王凌教学专辑

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[片断三]聚焦“发展”，挖掘错误的隐含价值。

师：（整万数）写的时候，先写什么？

生：都先写那个几。

师：哦，几万就先写几。再写？

生：四个0。

师：（计数器上拨出十一万）会写吗？怎么写？

（学生自己写一写，集体校对，一生错。）

师：孩子，到这儿来。（招呼孩子到黑板前，仔细观察孩子在草稿本上所写的数。）

师：看看计数器吧，自己看。

（全班无声，教师静静的陪着学生一起看。学生自己指着计数器数出个级的四位：个、十、百、千）

生：是4个0，我少看了一个数位。

师：了不起。（抚摸孩子的头），会写了？怎么写？

生：先写11，再写四个0。

师：为什么写四个0？

生：个、十、百、千位上都是4。

师：谢谢！

（学生高兴的回座位了。）

……

师：看来，要想写对整万数，还要有一个检查的方法，怎么检查？

生：末尾都是四个0。

师：这四个0我们可以和前面分开。（板书分级线。）

师：用这样的方法，写一个，查一个。（计数器上拨出一百九十五万。）会写吗？

（学生写，集体校对，一生错。）

师：你愿意上来给大家再写写吗？（学生依然写：100950000）

师：整万数怎么写呀？先写……

生：一百九十五。

师：再写……

生：四个0。（学生紧张，依然写：100950000）

师：噢！那这样的话，42不就要写成402呢吗？（学生有感受，点头。）

师：一百九十五万，最高位是哪一位？

生：百万位！是七位数。

师：对呀！你的感觉很准确，我们也可以用这种方法来检查，看看位数对不对，是吗？

……（经过大约半分钟的分析帮助，学生渐渐明白。课后经过了解，这是一个智力有缺陷的孩子。）

[评析]教学是为了什么？为了人。人的发展是教学追求的终极目标与核心，致力于人的发展的教育才是真正的教育。教师应努力解读学生，准确把握学生的学习起点，深入了解学生的思维活动，积极捕捉学生的各种想法，有时还要凭借“教学敏感”帮助学生把“口欲言而不能”的内容表达出来。虽然在课堂上有些孩子不能准确把握某些知识点，产生了一些错误，但王老师通过“呵护”与“等待”，迎来了正确的写法接纳——以健康积极的心态接纳不同的观点，接纳自己的错误。从建构主义的立场出发，学生在学习过程中发展起来的各种观念，都是他们依据所具有的知识和经验主动建构的产物。即使是“错误观念”，也很可能是由于不同的认识方式所造成的。从学生的角度来看，其具有一定的合理性，它构成了与科学家的观念（即所谓的“标准观念”）相平行的另一类“替代观念”。接纳错误，要善于用“慧眼”与“机智”辨识、发掘隐藏在错误之中的“真金”。

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[片断四]重视“情商”，关注学生的人格成长。

师：（课件出示图片：大约在60000000年前，恐龙就灭绝了，原因到现在还是个谜。）

学生自己读。

师：（课件出示图片：全世界可确认的昆虫大约有七十万种。）七十万？要写吗？

学生纷纷表示不需要。

师：说一说怎么写就行！

生：先写70，再写四个0。

师：从这个信息中读出什么？

生：地球上的昆虫很多。

师：光是昆虫就有七十多万，还不算其他的物种，我们地球上的物种真是非常丰富。但是丰富的资源也需要加以保护，要不然……（课件出示图片：根据联合国教科文组织统计，每年约有60000个物种灭绝。）

学生读一读。

师：有什么感受？

生1：人类对于自然的破坏太严重了。

生2：我们应该要保护自然。

……

师：破坏自然也给人类带来了危害，（课件出示图片：大气污染导致每年约有300000-700000人因烟尘污染而提前死亡，25000000儿童患上慢性咽炎。）

一个学生读一读。

师：十万我们已经觉得很大了，这些就更不用说了。这些数据说明了什么？

生3：说明人多。

生4：说明每年污染都造成很多人死亡，很多儿童患病。

……

[评析] 在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。人们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。但是数学是门大众文化，从古希腊数学发展至今，其中有着它自己深深的文化渊源。数学教学就是要挖掘蕴藏在数学之中的丰富的文化资源，实现科学价值与人文价值的和谐，完善学生的人格，促进“情商”的发展，从而实现每一个学生的可持续发展。王老师在课接近尾声时引导学生就相关的四条信息谈谈自己的看法。学生充分调用自己的数学、地理、社会知识，各抒己见。教师在不经意间升腾起学生对自然的热爱，更激起学生对地球资源的珍视。一种关注地球未来命运的崇高精神随着数的认识得以滋养和生发，这也许正是人文化数学课程的独特魅力。

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王 凌 培养“社会适应力”：从教学走向教育

本刊记者(以下简称“记”)：您是怎样想到培养学生“社会适应力”这一问题的?

王 凌(以下简称“王”)：大部分小学数学教师是站在学科的角度去认识教学并以此为信念开展教学的。近四年来，我每年都为南京市小学数学骨干教师班授课。通过对超过400名小学数学骨干教师的调查发现：他们深信对小学数学教学而言，“双基”是最重要的，然后是数学思想、方法。显然，这是远远不够的，因为我们不是为培养数学家而教数学，而是为学生未来的社会生活教数学。盖伊·莱弗朗索瓦兹在《教学的艺术》中谈到：“为了成为有效的或者模范的教师，……首先，你必须确定教学过程的长期目标和短期目标。……你计划和期望的具体学习结果是什么?这些结果与这一学科的广义目标有什么关系?与这一年级的关系是什么?与这一学校的关系是什么?与这个城市和国 家的关系是什么?这些目标如何与你的价值观和信念相匹配?它们是如何重要?”[1]

作为一名处于日益全球化时代的教师，你必须要考虑的首要问题是：你应该教什么?或者说，什么是教育的重要目标?“教育目标可以是非常普遍的(如成为好公民)，也可以是非常具体的(如教会孩子两位数加法)。……我们认为，在最广阔的范围内看教育的目标会更有价值；以这个观点来看，教育的主要目的是使学生更有能力。”[1]所以，仅从 知识传授的角度来认识教学显然是不够的，教育的主要目的是使学生更有能力。

中央电视台做过一期《对话》节目，节目的参加者是中美两国一些即将进入大学的高中生。其中，美国的12名高中生都是“美国总统奖”的获得者，国内的高中生也是被北大、清华等著名大学录取的优秀学生。节目中有一个环节，要求学生们制订对非洲贫困儿童的援助计划。中国的高中生从中国悠久的历史入手，从追溯丝绸之路、郑和下西洋，到吟咏茶马古道，辅以弹古筝、弹钢琴、吹箫，之后又有深情朗诵和大合唱。最后，对非洲的援助计划只是轻描淡写地一笔带过，只说组织游客去非洲旅游，组织募捐，还去非洲建希望小学。这时，现场有一位留美的华裔作家发问：“你们募捐，要我掏钱出来，首先你的整个计划得打动我。我还要知道我的钱都花在了什么地方，我捐出的每分钱是不是都真正发挥作用了?”我们的学生被这样的问题问得面面相觑。而美国高中生的方案，则是从非洲目前的实际情况，从非洲社会生活的方方面面，包括食物、教育、饮用水、艾滋病、避孕等一些看起来很细小的实际问题入手，每一项做什么，准备怎么做，甚至具体到每一项的预算，而那些预算竟然准确到几元几分。每个人分工明确，又融合成一个整体，整个计划拿来就可以进入实施阶段。[2]

这似乎可以从一个侧面反映出我们的学校教育严重脱离实际，脱离社会。我们只顾及在一个封闭的学科环境中传授知识，忽略在应用中学习，在应用中理解，在应用中感受学科价值。站在教育的角度认识教学，就能明白教学理所当然要为学生的发展服务。更明确些，我以为，要为培养学生的“社会适应力”服务。

记：培养学生的“社会适应力”实际上就是为学生将来的生活奠基。小学数学教学可以为培养学生的“社会适应力”提供哪些养分?

王：结合目前教学的实际情况，我觉得培养学生的“社会适应力”需要关注以下几个方面的问题：一是交流能力，二是解决问题的思维方式，三是基本的数学素养，四是责任感、克服困难的毅力等心理品质。

记：为什么首先提交流能力?

王：我国著名的泌尿外科专家、博士生导师孙则禹教授曾对我说，目前国际著名猎头公司对于人才的标准首先要看的就是你的交流能力。你能否清晰、准确地表述自己的想法，更进一步，你的表述是否具有感染力，你是否愿意积极主动地与他人交流，并能争取到不同意见者对你的理解甚至支持。可以说，交流能力的强弱极大程度上影响你是否能争取到更多的机会，是否能成就你的事业，是否有机会实现你的理想。数学教学是以数学知识的学习为载体，由教师、学生和数学教学内容组成的多向的社会性活动。而社会性活动的特质就表明了跨越界限和超越阶级。这种交流并非是单向的表述，而应是在不同的观念冲突中实现的，“学习的经验不仅是主体与环境的交互作用，而且是同客体对话、同他人对话、同自身对话的沟通的重叠性交互作用的经验”。[3]

我们的教学预设需要围绕教学目标准备更多宽松的、开放的问题，让学生有更多的参与思考、发表意见、参加争论的机会，教师也能更合理地理解课堂中的意外事件。随着师生对问题研讨的深入，学生对知识的理解越来越清晰。这种以学生活动为主体的教学，是在教师、学生、教学内容的相互作用中得以落实的，教师要从教育的角度形成自身的教学信念，同时也要以一定的深度去认识数学学科，这样才能较好地把握教学主线。谈到对学科的认识，必须强调这里的交流是有数学学科特点的交流，也即应用数学语言的能力，而不是异化为打着“交流”幌子的随意闲谈。2000年颁布的《美国学校数学教育的原则和标准》对数学交流给予了特别的关注。强调“通过交流组织和巩固他们的数学思维”，使之能“清楚连贯地与同伴、教师或其他人交流他们的数学思维”，“分析和评价他人的数学思维和策略”，“用数学语言精确地表达数学观点”。[4]另外还必须关注数学交流并非是纯口头的。教师应当尽可能地创设相互信任、相互尊重的交流氛围，在进行教学设计时，应当尽量地思考关于教学内容的不同方法的表征，这对创造好的交流话题是非常重要的。当学生进行交流时，教师要善于倾听，但更重要的是抓住学生话题中的重点，并进一步通过问题将之提炼出来，使学生厘清思路，明确思想，去芜存精。这是目前很多教师需要关注的问题。

记：解决问题的思维方式对于培养学生的“社会适应力”有哪些积极的意义?

王：郑毓信教授谈到，数学学习的过程是一个发现问题、提出关于解决问题的猜测、尝试解决、验证与修正、形成算法、推广应用的过程；数学学习的过程也是一个学生实现“再创造”与“数学化”的过程，其中包含了丰富的数学实践，与学生今后在生活、工作中解决问题的过程具有高度的相似性。无论从事何种行业，都可以为解决不同的问题提供一个思维的模式。著名作家王蒙先生认为：“回想童年时代花的时间一大部分用在做数学题上，这些数学知识此后直接用到的很少，但是数学的学习对于我的思维的训练却是极其有益的。”[5]鲁迅研究专家朱正先生说：“我在学术研究方面所做的工作，凭仗的也就是当年数学‘体操’所训练出来的思维能力。”[6]两位学者说出了大家的一个共识：即使一个人“从事的几乎是同数学没有什么关系的职业，原来学的代数几何三角中的定理定律几乎全忘记了”，[6]然而数学对思维的训练还是有用的。

因此，数学教学是可以对人们解决问题的方式产生积极影响的。在教学中，我们可以将这种充满“数学味”的解决问题的方式在学生面前展现得更明确些。目前，教学中重点展现给学生看的往往是知识物化后的结果，而知识是如何来的，为什么要学，对学生来说，更像变魔术似地从帽子里掏出个兔子来。所以，在教学中应该更加关注：怎么会从帽子里掏出个兔子来(问题)?再通过观察，甚至让学生自己试着在帽子里掏掏，看是否会掏出兔子(探究)，也可以重放慢镜头让学生看看怎样才能掏出兔子(接受)。所以，无论你采用何种教学法，重要的是让学生通过数学学会思维。

我们以美国Houghton Mifflin公司四年级数学教材第五单元(几何)第16课问题解决为例，看看美国同行在展现解决问题的方法上是如何做的。教材例题以拍摄的旋风照片为情境图，题目是：旋风是一种非常强大的风暴，它能以每小时300英里的速度旋转，“风暴预测者”是预测风暴可能发生的科学家们。他们根据预测提醒人们在有危险的风

暴来临之前，寻找藏身之处。假定你是预测风暴的成员之一，请研究下面的地图以及指南针的指向，如果旋风每小时向北行进60英里，一小时后旋风中心可能在哪里?

在方格图中每格的边长表示10英里，给出了大约占满7个方格的“蓝色山脉”和大约占满5个方格的“猎鹰保护森林”，旋风处于图中(1，1)的位置。

在教材的左边给出了解题步骤和已经学过的解决问题的策略。解题步骤：理解问题—你解题的计划是什么一试一试一检验你的结果。在下面学过的策略中选择可能帮助你解决问题的策略：猜测并检验；画图；列表；制表；算出来；解道类似的较简单的问题；逆推。要求学生解决三个问题：

1．你如何命名地图上的点?

2．需要在哪两个点之间画一条直线?

3．解释能帮助你解决问题的策略，然后解决问题。

该例题的编排给我们的启示是：在教学中不仅要帮助学生解决问题，求得结果，更重要的是让学生了解我们是用什么方法来解决问题的。教师如果能经常性地组织学生对解决问题的过程与策略进行反思，必然“能够促进学生对自己原有知识基础和学习背景进行不断地检验和发展”[7]。布鲁纳声称：教育过程很大程度上包括一种能力，即通过

反思自己的思想从而以某种方式将自身与自己所知道的区分开来。[8]

记：目前，人们对于数学素养的认识不尽相同。您怎么看基本的数学素养?

王：我以为，小学生基本的数学素养包括创新意识、用数学的意识、感受数学中的科学精神和人文精神等几个方面。

小学生的数学创造当然不等同于数学家，但正如前苏联心理学家克鲁捷茨基说：“我们研究的一些有天赋的学生，他们确实会自己‘发现’中小学代数和几何课程中的某些部分。他们正在发现着人们久已熟知的东西。他们创造的产物并无客观价值，但就学生自己的主观方面来说，无疑是对某种新东西的发现、发明和独创的成就，在某种意义上

说，这种活动十分肯定地是数学创造能力的一部分。”这就意味着如果教师能意识到给学生创造的机会，就可能在数学教学中给予学生更多的独立思考的时空，这样的教法对培养学生独立性的重要性毋庸置疑。

进入课程改革以来，广大教师已经意识到培养学生探究能力是非常重要的，但在操作层面仍然存在一个误区：我们的探究目的是寻得问题的结果，而非探究能力本身。回顾诸多课例，教师通常引出一个问题之后，请学生探究，偏重于探求问题的答案，注重结果，强调应用；并且往往探究的时间过短。更值得担忧的是，我们有时似乎在引导学生用并不科学的方法从事科学探究。让学生探究的目的是为了验证答案，因为在探究前你已经知道了结果。例如有课例表明，教师引导学生通过测量的方法探究圆周率的值，如果学生的结果离3．14很接近，学生会认为是对的；如果计算结果不接近3．14，学生会认为自己探究的不对，而不是怀疑现有结论。教师往往也会在其中起推波助澜的作用，对有的学生点头赞许，对有的学生提出质疑，而不是引导学生比较探究方法是否合理、操作过程是否准确、计算过程是否正确等。如此，带给学生的信念是：如果你的探究结果与现有答案不一致，那说明你的探究不对。

用数学当然离不开基本的数学知识和技能，应该说数学知识和技能是理解数学、应用数学的重要基础，但是数学教学如果只囿于知识的传授和技能的训练，完全为应试而教，必然会与数学教育的目标南辕北辙。牢固的“双基”为数学的应用提供了可能，但这也仅仅是一种能力储备而已，没有应用数学的意识，所学的数学也只是一堆死物而已。武汉大学路见可教授举过一例：常常看到报载某地某种农作物年产量超历史最高水平，这当然是件好事。但若不与该地的人口关联起来考虑，意义就不大，因为人口数量年年在超历史最高水平。必须是产量的增长率超过人口的增长率才是我们所期望的增长。[9]

用数学的意识怎样才能形成?这必须通过数学在生活、生产、科学研究等不同层面的实际应用来感受。教材中有很多关于数学应用的鲜活材料，比如数字与信息、确定位置、统计与可能性、图形的测量等。教师必须将数学知识的学习与数学知识的实际应用建立联系，更广泛地收集数学应用的材料，并充实到教学过程中，让学生浸润在数学应用的环境中，让用数学成为习惯，从而逐步形成“数学的眼光”。事实上，几乎每个人都会说数学是有用的，问题在于对数学作用所理解的深度。[9]从这个角度说，在教学中关注“用数学”还可以让学生更清楚地认识到数学的价值。


教育的力量在于发生“精神的作用”，教育的功能在于促进精神的引领。我们应当通过数学教育，让学生感受数学的科学精神和人文精神，培养对真、善、美的追求。如“培养正确的学习方法和态度、良好学风和品德修养，也包括从数学欣赏带来的学习愉悦以致对知识的尊重”[10]。所以，数学教学还必须从数学知识的社会属性关注数学知识，这样才有利于实现从数学教学到数学教育的视角的转变。按我的理解，数学知识的“社会属性”应当是指社会对数学教育的要求，换个角度来说，作为数学教学材料的数学知识(课程)，不仅要关注其学科特点，更要深入思考其根本目标。如果认为数学教学就是让学生掌握数学知识，那么我们就会理解并认可学生反复练习这种行为。如果能够时刻想到数学教育对于培养一个活生生的“人”所应该有的贡献，那么，我们就会摒弃冷冰冰的机械练习。进而，我们选择的教学方式、挖掘的教学材料(包括数学史料等)、安排的学生活动都会兼顾学科知识的 传授、学力的培养、价值观的引导、高尚情操的熏 陶；我们就会在数学教学中贯穿着那种充满生命活力的数学活动，让学生领略数学的趣味、奇妙、严谨、秩序、辩证，感受数学的魅力和在数学发展过程中人们对真理、对科学孜孜以求的精神，形成对待事物的严谨负责的态度，如果能在活动中培养公平、利他的精神就更为理想了。

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记：摆脱学科本位，立足育人的高度从事学科教学也许是素质教育得以真正实施的唯一大道。否则教师必然会在缺失社会责任感的背景下，从事着与教育貌合神离的辛苦工作。您刚才提到，数学的科学精神和人文精神对于学生成长的价值。那么，数学对于责任感、克服困难的毅力等心理品质的培养意义何在?

王：一个人在与数学打交道时，绝不只是一个认知过程，还有心理学所十分强调的意志与情感。认知过程是伴随着意志过程的，反之也是事实。[10]教师要重视学生非智力因素的培养，在教学过程中应当尽可能地让学生经历意志的磨练、责任感的培养。教师要使自己所提的数学问题处于学生的最近发展区，同时有一定的思考空间，让学生在解决问题的过程中去尝试、去验证、去调整、去经历挫折。数学是关于模式的科学，为发现数学现象中内隐的数学模式，需要从大量的数据中去观察、比较、分析、归纳，这些数据需要学生根据题目学会按照原型进行举例，举出的数据为便于观察需要有条理的排列，得出的结论需要代人同样数学结构的问题中进行验证，这正是责任感的培养。正是责任感的缺失，以至于学生在得到“种了45．6棵树”、“全班有45 2/5人”，都完全没有意识到结果的错误。学生习惯了解题，但是不习惯对解题结果进行验证。学生要学会对自己得出的结论负责。有些教师提出“快乐学数学”“轻松学数学”，但要注意不要把数学学习异化为单纯地增加趣味性或是流于表面热闹的活动。学习数学的快乐建立在对问题的思考和克服困难的过程中，是一种对思维劳动成果的积极情感体验。学习的创新、知识的应用、数学美的欣赏也是提高学生的学习动机和兴趣的重要途径，坚持培养学生独立思考和批判反思的能力，可以使学生欣赏到数学的文化魅力。

记：培养学生的“社会适应力”，在教学中还应该注意哪些问题?

王：首先，教师需要自觉地提高对数学教育哲学的认识。法国数学家汤姆认为“所有的数学教学法都建立在一定的数学哲学之上”，数学教师需要经常地思考关于数学教育的一些本源性问题：数学是什么?数学教学活动是什么?我们教什么?什么对于儿童来说才是最重要的?……并且还必须站在社会发展的角度对上述问题进行思考。这些问题的思考尽管无法得到一个最终答案，但是可以促使我们的思想走得更远，可以逐步形成自己的教学思想，可以让我们的教学不再是无灵魂的重复行为，而是充满活力、不断进取的生命进程。

其次，教学观念要从重视“双基”向重视“四基”转变。数学“四基”是指数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验[11]。关于数学基础知识、基本技能、基本思想教师们在长期的教学实践中已达成共识，因此必须更加关注数学基本活动经验。数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。感性知识是指具有学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严格的数学知识；情绪体验是指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习活动中获得的成功体验、对数学严谨性与数学结果确定性的感受以及对数学美的感受与欣赏等；应用意识包括“数学有用”的信念、应用数学知识的信心、从数学的角度提出问题与思考问题的意识以及拓展数学知识应用领域的创新意识，而且应用意识是数学基本活动经验的核心成分。基于对数学基本活动的认识，我们认为可以把演绎活动经验和归纳活动经验称之为数学基本活动经验。[12]我国的教学传统更偏重于演绎活动经验，例如“讲练

结合”、“精讲多练”等主要是围绕“演绎活动”开展的，对于形成演绎活动经验是有利的，但是长期以来对于归纳活动经验相应重视不够甚至忽略。庞加莱认为，仅仅依靠逻辑原则，数学毫无获取新真理的可能。欧拉也早就指出过，数学这门学科，也需要观察，还需要实验和归纳。高斯亦曾明确指出，他的很多定理都是靠经验归纳和类比联想发现

的，而基于逻辑推演之证明只是补行手续而已。[9]某种意义上讲，“儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识”!所以教师应重点关注引导学生参与到观察、实验、类比、联想、归纳、想象等数学活动中。

在活动过程中，要重视学生的参与程度，在数学活动中逐步认识学科价值。纽曼通过研究发现学生参与包括了心理投入，而且这是实质之所在。 学生存在两种参与：程序性参与和实质参与。程序性参与是指单纯的行为参与，后者包括了合理的心理投入，并且认为只有实质的参与和学生高层次的思维发展有关。[13]学生参与涉及了对知识的学习、理解和掌握。教学内容的心理投入，并非指完成指定作业或取得较高成绩。学生可以完成作业或表现良好，但并不一定投入其中。大量的研究表明，学生往往投入大量精力于一些细节或程序，并没有发展真正的理解。[13]综上所述，在组织学生获取基本数学活动经验的过程中，要“说明这些学习内容是哪里需要，从哪里来的?”“它们和哪些问题有关?能解决什么问题?”“应尽可能地讲‘来龙去脉’，不能让学生感觉数学不过是一大套推理、计算和解题的思维游戏和技能而已。”[9]数学问题应加强与生活的联系，能吸引学生的兴趣，产生解决问题的心理指向。问题应具有适度的开放性，更重要的是教师的教学思想要有一定的开放性。问题解决的过程应有利于学生经历列举、实验、观察、分类、比较、归纳等数学活动，逐步建立归纳活动经验。

在强调学生探究的同时，必须同时强化验算的意识。这里的验算并非计算后用重算一遍的方法检验计算结果，是指学生在探究出结果后，将结果代入原题中看结果是否符合题意的检验。更重要的是，要引导学生不仅探究结果，更要思考得到结果的算法，更好的检验是利用得到的算法去解决类似问题，并将所得的结果再次代人原题进行检验。 教学中的检验唯有当探究出某种算法但又未得证实之时，才有意味。换句话说，检验应该在探究算法之时发挥更大的作用，而不是目前以重复计算为形式的缺少思维的机械行为。

数学活动并不囿于课堂之中，相反地，随着年级的增加，应该不断地、逐步地在现实社会中应用数学，可以适当地在教师指导下开展一些小课题研究。如六年级学习统计后，教师请学生利用统计知识完成一项感兴趣的小课题研究。有四位学生想研究奶酪在自然情况下会有什么变化。于是他们用奶酪做成花朵的形状，放在花盆中，每天记录日照时间、温度等自然情况以及奶酪的变化，最后写成研究报告。在这个过程中，教师关心的是：“你们如何进行记录?”“你们为什么选用折线统计图进行记录?”“你们认为奶酪的变化与什么有关?”“你们如何通过统计的数据说明自己的研究成果?”这样的研究犹如一次利用数学知识进行的科学研究，其研究方法、解决问题的思路具有较强的可迁移性，在这个过程中，学生的元认知能力在提高，科学探究意识在加强。正如在游泳中学游泳一样，学生应当在应用中不断加深对数学的理解。

应结合数学的学习过程加强学生的应用意识，既可以通过在学生的现实生活中对数学知识进行简单的应用，也可以通过相关资料让学生了解数学知识在更广范围内的应用，拓展视野。在强调数学与社会联系的同时，关注在数学的应用中凸显数学本质的特点。避免一谈到数学便想到菜场买菜用到的计算，购买商品时如何打折便宜等对数学应用的肤浅认识。应该彰显数学的模式特点，从数学学习的角度，数学活动体现为数学化的过程，可分为先后两个层次：水平数学化，指把情景问题转化为数学问题的过程；垂直数学化，指建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程。[14]从这个角度说，意味着教学中要努力实现对具体教学情境的超越。

参考文献：

[1]盖伊•莱弗朗索瓦兹．教学的艺术[M].佐斌等译.北京：华夏出版社，2004．

[2]吕赞．只教给学生知识就够了吗?[N].中国教育报，2007--05—18(5)．

[3]佐藤学．学习的快乐——走向对话[M].钟启泉译．上海：复旦大学出版社，2007．

[4]全美数学教师理事会。美国学校数学教育的原则和标准[S]．蔡金法等译．北京：人民教育出版社，2004．

[5]王蒙．我的人生哲学[M]．北京：人民文学出版社，2000．

[6]朱正．字纸篓[M]广州：广东人民出版社，2000．

[7]胡典顺，何晓娜，赵军．数学教学走向对话[J]．数学教育学报，2008，17(3)：11—13．

[8]多尔．后现代课程观[M].王红宇译．北京：教育科学出版社，2004．

[9]严士健．面向21世纪的中国数学教育[C].南京：江苏教育出版社，1994．

[10]萧文强．数学史和数学教育——个人的经验和看法[J].数学传播，1992，16(3)：23--29．

[11]巩子坤等．2006～2007数学教育高级研讨班纪要[J]．数学教育学报，2007，16(3)：99—102．

[12]王新民等．数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考[J].数学教育学报，2008，17(3)：17—20。

[13]孔企平．数学教学过程中的学生参与[M].上海：华东师范大学出版社，2003．

[14]孙晓天．数学课程发展的国际视野[M].北京：高等教育出版社，2003．

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王凌 “认识整万数”课堂教学实录

一、课前谈话。

师：最小的时间单位是什么？

生：秒。

师：既然秒是时间单位，为什么还要有分、时、天、星期、年呢？

生：因为有的时间太长了，用秒就太大了。

师：同样，丈量学校的面积，用平方厘米合适吗？

生：不合适。

师：计数也有计数单位，什么是计数？

师：简单的说，计数就是数数字。

6、 出示：人类祖先，抓到一只羊，用一个小石子表示；这个人类祖先抓到的羊很多（学生笑），怎么办呢？出示：一些大石子和一些小石子。

师：猜一猜，大的就表示什么？

生：一个十。

师：这就是一个计数单位。

师： 如果十不够怎么办？

生：用百表示。

师：百不够的呢？

生：用千。

师：个、十、百、千就是计数单位。

板书：个、十、百、千

出示：四个小石子和两个大石子。（小石子在前，大石子在后），这是多少？

生：17、 24。

师：为什么不是42？

生：一个大石子表示一个十，两个就是二十，四个小石子就是四，合起来就是24。

师： 对，数位的顺序不能颠倒。个所在的数位就是个位，十所在的数位呢？百？千？

对应计数单位板书：个位，十位，千位，万位。

师：我们知道个、十、百、千都是计数单位，个位、十位、百位、千位都是数位。

……

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王凌 “小数除法”教学设计

教学内容：苏教版九年义务教育六年制小学数学教科书第九册P36例1，除数是整数的小数除法。
教学目标：
1、 通过自主探究、合作交流，理解小数除以整数的计算方法。
2、 能正确地进行小数除以整数的计算,并能解决简单的实际问题。
3、 通过学习活动，培养积极的学习态度，树立学好数学的信心。
教学过程：

一、引入课题。
1、 同学们，在买东西时顾客经常讨价还价，下面讲一个关于还价的真实的事情：
商贩在卖苹果，一个人问：“老板，多少钱一斤？”
“一块五一斤”
“太贵了，这样吧，5块钱３斤卖不卖？”
听到这里，你有什么想法？
类似这样的购物问题，既可以用小数乘法解决问题，也可以用小数除法解决问题，这节课我们就来学习小数除法。

二、教学例题。
1、创设情境。
请看生活中的一个镜头：
一位女士说：“我买4盒牛奶。”
营业员说：“一共6.8元。”
师：看了刚才的镜头，你了解了哪些信息？王老师只有2元，买一瓶牛奶够吗？
引导理解6.8÷4就是用总价除以数量求单价的方法。
2、估算单价。
你是怎么算出是1元多一些的呢？
用这样的方法可以估算每盒牛奶的单价。
这两个问题，你能估算出它的结果吗？
买3块月饼共用8.7元，平均每块月饼几元多一些？
买5条同样的牙膏共用52.5元，每条牙膏几元多一些？
3、独立探索。
看来2元是够的，还要找钱，要知道找多少钱，必须先算出什么？
你能自己想办法算出6.8÷4的商吗？学生试算。
可能会有以下几种情况：
（1） 把6.8元改写成68角去计算，用68÷4，结果是17角，就是1.7元。
（2） 把6.8看成68去计算，被除数扩大10倍，再把商17缩小10倍。应用了商的变化规律。
（3）
（4）
教师重点引导学生比较第3种情况和第4种情况，让学生体会小数除以整数可以按照整数除法的计算法则去除。
4、验算结果。
结果都是1.7元，确信吗？
引导学生利用单价乘数量等于总价进行验算。
5、理解算理。
你能利用计数单位帮助你思考、计算5.847÷3吗？竖式计算5.847÷3。
学生可能会有以下情况：
（1） 对第1种情况，请同学利用计数单位讲解小数除以整数的算理。
（2） 对第2种情况，指出竖式中的错误，并对两种竖式进行比较。
（3） 现在你认为哪种方法好？说一说你的想法。

三、课堂练习。
1、巩固练习。
（1） 计算下列各题。
9.42÷6　　94.2÷6　　87.64÷7　　876.4÷7
（2） 改错（竖式略）。
94.2÷3　　　　　3.34÷2
（3） 根据5823÷3＝1941，口算下列各题。
58.23÷3＝　　　　5.823÷3＝　　　　　582.3÷3＝
2、解决问题。
（1） 在2004年的雅典奥运会上，我国射击运动员杜丽最后5枪打出52.5环的成绩勇夺该项目的奥运金牌，平均每枪打多少环？
（2） 两种规格的牙膏的售价情况如下：如果买3支小牙膏，售价是8.7元，如果买4支小牙膏，售价是10.8元。购买哪种牙膏比较合算？
小数除法实录
王凌
同学们，有没有买过东西呢。那在买东西时顾客经常讨价还价，下面讲一个关于还价的真实的事情：
商贩在卖苹果，一个人问：老板，多少钱一斤？
一块五一斤
太贵了，这样吧。5块钱3斤卖不卖？
听到这里，你有什么想法？
小贩想都没有想，说不卖。
师：大家有没有听出什么好笑的地？
生：没有
师：大家再听一遍了。
生得出，3斤只有4。5元。
类似这样的购物问题，既可以用小数乘法解决问题，也可以用小数除法解决问题，这节课我们就来学习小数除法。
揭示课题。
师：像刚才这类购物情况下，其实在我们生活中很多很多，请看这里面的情境。根据图中的对话，你了解了那些信息呢？
生：我可以算出四盒牛奶一共多少钱。
师：怎么算。
师：我有2元，有没有买一盒牛奶呢？
生：能，6。8除以4。
师：我们可以先估算一下吗？
生：1元多。
师：你是怎么估算的？
生：因为6除以4，应该商是1元多。
出示：买3块月饼8。7元，平均每块月饼几元多一些？
买5条同样的牙膏共用52。5元，每条牙膏几元多一些？
学生说如何估算
师：刚才我们的知道2元可以买一盒的呢？但还要找钱的，要知道找多少钱，必须先算出什么？
师：那6。8/4是小数除法，你学过吗？：
生：没有/
师：那你能自己想办法算出6。8/4的商吗？
学生试做，
让做好的两位同学上台板演。
出现在余数有加点的，有没有加点的。
比较这种算式有没有不一样。
生：一个有点，一个没有点。
师：2。8表示多少？
生：6除以4余下的。应该是2。8元。
师：2。8除以4，你是想成了多少？
生：28除以4。
没有点的同学，你上来说一说。
师：你这个28表示什么？
生：就是28角。
师：这两种都是28角，那那第一种比较科学一些呢？
生：第一种。
师：结果都是1。7，这里为什么要加小数点？
生：结果17是17角，因为要用元做单位，所以要加小数点。
师：你们确性这个1。7元是对的吗？如果有人怀疑，怎么办？
生：验算
学生口头验算
师：刚才我们在做这道小数除数时，是以元与角的单位来计算的。其实不用元与角我们也可以来计算的。
因为小数当中就有单位，大家请看
8．8其实就是由8个一与8个0。1组成的。
8．84的组成。
8．847/3
学生自己借助小数单位，来算一算8．847/3
学生动手算，让一位同学板演
师：做对的，举一举。
师：这里的28，表示？
生：28个0。1
师：9表示？
生：表示9个0。1
师：14表示？
生：14个0。01，依然说一说。
最后再问，商这里为什么要加小数点？
师：刚才我们是用元单位时，所以要加上小数点。这里你能用计数单位来说一说吗？小组内说一说。
师：谁说一说。
生：整数部分除以整数，因为整数部分是以个为单位的，所以最后的单位应该是个。
师：还要注意一下，在计算时，商的小数点要与下面的小数点对齐。
师：大家想一想，小数除法与整数一样吗？
生：一样的。
师：有什么不一样的吗？
生：要注意加上小数点。
师：现在会做了吗？
生：会
师：好了，练习纸打开，做第一条练习。
学生独立完成。
与屏幕较一下，
9．42/6=1．57 94。2/6=15。7
87．64/7=12．52 876。4/7=125。2
师：如果你只算一个，能不能猜第二个呢？
生：能，只要看被除数的小数点就可以了。
师：看被除数的小数点，想什么？
生：想商的小数点。
出示练习题。
出示改错题。
师：这两道小数点没有加，应该是多少呢？
师：现在你们理解小数除法的计算方法了吗？
师：下面我要给你看一个人。是谁？
生：杜丽
师叙杜丽决赛的情况
师：最后五枪打出了52。5环的成绩，你能计算出它平均每枪打多少杯吗？
学生独立计算
出示超市屏幕
两种规格的牙膏售价情况如下：如果买3支小牙膏，售价是8。7元，如果买4支小牙膏，售价10。8元。购买哪种牙膏比较合算。
师：会算吗？
请大家做课堂练习的第三项。
师：买那种牙膏更上算？
生：四支的，
师：为什么
生回答单价低。
师：小数的除法还是非常有用的。为了更好的掌握小数除法，我们再来做一道题好不好？大家将练习纸打开，直接做在练习纸上。

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王凌圆的认识教学实录

教学过程：

一、谈话交流，诱发学习兴趣。
1、 同学们画过圆吗？介绍一下你是怎样画圆的？
2、 我们知道圆规是画圆的工具，既然很多工具都能画圆，你觉得用圆规画圆有什么好处？
3、 请你们练习了用圆规画圆，开始时会出现哪些问题？现在有什么画圆的窍门？
4、 生活中很多物体的形状都是圆形，能说一说吗？为什么生活中这些物体的形状都是圆形呢？
除了美观之外，有些还利用了圆的特征。这节课我们就研究圆的认识，更多的了解圆。

二、通过操作，初步感受圆的特征。
1、老师手中的袋子里有各种形状的纸片,你能从中摸出圆形吗?（请学生操作）
2、有可能把其他这些图形当成圆吗?为什么?
（比较得出：圆是由曲线围成的平面图形）

三、经历游戏，主动学习半径特征。
1、圆还有哪些特征呢？让我们通过游戏来发现。
（1）课件演示画面：15个小朋友在玩套圈比赛，离杆心有近有远，小明离杆心最近。
动画：各人投了一个套圈，小明最后投，只有小明套中。小明高兴的神态说：“还是我投得准。”
教师提问：同学们，对小明的话，你们有什么想法？（引出这样比赛不公平，大家要站在距离杆心同样远的位置）
（2）课件演示画面：15人站成一排套圈。
教师提问：同学们，站成一排行吗？你有什么建议？（学生通常会建议围成圆形）
课件演示画面：15人围成圆形，但杆心不在圆心。
教师提问：这样行吗？要站成怎样的圆形才算公平？
2、师生合作画圆
教师提问：在操场上怎样才能画出这样的一个圆形来呢？
老师带来了这样的工具（一端拴有粉笔的绳），谁来和老师配合在黑板上画出一个圆？
（师生操作时老师有意改变绳长）这样行吗？为什么？
（强调要使所画的曲线和这个固定点的距离处处相等，才能画出一个圆。）
师生合作画好一个圆。
3、教学圆心
画圆时，固定的一点叫做圆的圆心。用圆规画圆时针尖固定的一点就是圆心。圆心用字母o表示。杆心应该放在哪里呢？
4、教学半径
这15个人应该站在哪里？（圆上）
黑板上有一个圆，您能指出小明可以站在哪里？（将生所指的位置描出一个点）圆上有多少个这样的点呢？也就是说他可以站在圆上的任意一点。现在15人任意地站在圆上，你觉得公平吗？为什么？
你能表示出圆心到圆上任意一点的距离吗？（请学生在黑板上画一条半径）这样的线段能画多少条?
像这样连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径。用字母r表示。
5、半径有哪些特征呢？
怎样证明所有的半径都相等呢？利用手中的圆片想想办法,在小组里商量一下。（方法一：量；方法二：对折；方法三：用圆规比划）可以看出，圆规两脚间的距离就是什么？圆的大小有什么决定？

四、通过操作，自主探究直径特征
1、 刚才研究同一个圆中半径都相等时,很多同学想到了用折的方法,拿出纸片对折一次,发现什么?再对折几次呢?无论怎样对折都能完全重合,这也是圆的一个特征。
2、 把折痕描出来,得到的线段就是圆的直径, 用字母d表示。你能说一说直径是怎样的一条线段吗？
3、 直径有哪些特征呢？和半径又有什么关系呢?利用手中的圆片量一量、折一折、比一比，将你的发现在小组里交流
4、汇报
（1）直径相交于圆心
（2）同一个圆中，直径有无数条，长度都相等
（3）同一个圆中，直径长度是半径的2倍，半径长度是直径的12 。
用字母怎样表示呢？
三、联系实际，理解应用圆的特征。
1、利用圆的特征可以了解更多的信息。
（1）已知圆的半径（直径）求直径（半径）
（2）在正方形中最大的圆
正方形的包装盒中放有一块圆形砚台，正方形包装盒边长18厘米。（图略）
（3）在长方形中最大的圆
长方形的茶杯包装盒中正好放2个茶杯，长方形包装盒的长是32厘米。（图略）
2、圆的特征在生活中得到广泛的应用。
车轮为什么做成圆形？车轴为什么要安放在圆心？
3、画图练习
（1）要在马路上的十字路口设计一个花圃，如果你是设计师，会把花圃设计成什么形状？为什么？
（2）在城市交通图上请你画出圆形花圃，半径2厘米。怎样画？
（3）在花圃中设置一个自动喷头，如果你是设计人员，喷头放在哪里？喷水距离应满足什么条件？为什么？

四、图形比较，总结圆的特征。
（每人发了一张椭圆纸片）这个图形(很接近圆的椭圆)是不是圆形？请从不同角度加以说明。

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供参考，