是抓住“为什么在亿位的右边点上小数点”组织学生讨论，理清改写时的思路。二是组织两个层次的改写的比较，找到它们的相同点与不同点，使学生全面掌握改写的方法。第三个层次是第４０页的“试一试”，把５７９１００００改写成用“亿”作单位的数，小数的整数部分是０。这是改写时遇到的特殊情况，教材让学生在改写中遇到矛盾并想办法解决它。可以让学生从两个角度去体会：一是这个数比１亿小，改写成用“亿”作单位的数，整数部分应该是“０”。二是这个数的最高位是千万位，在亿位的右边点上小数点，缺少整数部分，应该用“０”补足，使写出的小数完整。“练一练”里把４６４１１、４４７６、１４３３、４０９等数改写成用“万”为单位的数，让学生继续练习对上面情况的处理方法。特别是４０９的改写，不仅要添整数部分的“０”，还要在十分位上写“０”。
（２） 求小数的近似数，教学的着力点放在理解精确程度上。
学生已经具有求整数的近似数的能力，初步会应用“四舍五入法”。例９的教学内容首先是理解近似数的精确程度，即理解“精确到十分位”“精确到百分位”的含义。教材通过“精确到十分位要保留几位小数”这样的问题，引导学生联系有关的小数概念，体会近似数的精确程度：十分位是小数点右边第一位，精确到十分位就是保留一位小数。对“精确到百分位”，也采用了相同的教学方法。然后是用“四舍五入法”写出近似数，教材在尾数的最高位上加色块，指导学生在求近似数时“要看小数的哪一位”，便于“四舍”或“五入”。例９的第三点教学内容是，近似数１．５和１．５０“哪一个更精确一些”，这是让学生体会精确程度。１．５保留了一位小数，１．５０保留了两位小数，精确到百分位比精确到十分位的精确程度高。虽然１．５和１．５０从小数性质的角度上看，大小是相等的，但在精确度上看，它们表示了不同的精确程度。所以，近似数１．５０末尾的“０”一般不能去掉。 第四单元《小数加法和减法》教材分析沈重予
本单元把小数加法和减法合在一起教学，先教学笔算的方法，在掌握笔算的基础上，口算比较容易的小数加、减法。然后教学加法运算律和减法运算性质在小数加、减法里仍然适用，并进行有关的简便计算。教材在编写方面，有以下几个主要特点。
第一，不以既定的计算法则束缚学生，突出对计算方法的探索和理解。不求算法一步到位，适当展开了算法逐步发展、逐渐完善的过程。加强与整数加、减法的有机联系，帮助学生形成包摄性更大的认知结构。
第二，练习数量比较充足，练习形式活泼多样，避免机械、被动、乏味的计算训练。提供学生可能出现的计算错误，引起学生的注意；鼓励学生用计算器进行较繁的加、减计算；利用验算提高正确率，培养良好的计算习惯。
第三，注重计算知识的实际应用，除了解决购买物品时花钱和找钱的问题外，还有通过计算反映病人体温的变化情况、统计家庭里主要的收入和支出情况、计算水位高度、测量水的深度等内容，对培养应用意识和实践能力有积极的作用。
１． 因势利导，设计算法的探究过程；由表及里，促进算法的完善发展。
学生在三年级曾经进行过一位小数的加、减计算，由于两个加数、被减数和减数都是一位小数，他们不自觉地做到了小数点对齐。虽然进行了小数加、减计算，并没有形成计算的法则。本单元的例１和“试一试”“练一练”，通过创设问题情境，营造认知矛盾，因势利导，逐步构建小数加法和减法的计算法则。
（１） 例１要解决的主要问题是，列加法和减法的竖式，应该把小数点对齐。
这道例题的教学安排是，先在小数加法中理解“小数点对齐”的问题，再向小数减法迁移。把小数点对齐不是教材和教师告诉学生的，而是学生联系已有经验，经过体会得到的。求小明和小丽一共用了多少元，是两位小数加一位小数的计算。教材先让学生试着列竖式算，预计可能出现两种列法，一种是把两个加数的小数点对齐着列，另一种是把两个加数的末位对齐着列。教材接着让学生研究“两种算法哪一种正确”。这里不是凭“小数点有没有对齐”来评判哪个竖式正确，而是联系已有的经验，分析和体会哪种算法正确。学生可以结合具体数量，４．７５元是４元７角５分，３．４元是３元４角，４．７５+３．４的竖式应该把表示“元”“角”“分”的数分别对齐着写，才便于相加。也可以从小数的意义进行分析，４．７５是４个一、７个０．１和５个０．０１，３．４是３个一、４个０．１，根据整数加法的经验，把相同计数单位的数对齐着列竖式，最便于计算。还可以通过估计作出判断，４元多加３元多要超过７元，所以得数是５．０９的那个竖式肯定是错的。学生通过上面的思考和交流，形成共识：要把小数点对齐着算。
在求小明和小丽一共用了多少元的计算中，还有一点也应引起学生注意：十分位上的数相加满１０，要向个位进１。这一点可以从“１０个０．１是１”得到解释。
例１的第二个问题是小明比小丽多用多少元。这个问题在教学内容上，从加法计算迁移到减法计算，是一步发展。在学生认知过程上，从理解方法到独立进行计算，可以内化算法。教学这个问题，只要突出一点，即竖式怎样写。
（２）“试一试”教学的主要内容是，和或差的小数末尾如果有“０”，应该化简。
求小明和小芳一共用了多少元和小芳比小明少用多少元，都要列竖式计算。“试一试”的第一个教学任务是巩固“小数点对齐”这个必须遵循的写竖式的规则，让学生独立计算就能达到这一教学目的。第二个教学任务是化简计算结果。小明和小芳一共用了７．４０元，小芳比小明少用１．１０元，和与差的小数末尾都有“０”。在教学小数的性质时，教材中曾经指出：根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“０”，把小数化简。现在要应用小数的性质化简计算的结果。教学时要注意两点： 第一，计算的结果，如果小数末尾的“０”没有去掉，计算是正确的，不能仅以没有把小数化简而判定计算是错误的；第二，要引导学生自觉地应用小数性质，把得数里小数末尾的“０”去掉。去掉的方法是，在竖式上把这些小数末尾的“０”逐个划掉。
（３）引导学生反思算法，构建计算法则。
在例１和“试一试”里，学生经历了两次小数加法计算和两次小数减法计算，初步知道小数加、减法的竖式应该怎样算，还知道计算的结果要根据小数的性质化简。这些都是他们在探索学习过程中的体验，在此基础上，要引导学生总结算法。“试一试”下面的两个问题，先引发学生回顾反思，再通过交流形成法则。这两个问题不是简单地回忆“是怎样”和“要怎样”，而是寻找小数加、减法和整数加、减法在计算时的相同点，从“相同数位上的数对齐”的高度认识“小数点对齐”，把已有的整数加、减法的计算法则推广到小数加、减法，并进一步加强对整数加、减法法则的理解和应用。至于“小数计算的结果，要根据小数性质进行化简”是小数计算的个性特点，与整数计算不同。教材再一次引起学生注意，作为小数加、减计算法则的补充内容。尽管教材里没有呈现小数加法和减法的计算法则，事实上法则已存在于学生的认知结构里了。学生经过自己的努力，得出这样的认识与方法，就是探索和创新。
（４）在“练一练”里帮助学生澄清一些认识。
第１题让学生在已经列出的竖式上计算，有两处要引起学生注意，一是２４加９．９是整数加小数，也应该把小数点对齐着算。可以让学生看一看、想一想，竖式是怎样列的?小数点对齐没有?为什么?二是７．５６减４．５６的差的小数部分是０，可以让学生说一说，差应该怎样化简?差是多少。第２题选择了学生初学小数加、减法时往往发生的错误，通过指出并改正错误，引起学生的重视。随着上面一些认识的澄清，学生将更好地理解和掌握小数加法和减法的计算方法。
２． 集中力量解决计算中的难点问题，因人制宜，允许学生选择自己需要的方式。
在计算小数减法时，如果被减数小数部分的位数比减数小数部分的位数少， 学生往往发生错误。教材把这种情况视作计算中的难点问题，安排例２加以解决。其实，这个问题的解决不是例２才开始，在前面已有铺垫。
（１） 在教学计算法则时，已经出现了两个加数的小数部分位数不同、被减数的小数位数比减数多的情况。
例１计算４．７５+３．４的竖式，百分位上怎样算?这一位上不是把“５”移下去，是算５+０=５,“０”是根据小数的性质，在３．４的末尾添上的。同样，４．７５-３．４的百分位上是算５-０=５，也可以根据小数性质，在３．４的末尾添上“０”。这些可以添上的“０”只是没有写出来，把它想在脑里了。类似的情况在第４８页“练一练”里和练习八第２题里也多次出现，如果教学时注意到这些，那么已经为例２的教学作了很好的铺垫。
（２） 在例２和“试一试”里集中力量突破难点。
例２的竖式中，３．４的末尾有红色的“０”，并加了虚线框。这个“０”不是一开始就写出来的，是在计算情境中出现的。依据３．４-２．６５写出的竖式，被减数百分位上空着。这一位上是几减几?由此联想小数的性质，可以在３．４的末尾添上一个“０”。写出了这个“０”，百分位上怎样算就清楚了。教材把“０”加红色，意在把精力集中到这个“０”上，着重解决两个问题：这个“０”是哪来的?这个“０”对计算有什么作用?把“０”套上虚线框的意思是，这个“０”一般不写出来，只要把它想在脑里。这是对多数学生的导向。至于部分计算能力较弱的学生，仍允许他们把这个“０”写出来，能防止算错。
“试一试”计算８-２．６５，这是整数减两位小数，计算难度比例２大一些。教材让学生独立计算，应用例２中学到的方法。在他们计算时，通过大卡通的提问给予适当启示。如果有些学生把被减数十分位、百分位上的“０”写出来，要指导他们先在被减数个位的右下方点上小数点，再在小数的末尾添“０”。
教材要求“再选择两种物品，算出它们的单价相差多少元”扩大“试一试”的容量。要有意识地让学生计算８-３．４、８-４．７５、４．７５-３．４等被减数与减数的小数位数不同的题，消化学习的新知识。
“练一练”里大多数题的被减数小数位数比减数少，让学生巩固并掌握新知识。也有少量两位小数减一位小数、两位小数减两位小数的题，有利于学生把新旧知识融合起来，既把新学习的计算纳入已有的法则，又充实了计算的技能。
练习八里的小数加、减法口算，是在初步掌握笔算的基础上进行的，通过这些口算进一步掌握小数加、减法的计算法则。本单元安排的小数加、减法口算题，把相同数位上的数对齐以后，进行的计算能够和整数的两位数加一位数、整十数或两位数的口算相衔接。第５题对小数加、减计算进行验算，要把整数加、减法的验算方法迁移过来。加法的验算一般应用加法交换律进行，减法的验算一般应用减数加差等于被减数这个关系。
３． 把整数加法的运算律和减法的运算性质向小数加法和减法扩展。
在四年级（上册）教学了加法交换律、结合律以及减法的运算性质。学生已经理解了这些运算律和运算性质的内容，并能应用于整数加、减计算。整数加法的运算律和减法的运算性质对小数加、减法是不是适用?这是本单元例３和练习九第２题要解决的问题。
“同样适用”包括两层意思： 同样存在和同样应用。例３让学生计算四个小数相加的和，列出算式以后，有些学生会按运算顺序依次相加，也会有学生调换加数的位置，另行组织相加的顺序。各种算法的最后得数相同，说明了两点：一是小数连加也可以交换加数的位置，也可以把加数结合相加，计算结果不会改变。即小数加法同样有交换律和结合律。二是各种算法的简便程度不同，依次相加比较麻烦，需要列竖式笔算。应用运算律使算法简便，只要口算。这两点共同表明，整数加法的运算律，对小数加法也同样适用。“同时存在”和“同样应用”的认知方式不同，前者是发现、验证，后者是迁移。教材把这两点教学内容设计在一个载体里，通过计算四个小数相加的和，既验证了存在，又体会到原有的应用经验可以迁移过来。这些都是“练一练”的思想基础和知识基础。
教学减法的运算性质也作了类似的安排。练习九第２题通过两组式子的算一算、比一比，发现整数减法的运算性质在小数减法里同样存在，因此，也可以用于小数减法的简便运算。
４． 使用计算器计算小数加法和减法，体会计算工具方便了计算。
例４教学使用计算器进行小数加、减法计算。教学过程大致分成两段： 第一段以０．８为例，让学生在操作计算器的活动中，学会往计算器里输入小数的方法，体会到输入小数的方法和输入整数的方法基本相同，只是多按一个小数点的键；第二段是计算五种物品的总价和付出１００元应找回的钱数。一方面熟练使用计算器的方法，另一方面感觉到用计算器算比笔算方便得多。
“练一练”里都是小数加、减计算和混合运算。像这些比较繁的计算没有笔算要求，都可以用计算器算。练习九第８题算出各次收入或支出后的余额，计算量很大，而且比较繁。这些练习都能使学生体会使用计算器的好处。
第五单元《找规律》教材分析沈重予
本单元把常见的、有固定周期规律的现象作为研究对象，通过发现具体现象里的周期规律、对现象的后续发展情况作出判断、解决简单的实际问题等教学活动，激发探索兴趣，培养探索精神。教材在编写上有以下几个主要特点。
第一，教学素材现实，贴近学生生活。许多教学材料是生活中见过的，都是学生能接受的、感兴趣的。学习材料的吸引力是激发探索热情的重要因素。
第二，关注探索过程，鼓励方法多样。无论是表达周期规律还是解决实际问题，都尊重学生的方法和个性特点。突出过程中的数学思考，重视体会符号感和建立模型。
第三，掌握难度。现象中的周期规律都是比较简单的、容易发现的。
教学内容分两部分编排： 第一部分是体会周期现象，发现其中的周期规律；第二部分是解决有周期规律的实际问题。每部分都安排了一道例题和相应的“试一试”“练一练”，练习十是配合两部分的教学。
１． 初步认识周期现象，发现其中的规律，体会规律是确定不变的。
周期现象是有规律的现象，规律表现为一种周而复始、循环出现的结构，这种确定的结构是现象的周期。周期现象的教育价值在于培养学生发现规律、遵循规律、利用规律的精神，通过眼前预料以后、通过部分把握整体、通过有限想像无限。
发现周期，并体会它的确定性是认识周期现象的关键，是第一部分内容的教学重点。
在例１的画面里，由近到远依次是盆花、彩灯、彩旗，它们摆放顺序的规律都表现在颜色上，十分醒目、容易发现。教学分两步进行。第一步通过问题“从左边起，盆花是按什么顺序摆放的?彩灯和彩旗呢”明确了研究对象、教学次序、观察内容。学生看出各类物体的摆放顺序并不难，但说不到位。要提高交流的质量，通过说摆放的顺序进一步体会规律。如盆花，学生一般说成“一盆蓝花和一盆红花间隔着摆的”。要引导他们理解“每２盆为一组”，“每组都是先１盆蓝花，再１盆红花”。再如彩灯是“每３盏一组”，“每组都是１盏红色、１盏紫色、１盏蓝色”。彩旗是“每４面为一组”，“每组都是先２面红色，再２面黄色”。能看出一组的数量和一组里的次序，就发现了周期，对规律的理解就准确了。例题教学的第二步是回答“左起第１５盆花是什么颜色”的问题以及紧接着的“试一试”。让学生根据看到的规律，对现象的后续发展进行预测，从而对规律的确定性有更深的体会。所问的盆花、彩灯、彩旗都没有画出来，它们的颜色不能直接看到，只能依据规律进行推理。教材里的画一画、想一想、算一算，都是学生再现周期规律进行的推理活动。各种方法都有特点，也有其局限。对各种方法的评价和采纳，要让学生体会并逐步选择。学生对第一种方法“画一画”，会感觉比较麻烦，如果花的盆数再多些，画的也更多，对第二种方法“单数盆是蓝花、双数盆是红花”会最感兴趣。对第三种方法“用除法计算”会感到比较难，不愿接受。这些体会都是暂时的，到了“试一试”里，他们又会感到前两种方法都不太好，转向用除法算了。用除法算的难点是怎样根据余数作出正确判断，要给学生两点指导：一是想一想，“余数”在第几组物体里。二是画出一组，余数是几就圈第几个，答案就清楚了。如１５÷２=７（组）……１（盆），第１５盆花是第８组里的第１盆，表示第１５盆是蓝花。又如１７÷３=５（组）……２（盏），第１７盏灯是第６组里的第２盏，表示第１７盏是紫色灯。再如２３÷４=５（组）……３（面），第２３面旗是第６组里的第３面，表示第２３面是黄旗。
“练一练”对其他活动、现象的后续发展情况作出预计，重点仍然是发现和表达各次活动、各个现象里的顺序规律。前两道题的周期载体仍是物体的颜色，第３题变为形状；第１、３题的顺序规律仍表现在画面里，第２题则用语言文字告诉学生。这些变化能提高学生发现规律的能力。
练习十第１、２题也是生活中常见的周期现象。第１题１２种生肖（１２年）是一个周期。教学第１题时，可以先在自己的生肖下写出年龄，再写相邻生肖、其他生肖下的年龄，然后想“接下去的年龄该写在哪里?”体会１２年是一组。
２． 通过解决实际问题，进一步体会周期特征。
在初步认识周期现象，能够发现排列规律的基础上，例２解决具有周期规律的实际问题，使学生进一步理解和把握周期特征。这里的“进一步”有两层意思：一是主动发现——自己在情境中找到摆放（排列）的规律。二是自觉应用——有选择地使用一个周期里的信息，如一共有多少个物体、有几种不同的物体、它们的排列次序、每种物体的个数等。
例题呈现了一幅兔子排着队等待跳高的画面，学生从中应该看到“每３只兔为一组”，“每组中有１只灰兔、２只白兔”。这些既是情境里的周期规律，也是解决问题所需要的信息。
解决的实际问题由易到难，思路和方法是连贯的。例２里１８只兔刚好排成“这样的６组”，所以灰兔一共有６个１只，白兔一共有６个２只。“试一试”比例题复杂，２０÷３=６（组）……２（只），余下的２只在第７组里，是这一组的前面２只兔。在求出６组里有６只灰兔和１２只白兔后，还要分别加上第７组里的１只白兔和１只灰兔。
教学例２和“试一试”，在学生进入情境、弄懂事实、理解题意后，要突出重点、抓住关键、化解难点。例２要让学生说一说“兔子是怎样排列的”，想一想“１８只兔排成这样的几组”。“试一试”要着重让学生弄清楚“余下几只兔，它们是什么颜色”。
“练一练”的题和“试一试”一样，都稍复杂些。要先让学生独立解题，再组织交流。交流的重点仍然是现象里的排列规律，即“每几个是一组”，“一组里有些什么”；“有这样的几组，还余几个”，“剩余的是什么”等。对于已经解答的学生，通过交流提高表述规律、表达数学思考的能力。对于不会解答的学生，在交流中得到启发、学到解法。
练习十第３题要从月历卡上看到４月有３０天，从１日起“每７天是一星期”，“每星期的前两天是星期六和星期日”。
第七单元《小数乘法和除法（一）》教材分析?沈重予
本单元教学小数与整数相乘、小数除以整数，教材编排上有以下特点。
第一，内容丰富。除了教学小数乘整数与小数除以整数的笔算外，还教学一个数乘或除以１０、１００、１０００……利用向右或向左移动小数点位置的方法得到积或商。笔算是一般性的算法，是最基础的知识。乘或除以１０、１００、１０００……是计算中的特殊情况，不但运算的数特殊，方法也特殊，可以直接写出得数。在教学一般方法的基础上教学一些特殊的计算，能培养学生的计算能力。
第二，结构优化。小数乘法和小数除法分开编排，各成一条线索。两条线索相对称，都是先教学笔算，再教学直接写出乘或除以１０、１００、１０００……的得数；都把笔算教学和解决实际问题结合起来，把特殊的乘、除计算和计量单位的改写联系起来。这种教材结构，有助于教师把握全单元的教学内容和教学要求，有益于转化成学生的认知结构。
第三，把计算器作为学具。教材把重要的数学知识的教学过程，设计成学生探索规律的过程，把计算器作为探索规律的工具。前后共三次使用计算器支持笔算与口算的教学：先用计算器计算小数与整数相乘的积，再研究积与因数的小数位数的关系，得出小数乘整数的笔算法则；先用计算器计算一个小数乘１０、１００、１０００的积，以及一个小数除以１０、１００、１０００的商，再发现小数点移动位置的规律，从而找到直接写出得数的方法。这些都是小学数学教学的首创。
第四，安排必要的练习，讲究效益。全单元编排两个练习，分别配合小数乘法和除法的教学。安排一次“整理与练习”，是全单元内容的复习与综合练习。通过比较充分的练习，使学生掌握计算知识，形成计算技能，发展应用意识。
１． 让学生领悟笔算方法，掌握积、商里小数点的位置。
在整数乘、除法的基础上进行小数乘、除计算，关键是处理小数点。怎样在积与商的适当位置点上小数点，是本单元笔算教学的重点内容。教材让学生在计算情境中体验竖式计算，研究积、商里小数点位置的规律，主动构建小数乘整数、小数除以整数的计算法则。
（１） 写竖式、算竖式、研究积与因数的小数位数，是教学笔算乘法的三个主要活动。
例１从夏天买３千克西瓜要多少元这个实际问题出发，根据求几个相同加数的和可以用乘法计算这个已有概念，列出算式０．８×３。这是学生第一次遇到小数乘法，它的得数是几?搜索相关的知识经验，一般有两条思路： 一是把３个０．８连加；二是把０．８元看成８角，把小数乘法转化成整数乘法。这两种方法都是小数乘整数的认知平台。教材里写出０．８×３的竖式，让学生从整体上感知它。初步看到小数乘整数也可以列竖式计算，竖式的形式和整数乘法很接近；由于一个因数是小数，积也是小数。
例题继续求冬天买３千克西瓜要多少元，让学生独立计算２．３５×３，探索小数乘整数的笔算方法。教材要求先用加法算，再用乘法算有两点意图：一是用加法启发乘法。计算加法是从最低位起，一位一位地算的；是向相邻的高位进位的；和里要点上小数点的。这些步骤与方法启发乘法也这样进行，学生算过乘法后，又会进一步感受到小数乘法可以像整数乘法那样去乘，只是积里要点上小数点。二是用加法验证乘法，结果是正确的，过程与方法是合理的，增加继续研究小数乘法的信心。
通过例题的教学，学生初步知道小数乘整数可以列竖式笔算，乘的方法和整数乘法基本相同。“试一试”着重教学积里有几位小数，即怎样在积里点小数点。首先用计算器计算三道题，很快得到它们的积。然后分别看积的小数位数和因数的小数位数，想想它们之间有什么联系，从而明白“因数里有几位小数，积里也有几位小数”。“练一练”第２题，根据一道整数乘法等式，写出四道小数与整数相乘的算式的积，专门练习根据因数的小数位数，确定积里小数点的位置。“小数和整数相乘应该怎样计算”这个问题，引导学生把例题里的感知和“试一试”的收获结合起来，通过在小组里说说的方式，整理计算思路，明确计算方法，建构计算法则。
（２） 理解竖式的算理、延伸除的过程、体会商里必须有整数部分，是除法笔算的三个教学要点。
例４仍然以买东西为题材，因为它容易激活已有的经验，有助于学生领悟算法。前后共提出三个实际问题，教学三个除法竖式，各有重点。三个竖式中教学的除法知识综合起来，就是小数除以整数的计算法则。
第一个问题是求每千克苹果多少元，计算９．６÷３。学生第一次遇到小数除以整数，可以想到的方法是把９．６元看成９６角，于是把小数除法转化成整数除法。还可能想到９．６元是９元６角，于是分步计算求得结果。这些方法都是接受小数除以整数的认识基础，看着教材中的竖式，体会９．６÷３应该分两步算，以及每一步算什么。“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”这个问题，引导学生对算法深入地思考，既可以联系前面的算法作出具体的解释，也可以根据小数的组成进行推理。通过９．６÷３的教学，学生初步理解小数除以整数的基本算法：可以像整数除法那样列竖式计算，商的小数点和被除数的小数点对齐着写。
第二个问题求每千克香蕉多少元，计算１２÷５。整数除法中，除到被除数的个位，把剩下的不够商１的部分作为余数，不再继续除了。小数除法中，要在余数的小数末尾添上“０”继续除。教材先在商的个位的右下角点上小数点，再在余数“２”的右边添一个“０”，让学生明白这里在应用小数的性质，除法还可以继续算。又通过“２０”表示２０个十分之一，除以５商４个十分之一，既清楚了“４”在商里的位置，又突出了在商里及时点上小数点的必要性。
第三个问题求每千克橘子多少元，计算５．７÷６。这道题的商不满１，可以从总价５元多一些，数量６千克，因此单价不满１元的具体数量里感觉到，也可以根据整数部分“５”比除数６小，作出判断。教学着重解决“应该在整数部分写０”，而且要求学生自己想到这一点。在十分位上商９以后，余下的３个十分之一要转化成３０个百分之一继续除，发展了“在余下的数的后面添上０继续除”的知识。
还有一点在教学时应该注意。小数乘法的例题只是初步体会它可以用竖式计算，算法的得出在“试一试”之后。所以，例题和“试一试”的教学要一气呵成，待形成计算方法后再进行练习。小数除法例题里的三个计算都有预设的教学内容，需要及时巩固，才能进入后面的教学。所以，每个问题解决以后，都要适量安排练习，使教学的新知识消化、内化，保障后面的教学能突出重点。例４后面的“试一试”综合应用了例题教学的三个计算知识，让学生全面且系统地体会小数除以整数的计算方法，为小组里说说应该怎样计算，总结计算法则积累体会。
２． 通过归纳推理，认识一个数乘或除以１０、１００、１０００……小数点位置的变化规律。
例２和例５分别教学一个数乘１０、１００、１０００……和除以１０、１００、１０００……教材为这两个内容设计了相同的教学方法和教学活动，教学过程都分四步进行。
第一步，学生共同研究相同的对象。先用计算器计算５．０４×１０、１００、１ ０００的积和２１．５÷１０、１００、１０００的商，再观察小数点位置的变化情况。教材设计这一步出于三点考虑：第一，便于教师进行指导，对学生说清楚算什么、怎样算以及通过计算研究什么；第二，便于学生开展交流，通过相互评价和相互补充，明白小数点位置的变化包括它移动的方向和移动的位数；第三，初步发现５．０４×１０、１００、１０００，小数点位置移动的方向相同，移动的位数不同。２１．５÷１０、１００、１０００，小数点位置移动也是方向相同，位数不同。从而感到可能存在某些规律，产生继续研究的兴趣。教学这一步要注意两点：一是根据问题和计算器的计算，把算式和得数都写出来，在算式中容易看到小数点位置的变化情况；二是帮助学生辨别小数点移动的方向和位数，特别是移动的位数，有些学生不善于看出来。
第二步，充实感性材料。让学生再任意找几个小数，分别乘１０、１００、１０００或除以１０、１００、１０００，继续观察小数点位置的变化情况，并在小组里交流。设计这一步出于两点考虑：第一，学生在第一步的教学中，产生了研究的兴趣，也知道了数学活动的内容和方法。让他们自主找几个小数进行类似的计算和观察，既能维持学习热情，又培养了学习能力。第二，各学生找的小数不同，每个学生都任意找了几个小数，使全班的学习资源非常丰富。丰富的感性材料，让每个学生在交流中都有话可说，在众多具体材料中抽象归纳数学结论，令人信服，也体现了比较科学的认知方法和严谨的认知态度。
第三步，总结规律并应用于计算。一个数乘（或除以）１０、１００、１０００……只要把它的小数点向右（或左）移动一位、两位、三位……这是从大量的具体材料中提炼出来的数学结论。这个结论抓住了众多现象共有的、本质的数学内容，把规律用数学语言的方式陈述出来。教学这一步要注意两点：第一，学生是总结规律的主体，不是被动地接受规律；第二，学生总结规律需要经过从不完整到完整、从不严密到严密的过程，使用数学语言的水平会逐渐提高。教学的任务是组织学生相互交流、相互补充、相互完善，帮助他们说出规律而且越说越好。通过说，进一步把握规律的本质内涵，学习使用数学语言。第７０页和７５页“练一练”的第１题是应用发现的规律直接写出得数。在移动小数点的位置时，如果数里原有的位数够用，则很容易；如果位数不够，要用“０”补足，这是练习中的一个难点。要指导学生怎样补“０”，弄清楚补在哪里，补几个“０”。如果小数点向右移动，原来数的小数部分缺少几位，可以在小数末尾添几个“０”；如果小数点向左移动，原来数的整数部分位数不够，可以在整数部分的最高位的前面补“０”。
第四步，逆向思考，全面地掌握规律。一个数乘或除以１０、１００、１０００……只要移动它的小数点，就能得到结果。反之，移动一个小数的小数点，等于把它乘或除以１０、１００、１０００……这是对规律的逆向思考，也是对规律的完善。“练一练”的第２题都是进行逆向思考的教学，通过对因数与积、被除数与商的比较，在括号里填出另一个因数或除数，完成逆向思考。教学这一步的目的，一方面使学生对小数点位置移动的规律有完整的理解，另一方面为继续教学小数乘小数、小数除以小数作必要的知识准备。
３． 应用小数点位置的移动规律，进行计量单位的换算。
例３教学把较大单位的数量改写成较小单位的数量，例６教学把较小单位的数量改写成较大单位的数量。这两道题的改写方向相反，改写方法也相反。改写时应该怎样想是教学的重点，也是难点。在教学例３时，可以先口答２千克=?克、５千克=?克，从中看到这些题都是乘１０００，都把小数点向右移动三位。然后把经验与方法应用到０．３５１千克=?克里去。在教学例６时，可以采用与例３相似的方法，先从２０００米/秒=?千米/秒、５０００米/秒=?千米/秒这些简单的问题里体会只要除以１０００，把小数点向左移动三位，再应用到５００米/秒=?千米/秒这个新的问题情境中去。还可以利用例３中获得的知识，从较大单位的数量改写成较小单位的数量要乘进率和向右移动小数点，推理出较小单位的数量改写成较大单位的数量应该除以进率和向左移动小数点。
练习里还安排了进率是１０和１００的单位改写，涉及到长度、质量、面积、容量等各类计量单位。由于这些单位是第一学段里陆续教学的，学生可能会遗忘，所以，要帮助学生整理这些单位，把各类计量单位从大到小依次排一排，回忆相邻两个单位间的进率。
第八单元《公顷和平方千米》教材分析沈重予
公顷和平方千米是两个较大的面积单位，一般用于计量大面积的土地。在三年级（下册）教学了平方厘米、平方分米、平方米等面积单位，这些单位比较适用于计量物体表面、平面图形以及小块土地的面积。如果用于计量面积很大的土地，则很不方便，因此需要公顷和平方千米。
本单元的教学任务是，使学生初步形成１公顷、１平方千米的观念，联系实际体会它们大致是多大，在头脑里留下比较清楚的印象；结合土地面积计算，应用平方米与公顷、平方米与平方千米间的进率，感受用公顷和平方千米能方便地表达土地的大小，从而体会土地的面积；整理先后教学的全部面积单位，组织新的认知结构，合理地应用面积单位。
“你知道吗”介绍地球的表面积以及陆地面积和海洋面积，使学生更清楚地体会计量大面积的土地要用平方千米为单位。
教材中先教学公顷，再教学平方千米。因为平方千米是比公顷更大的面积单位，建立平方千米的观念需要公顷支持。两个内容各编排一道例题、一道“试一试”和一个“练一练”。例题着重教学公顷与平方千米的基础知识，“试一试”用公顷或平方千米为单位计算土地的面积，“练一练”里继续感受公顷与平方千米。练习十四配合两个面积单位的教学，并安排知识的整理和综合应用。
教材的编写特点集中体现在设计的教学活动上，把体验公顷和平方千米作为教学重点和活动目的。活动的形式多样，数学内容突出，有利于学生建立面积单位的初步观念。
１． 在有吸引力的情境中首次呈现公顷和平方千米。
例１以四张照片为背景，分别呈现明孝陵、中华世纪坛的占地面积，日月潭的面积和２００４年我国的森林面积，这些面积都以公顷为单位。例２也以四张照片为背景，分别呈现九寨沟、西湖、三峡水库和２００４年我国的造林面积，这些面积都用平方千米为单位。
教材安排照片和文字说明的意图，要激发学习热情、引起学习心向、营造学习氛围。首先是这些旅游景点、著名建筑都是学生比较熟悉而且非常向往的，学生的兴趣由此产生。其次是例１的素材都以公顷为单位，例２的素材都以平方千米为单位，什么是１公顷?１平方千米是多大?为什么用公顷和平方千米作单位?学生会很自然地想到这些问题，并有解决这些疑问的迫切愿望。这时，兴趣从对景物的喜爱转移到数学内容上，注意力集中到对公顷和平方千米的认识上，例题的教学就有了良好的开端。
２． 在丰富、多样的活动中感受１公顷和１平方千米。
形成１公顷、１平方千米的观念，要知道它们有多大。“知道”可以在听和看中接受，也可以在操作实践中体会。教材为学生选择了多种渠道，通过各种形式的活动，在头脑中留下１公顷、１平方千米的印象。教材理解学生形成面积单位观念的困难，给他们反复感受的机会，使印象逐渐清晰、逐步深刻。
（１） 告诉学生１公顷、１平方千米是多大。
在知道公顷和平方千米是两个面积单位后，例１直接揭示，边长１００米的正方形土地面积是１公顷。例２直接揭示，边长１０００米的正方形土地面积是１平方千米。这些都是告诉学生１公顷、１平方千米是多大。学生对１００米、１０００米的长度是比较熟悉的，知道它们是多长，因而会进一步想像边长１００米、１０００米的正方形。这是他们对１公顷和１平方千米的第一感知。因此，教学时不仅要告诉学生什么是１公顷和１平方千米，还要让他们想一想相应的正方形，获得对１公顷、１平方千米的初步体会。
（２） 算一算１公顷、１平方千米分别是多少平方米。
根据正方形的面积公式，很容易算出边长１００米、１０００米的正方形面积是１００００平方米、１００００００平方米，这是公顷与平方米、平方千米与平方米的进率。教材让学生算进率有三个目的：第一，算式１００×１００、１０００×１０００是根据１公顷、１平方千米的概念列的，通过计算进率能巩固概念；第二，体会１公顷和１平方千米确实是比较大的面积单位，用它们计量大面积的土地比用平方米简便；第三，教给学生记忆进率的方法，一旦遗忘，可以根据概念列式算得。
（３） 在游戏中体会１公顷。
２８个小朋友手拉手围成一个正方形，是一个简单的游戏，也是学生愿意做的游戏。教材告诉学生，这个正方形的面积大约是１００平方米。如果让学生这样围一围，看着围成的正方形，想像１００个这样的正方形有多大，他们又一次体会了１公顷。１公顷的观念清晰了，有利于形成１平方千米的观念，因为１００公顷是１平方千米。
（４） 联系熟悉的场地体会１公顷。
足球场是学生熟悉的，通过计算１个足球场的面积，知道它比１公顷小一些。教室是学生更熟悉的，教室地面的面积一般５０平方米左右，大约２００个教室的地面才有１公顷。从熟悉的场地推想１公顷，能加深对１公顷的印象。学生只要在众多事例中记住最喜欢的一件，１公顷有多大将印象深刻。
３． 计算土地面积时使用公顷和平方千米作单位。
两次“试一试”都是计算土地的面积，练习十四里还有几道与面积计算有关的习题。先用平方米为单位求出土地的面积，再换算成公顷或平方千米，能再次感受到，计量大面积土地如果用平方米为单位，读、写都比较麻烦。如果用公顷和平方千米作单位，便于表达和交流。教学这些题的时候，要留出一点时间，让学生根据土地的有关长度，想像土地的实际样子，从而感受公顷与平方千米。如第８２页“试一试”，想一想底２５０米、高１６０米的平行四边形地，对４公顷就有了体会。又如第８４页第４题，算出苗圃的高以后，想一想底８０米、高１２５米的平行四边形，又经历了一次对１公顷的感受。经常这样想，对形成公顷与平方米的观念，以及培养估计能力与习惯都是有益的。
４． 整理学过的面积单位。
平方米、平方分米、平方厘米等单位是三年级教学的，公顷、平方千米是本单元教学的，两次教学时间相隔比较长。相邻的单位间的进率有些是１００，个别是１００００。所以，有必要把教学的全部面积单位进行一次整理，使学生从整体上掌握面积单位。第８５页第６题就提出了这方面的要求。
整理的时候，要着重回忆各个面积单位的意义，说出分别是多大的正方形的面积，然后把所有单位按大小次序排一排。抓住意义进行整理，能再现单位的概念，组织起单位系统，使进率的记忆不是机械的，而是有意义的。如果把整理的内容类似下面的形式展示出来，效果会更好。
第九单元《小数乘法和除法（二）》教材分析沈重予
本单元在第七单元的基础上继续教学小数乘小数和除数是小数的除法。以笔算为重点，带出求积和商的近似数、乘法分配律和除法性质在小数乘、除法中同样适用等知识。计算小数除法往往会出现商是循环小数的情况，在例题里简要介绍什么样的小数是循环小数以及求循环小数的近似值，把有关循环小数的其余知识都安排在“你知道吗”里，不是必须掌握的基础知识。教材中安排了许多实际问题，通过这些问题的解答，让学生了解小数计算在生活、生产中的应用，更好地理解常见的数量关系，发展解决问题的策略和思路，巩固学过的面积公式。全单元内容分成两部分编排，先教学小数乘法，再教学小数除法。在两部分里都是先安排计算法则的教学，再安排其他内容的教学。在编写上有以下特点。
第一，突出转化思想和推理活动。在教学新知识的时候，转化的价值经常表现在沟通新旧知识的联系，用已有的知识经验解决新的数学问题。教材引导学生把小数乘法转化成整数乘法，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，在获得新知识的同时体验转化策略。计算小数乘小数，把两个因数都看成整数，如果它们分别乘１０，积也发生了相应的变化。把整数乘整数的积回归到小数乘小数的积，要除以１００。这个过程是严密的推理过程，应用了乘法中积的变化规律和小数点位置移动的规律。同样，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，是应用商不变性质的推理活动。教材组织学生开展推理，由“扶”到“放”地安排推理活动，提高学生的推理能力。
第二，细致安排计算法则的教学。为了让学生主动建构小数乘、除法的计算法则，教材从实际出发，把法则的教学分两步进行：第一步，乘法和除法各先安排一道例题，通过转化和推理得出计算法则。第二步，再分别安排一道例题，解决使用法则的难点。教材把教学的重点和难点适度分离，有利于学生循序渐进地掌握法则。
巩固法则的练习有层次。先是法则关键内容的专项练习，再是应用法则独立计算，然后是改错练习。这样安排符合学习规律，满足学习的需要，能提高练习的效率。
第三，计算方式多样化。本单元以笔算为主，同时也适当安排口算、估算和用计算器计算。口算是掌握笔算方法后进行的，直接说出比较容易的小数乘、除法的得数，能进一步巩固处理小数点的方法和技巧。估算用于解决实际问题，在不要求精确结果的情况下使用，替代了笔算。计算器用于计算较繁的小数乘、除法和探索规律。计算方式多样化体现了解决问题策略的多样性与灵活性。
１． 点拨转化方向，组织推理过程，凸现法则的关键内容。
在小数乘整数时，学生初步有了两点体会： 可以像整数乘法那样乘；因数里有几位小数，积也有几位小数。这些初步的感受是学习小数乘小数的基础。例１中“把这两个小数都看成整数”又一次指出小数乘法可以先按整数乘法计算。“相乘后怎样得到原来的积”是教学的重点，教材里安排两次探究活动：第一次在例１，思考虚线框里三个箭头以及上面的“×１０”“÷１００”的意思，“扶”着学生经历推理过程；第二次在“试一试”，让学生在三个箭头上面的括号里填数，并写出左边竖式的积，独立进行推理。在两次探究以后，比较各题中两个因数与积的小数位数，发现“两个因数一共有几位小数，积就有几位小数”这一规律，在理解算理的基础上得出在积里点小数点的操作方法。小数乘法的计算法则通过归纳推理的方式总结，要求学生说说计算上面两题的体会，两个小卡通的交流就是学生总结的法则。法则里最关键的内容是怎样确定积的小数点的位置，教材里设计了三种练习：首先在“练一练”里进行专项练习；然后在第８９页第２题，选择学生往往出现的错误进行识别和纠正；最后是第１０２页第２题，把小数乘整数的计算与小数乘小数的计算融为一体，把旧知识纳入新的认知结构中。
例５教学除数是小数的除法，突出三点： 第一，在除数是小数这个新的计算情境和认知冲突中提出“除数是小数的除法怎样计算”这个问题，使学生想到已经学过的小数除以整数，找到转化的方向。学生已经掌握了商不变性质和移动小数点的知识，能够进行７．９８÷４．２变成７９．８÷４２的推理活动。第二，教学在竖式上完成转化的操作。先划去４．２的小数点，把它变成整数；再把７．９８的小数点向右移动一位，划去原来的小数点，点出移动后的小数点。转化后的除法由学生完成，要注意商的小数点必须与被除数里移动后的小数点对齐。在这一点上，学生可能有疑惑。第三，例题教学的最后一个环节是反思，让学生围绕“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法”这个问题充分讨论与交流，这是小数除法法则的关键内容。和小数乘法相似，小数除法也设计了三种练习：转化成除数是整数的专项练习，针对常见错误的改错练习，把除数是整数的除法与除数是小数的除法进行对比的练习。
综上所述，例１与例５在编写时仔细研究了学生已有的知识经验、思维水平以及学习新知识时的困难与需要。教学小数乘法和小数除法时，“转化”的点拨方法不同，推理的组织程度不同。既重视计算法则，又不机械地灌输和记忆法则。
２． 解决应用法则时的难点，提高计算的正确率。
计算小数乘法，在积里点小数点时，如果位数不够怎么办?把除数是小数的除法转化成除数是整数的乘法，如果被除数的小数位数比除数少怎么办?这些都是应用计算法则的难点问题，也是计算容易发生错误的地方。为此，教材安排例２和例６解决这些问题。
第七单元移动小数点的位置，学生已经知道： 如果位数不够，可以用“０”补足。只要把这些方法应用到例２和例６的情况中去，问题就解决了。
例２的教学线索是凸现矛盾、激活旧知，专项练习、新旧沟通。首先通过问题“要从积的右边起数出几位点上小数点”让学生发现７８４的位数不够，利用矛盾激活已有的经验。接着让学生完成竖式计算，在点小数点时体会“位数不够，要在前面用‘０’补足”。然后是“练一练”安排在积里点小数点的专项练习，掌握补“０”的要领。最后是第８９页第４题，在积里点小数点，有时位数够，有时位数不够；有些只添整数部分的“０”，有些小数部分也添“０”。出现各种情况，使新旧知识融会贯通。
例６的教学线索是演绎法则、示范方法，变式扩展、专项练习。先指向算式１．１÷０．５５提出问题：“除数要乘几?被除数呢?”使学生发现被除数是一位小数，比除数的小数位数少。然后示范了在被除数末尾先补“０”再移动小数点的方法，要求学生思考被除数末尾为什么可以补“０”，以及转化后小数点的位置，并把除法算完。“试一试”整数除以小数，是例题的变式。表面上似乎有点特殊，其实转化并不难。在去掉除数的小数点的同时，被除数３乘１０是３０。如果让学生说说例题和“试一试”中转化的体会，他们对一个数除以小数应该怎样计算就清楚了。练习十八第１题是转化的专项练习，包含了可能出现的各种情况，能帮助学生更好地掌握除数是小数的除法。
３． 选用不同的方法教学求积和商的近似值。
求积的近似数，一般先算出积，再根据精确度的要求用“四舍五入法”取近似数。在这些数学活动中，计算小数乘法以及用“四舍五入法”求近似数，都是学生已经掌握的知识。因此，求积的近似数不要教学新的数学内容。基于这些思考，例３在编写上有两个特点：一是３．１８×１．６的笔算已经完成，只要把积保留两位小数，避免教学精力过多用于笔算乘法，淡化求积的近似数这个主题；二是让学生在横式上填写结果，把求近似数留给学生进行。根据例题的编写特点，教学时要充分利用教材，应先让学生独立学习，再组织交流。交流的内容是求近似数时的思考，使学生正确应用“四舍五入法”。
练习十六第４题先估计平行四边形的面积，再计算并把得数保留一位小数。要让学生明白估计和求近似数不是一回事。估计的时候把底和高分别看成比较接近的整数，通过口算整数乘法进行的。求近似数一般先算出精确的积，再“四舍五入”。
求商的近似数，不要把除法算完，只要除到适当的时候就可以求近似数。况且许多除法的商是循环小数，不可能最终除尽。因此，教学求商的近似数有两个新内容：一是循环小数的知识，二是求商的近似数只要除到什么时候就可以“四舍五入”。这两个内容，前一个安排例题教学，后一个让学生在求商的近似数时体会。
教材中关于循环小数的知识，只是让学生联系除法计算，体会如果继续除下去，永远不会结束。原因是除的过程中“余数重复出现”，“商也重复出现”。告诉学生这样的商是循环小数，可以用“四舍五入法”取循环小数的近似数。上面这些内容都在例７里教学。至于循环小数的定义，安排在教材的底注里。循环小数的其他知识，编写在“你知道吗”里让学生阅读，不列入基本的教学要求。
“试一试”用计算器计算两道除法，把得数保留三位小数。这里用计算器算有两个原因：一是节省计算时间，不把精力耗费在笔算上，而是用于求商的近似数；二是计算器一般能显示１０位数字，在计算器上可以看到５０÷６０的商是０．８３３３……６４÷６０的商是１．０６６……它们都有重复出现的数字，都是循环小数。教学“试一试”还要注意一点，让学生说说怎样把得数保留三位小数，体会只要看小数部分第四位上的数，就能决定“四舍”还是“五入”。小数部分第五位以及后面各位上的数与求近似数无关。这些体会用于练习十九第２题，学生就知道只要除到商里有四位小数，就能保留三位小数，不必再除下去了。
有些实际问题如果用“四舍五入法”求近似值，答案会不合理。如例８中３００元钱买单价４５元的足球，尽管３００÷４５的商接近７，最多只能买６个。又如“试一试”中１２６人乘船过河，每次限乘１５人，虽然１２６÷１５=８．４，但至少要９次才能全部过河。类似这些问题，在前面几册教材里陆续出现过一些，由于学生在那时年龄小，缺乏生活经验，因此只是初步接触，完全理解这些问题还有困难。本单元让学生再次学习这些问题，效果会好得多。这部分教材没有教“进一法”“去尾法”等新的求近似数的方法，也没有出现这些方法的名称。只是让学生联系现实的事情，凭生活经验和理解能力，找到比较恰当的答案。教学时一定要注意这一点，以免加重不必要的负担。
４． 让学生发现整数乘法的运算律对小数乘法同样适用。
学生已经知道整数加法的运算律对小数加法同样适用，整数乘法的运算律对小数乘法是否适用?还需要验证。例４里有三组算式，先经过计算知道同组的两个算式得数相同，它们可以用等号连接。再观察各个等式，分别得出小数乘法也有交换律、结合律和分配律。即整数乘法的运算律对小数乘法同样适用。教材安排的学习活动，不但是形成数学知识的过程，还能培养严谨的认知态度。教学例４要注意两点：一是圆圈里的等号必须在计算之后，根据左右两式的得数相同，才能填写。绝不能未经计算就写等号。如果不计算就写等号，例４的教学就不是发现运算律同样适用，变成应用运算律改写算式了，这是认知程序上的逻辑错误。二是要让学生指着三个等式逐一说说各表示什么运算律，使运算律的内涵更加清楚。“试一试”和“练一练”都是应用乘法运算律进行简便运算，因为学生已经有简便运算的经验，教材不再编排例题。
除了乘法运算律，还有两个整数的计算知识也要应用到小数计算中来。一个是除法的性质，安排在第９７页第１０题，通过两组算式的计算和比较，发现整数除法的性质在小数除法中也同样适用。另一个是四则混合运算顺序，安排在第９７页第１１题，直接应用于小数四则混合运算。
５． 研究积与因数、商和被除数的大小关系，发展数感。
在学生掌握小数乘小数的计算法则以后，教材安排他们进一步研究积与因数的大小关系。第９２页第１０题里有三组乘法题，每组中的三个算式的第一个因数都相同，第二个因数分别是大于１的数、１和小于１的数。通过计算与比较，发现当第二个因数大于１时，积比第一个因数大；当第二个因数是１时，积等于第一个因数；当第二个因数小于１时，积比第一个因数小。这是三组题的共同规律，这个规律对学生的数感有两点作用：一是突破了原来的乘法观念。整数乘法的积总是大于因数（另一个因数是１除外）。在小数乘法里还会出现积比因数小的情况，它是由于另一个因数小于１所造成的。虽然一个数乘小于１的数的意义不是本单元的教学任务，至少学生知道了积可以小于因数，这已经是对原来观念的突破。二是可以用于估计和反思笔算的结果是否合理。第１１题在计算前先根据第二个因数的情况，说出积大于还是小于第一个因数，这是估计。尽管这样的估计与精确计算的误差相当大，但毕竟清楚了积的范围。一旦笔算的得数超出了这个范围，就能及时发现和改正错误。
教学除数是小数的除法以后，练习十八第７题发现规律： 如果除数大于１，商小于被除数；如果除数小于１，商大于被除数。这个规律对学生的数感也有积极的意义。
学生经过第１０３页第７题的学习，对上面的规律会有更多体会。如２．６×０．５和２．６÷２都等于１．３，都求得２．６的一半是多少；２．６÷０．５和２．６×２都等于５．２，都求得２．６的２倍是多少。这些都是学生通过题组的计算和比较，能够体会到的内容。教学时要注意，这些内容不需要教师告诉学生或把它讲得很清楚，只要求学生有所感受和联想。
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