“0归属于自然数后 如何解读数的整除”的资料

jsjfxx

“0归属于自然数后 如何解读数的整除”的资料

    “0走进自然数圈子后，我们该怎样引导学生解答与整除有关的数学问题？”“学生思考相关问题时，是否强调‘非0自然数’？”

    国内外数学界对于0是不是自然数？历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国初，我国由于受国外一些国家的影响，当时的中小学教材一直规定自然数不包括0。可是，目前一些发达国家都规定0也是自然数（最先由法国发起）。为了国际交流的方便，1993年《中华人民共和国国家标准》也随之规定自然数包括0。

    2002年1月，我国的大、中、小学数学教材在修订中，规定0也是自然数，看来这个规定并不是新教材给我们带来的“稀客”，而是未来与世界给我们提出的要求。因此，我们更多的是去适应，而不是一味地去争论。我们和大家一样，在今天数学的工作中都要密切关注社会与世界的变化，不然我们都会掉队的哟。笔者建议：在小学阶段“数的整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数及与约数相关的数学概念中都不包括0。教材上的某些题目中“非0自然数”的语句时有时无，可能属于改版中的不完善，老师们自己把握好就行了；练习册及其它资料上的表述争论更大，主要是这些东西可能没及时与教材配套发行，这就要求老师们自己头脑应清醒，不要动不动就“书上就是这么说的”来反对真理，我们当数学教师的，要看到书背面的“东东”。

    对学生的要求，知道自然数包括0，数学表述应完整。对标准语句要能进行判断，对于那些本来就模糊不清的表述，争论它本质上的对错没多大的意义。试想：一道本来对错均可的双关语，我们谁能“搞定”它的对错呢？所谓“真作假时假亦真，假作真时真亦假！”

解读一：为什么要把0划归自然数？

    一是社会的发展：为和国际接轨，与世界人类有更多的共同语言。

    二是0的功能：细想，生活中0本身有其重要的自然数属性，如气温上，0度结冰；刻度尺上，0是测量的起点；火箭发谢上，从10数到0点火；通讯电话，加0就通长途；古人打猎，空手而归，应记上0（记了0就表示人上过山，猎物没打到，责任在人；没记0，就可能是天下雨人没上山，责任在天，或者是记掉了，责任不明。）

    三是现实的必须：0在现实生活中用得更多，钱取完了电脑要打出0，手机计时到晚上12：00要显0，新购的水表、电表、气表要显0，计算器开机、关机都先归0、过马路红灯、绿灯从40显到0……因此，0归入自然数的“家庭”，不是创新，是人心。

[ 本帖最后由 jsjfxx 于 2009-5-14 09:07 编辑 ]

jsjfxx

解读二：最小的一位数是还是不是“1”？

       0是自然数后，那么最小的一位数还是不是“1”？在0没有归属自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，我们分析后，一致认为最小的一位数还是1。
其理由是：
    （1） 0表示一个物体也没有，在记数法中表示的是空位的一个符号，如3005就表示里面有3个千，5个一。“00”分别表示这个数的十位、百位都是空位，通常不说成0个百、0个十。
    （2）关于“几位数”数学中是这样定义的：只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，且左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”。有效数字：是指从左边一个不为0的数字起，到右边要精确保留的数字止，之间的所有数字。也就是说，0在最左边时，不是有效数字，只有0按要求依附在非0数字的右边时，才具“有效数字”的功能。因此，独立的0通常不看成是有效数字。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。
    （3）假设“独立的一个0是一位数”成立，那么两个连续的0就应看作两位数，这样最小的两位数就不是10，而是00，还有比10小的01、02、03……。那么最小的三位数、四位数呢？一个12档的算盘上，数位为空时，是表示0（最小的一位数），还是表示最小的12位数（12个0）？
    （4）《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。”他没像初中教材那样理性化，但已作了明确规定，建议数学教师在面对小学生时，也不能探究得太深，应该直接用讲授法较好。
    （5）再深入思考一下，我们会发现，计数单位是个、十、百……，在相应区域中最小的一个数应至少一个那样的单位。即：最小的三位数应是1个百（100），最小的两位数应是1个十（10），依此类推，最小的一位数应是1个一（1）（如搞成0个一，是没道理的。）
      因此，我们有充分的理由说：所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说的。所以，最大的一位数是9，最小的一位数是1，老师们有这种争论精神是好的，但如不讲求实效，一味地去只说不做，甚至给学生答复也“吞吞吐吐”，说什么“真假难断，还待研究”是不对的。更不能在当前去说最小的一数是“-9”，那样的话，最小的两位数就是“-99”了，那样会严重影响数学的教学习。
      有时，笔者认为，为什么以前，0不归属为自然数时，大家不争，当时也一样有争的必要嘛，难道当时就因为0不是自然数就没资格争夺“最小的一位数”吗？是不是错误地把“自然数”与“位数”等价了？嘿嘿！我们也正在思考。

[ 本帖最后由 jsjfxx 于 2009-5-14 08:59 编辑 ]

jsjfxx

解读三：自然数的计数单位还是“1”吗？
       大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。为研究方便，0可以看成是由0个1组成的自然数，这样规定也正是证明了0具有自然数的特性。


解读四：0是其它非零自然数的倍数吗？
       《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数、倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内研究才有实际的数学意义，因此讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的争论和麻烦。过去的一些说法可以纠正，例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，严格地说，这些自然数都应表述为非0自然数。

[ 本帖最后由 jsjfxx 于 2009-5-14 09:06 编辑 ]

jsjfxx

解读五：0是不是合数？
       过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数？
       前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。我们以为，0的约数有无数个，根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想：0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数。如：1是1的约数，2也是2的约数……，而0不能被0整除，0恰恰少了0“本身”这个约数，因此，它不能归为合数。试想：假设如果0是合数，0分解质因数就是“0=0×2”，这种是质因数相乘的形式吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我们主张把0划归为“既不质数，也不是合数”的范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。


解读六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？
       0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于互质数的定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”笔者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1”，因此，0和1是互质数。所以，“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。当然，这句话给最简分数也带了新问题，大家可自行研究。

jsjfxx

解读七：任何自然数a至少有a和1两个约数吗？
       我们的回答是：错。因为1只有一个约数1。0的约数不可能是0，按约数的定义，应是除0、1以外的所有自然数。所以这句话不管是0非0表述得都不正确。


解读八． 两个数的积一定是这两个数的公倍数吗？
       Yes.  因为小学研究倍数是,都是在非0条件下进行。当然,如考虑0就不正确。因为按倍数定义，0不是0的倍数（0不可能被0整除），0只是所有非0自然数的倍数，因此，建议教师命题时，要将0除外。


解读九、所有偶数的最大公约数是2吗？
       Yes.  因为所有非0自然数都是0的约数，能被2整除的数肯定都有约数2，0的约数也有2。


解读十、 1与任何自然数互质吗？
       Yes. 因为，1和2及以上的自然数都互质，这是肯定的，再看1和1：它们的最大公约数只有1，所以互质；再看1和0：所有非0自然数都是0的约数，所以1也是0的约数，那就是1和0的公约数，并只有1，因此1和0也互质。


解读十一、两个质数，是互质数吗？
       No. 因为，除1以外，两个相同的质数不是互质数。如5和5就不是质数。它们除1以外，还有公约数5。

[ 本帖最后由 jsjfxx 于 2009-5-14 09:06 编辑 ]

jsjfxx

供学习参考

不俏也争春

xiexie

果然然

很有学习价值了,谢谢!