潘小明教学专辑

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“主动建构，创新发展”数学教学模式

潘小明（执笔）

　　面向２１世纪的小学数学教育，必须以培养学生的创造力为主要目标，促进学生主体性的发展。为此，我们进行了“学生‘主动建构，创新发展’数学教学模式”的课题研究。

一、模式的关键词界定

　　“主动”，即指学生热情投入、积极参与数学学习活动；

　　“建构”不仅指建构知识和能力，而且包括学生的主体人格；

　　“创新”，则指学生对所学新知的“再创造”；

　　“发展”，重在学生认知、情感、意志等主体心理品质的发展。

二、模式的结构流程（略）

三、模式的操作原则和策略

　　１．要设计好问题情境。它不是简单地由教师向学生提个问题，而是设计出学生已有知识和能力不足以解决所面临的问题，使之产生观念上的不平衡，并通过新的学习活动以达到新的、更高水平的平衡的环境。其中学生所面临的问题，可以是教师给出的（但必须是学生感到问题的问题），能让学生自己去发现问题，则让学生自己去发现、去提出，这样更贴近学生思维实际，更能激起学生的探究性。

　　２．学生想到解决面临的新问题，必然会自觉地检索已有的知识和经验。激活已有知识和策略主要是学生的“自我激活”。教师则引导学生想：你已掌握了哪些知识？想，对解决该问题有没有联系？等等，起到催化作用。要注意：有时应帮助学生获得必要的经验和预备知识，为学生进行新的认知活动提供必要的基础。

　　３．任何真正的认识都是以主体已有知识和经验为基础的主动建构。教师不能以主观的分析或解释去代替学生真实的思维活动，应该给学生思维的空间和思考时间，使学生主体能自主地、能动地、自由地、有目的地进行探究活动，充分发挥其潜能。对于束手无策的个别学生，教师可适当地指导，引发思考，而不是把解决问题的方法和结论直接告诉学生，让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的知识。

　　４．合作发现主要是指前后四人为组的小组学习活动。在学生个体独立思考探究的基础上，让学生充分展示其思想方法和过程，促进相互作用。学生展示其思维过程的活动，一方面，外部的表述也必然会促进主体的自我意识和自我反省；另一方面，学会如何去聆听别人的意见并作出适当的评价，从而更好地发现知识规律，并在合作中学会合作。为了使小组学习不流于形式，以求实效，小组人员要合理搭配，要有小组活动的组织者，发言交流做到有序有效，能对发言内容作归纳评价等，教师则要有目的有计划地进行培养和训练。

５．评价体验。评价，既有学生小组间的互评，又有组际的评价，还有教师对学生学习活动的评价。评价的内容主要涉及两方面：一是对学生解决问题获取新知的思考方法的评价，重点是提炼出数学的思想方法；二是对学生思维的积极主动性进行评价。通过评价，使学生产生两方面的体验：一是学生自主学习成功的情感体验，增强学习信心和动力；二是领悟到数学的思想方法对获取知识解决问题起着重要的作用，使学生的思维指向在数学的思想方法和学习的策略上。

四、模式的课堂教学评价　　

１．学生参与的状态。学生在课堂上要热情饱满，注意力集中，师生间要民主，做到双向交流，教学共振。

　　２．学生参与的广度。学生应人人参与，不应有被遗忘的角落。要关注不善发表意见的学生。学生在小组活动中的参与率应达到９０％以上。

　　３．学生参与的时间。课堂上学生自己活动（独立思考探究、尝试解决问题、小组交流讨论、作业练习等）时间不少于２／３。

　　４．学生参与的方式。教师要为学生创设多种有效的成功机会，让学生自主选择机会，多式多样地参与。如：尝试练习、动手操作、小组活动、集体讨论等。为学生提供多种思考的机会，训练学生的思维能力。

　　５．学生参与的品质。培养训练学生善于倾听、理解他人发言，并能抓住要点。学生要有提问题意识，敢于质疑问难、发表意见。

　　６．学生参与的效果。主动建构数学知识，形成主动获取数学知识的能力，学习的自觉性、主动性和创造性得到发挥。

五、模式的研究效果　　

通过“主动建构、创新发展”教学模式的研究，教师的教学思想观念得到了更新，课堂上的教学目标不仅放在具体知识的理解掌握上，而且重视学生主动获取知识的能力培养上，重视学生学习的自觉性、能动性和创造性等主体性品质的发展上。由于思想观念的更新，旧的教学模式被自觉废除，课堂上教学氛围民主、和谐、愉悦，学生学得主动，潜能得到开发，教学质量得到提高。学生普遍反映，让他们先独立思考，再小组合作的教学方式很感兴趣，自己解决了问题、获得了新知心理非常高兴。我们的教学模式课在多种教学活动中亮相：在全国现代小学数学“小学生数学学习主动性与心理素质发展”首届研讨会上上了《分数的初步认识》、宝山区名师工程活动中上了《平行四边形的面积》、对外省教学代表团上了《格点与面积》、《行船问题》、《合并同类项》、宝山块教学模式评比上了《三角形的面积》等课，都得到有关专家、教授和听课老师的好评。

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智慧和人格在数学活动中生成

——从教学《三角形边的关系》谈起

上海  潘小明

数学教学不仅要让学生获得知识技能，而且要生成智慧和人格。如何让智慧和人格在数学活动中不断地生成？为此，我在思考着、探索着、实践着……

《三角形边的关系》的教材，是这样编写的（北师版四年级上册，如图1）：呈现实验材料，给出实验方法，提出实验目的。编写的意图是显而易见的：让学生在经历实验探究活动，不仅归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，而且在学习科学探究的方法，培养其发现知识的能力。这样编写，给教师的教指出了方向，但学生对“为什么要这四组小棒试搭三角形”、“为什么每次实验都要在表中的圈内填上‘＜’、‘＞’、‘＝’”可能很茫然的。学生探究的过程很有可能成为机械地执行教师的指令，其学习的主动性、发散性思维、批判性思维等都难以得到充分发挥。怎样从学生的实际出发，设计问题，组织教学呢？

我预设了下面三个问题：（1）三角形是由三条线段围成的图形，如果用小棒代替线段，围一个三角形要用几根小棒？（2）任意给出三根小棒，你一定能围成一个三角形吗？（3）怎样的三根小棒一定能围成三角形呢？三角形是由三条线段围成的图形，这是学生已知的，问题（1）易答；问题（2）是问题（1）的逆向问题，命题成立，其逆命题不一定成立（估计学生中会有不同的回答），学生可实验验证各自的猜想，从中发现“两根小棒的和小于第三根时，不能围成三角形”；顺势引入问题（3），引导学生深入探究，并发现“只有当较短两根的和大于第三根时，一定能围成三角形”，由此经验联想到三角形三条边的关系，得出“三角形中较短两边的和大于第三边”。这时，教师再追问：“等边三角形中是没有较短两边的，对于所有的三角形来说，三条边之间到底有着怎样的关系？”激发学生再思考，概括出“三角形任意两边的和大于第三边”。

实际教学中，对“怎样的三根小棒一定能围成三角形”，有的学生认为“当较短两根的和大于或等于第三根时，就一定能围成三角形”；也有的认为“三根一样长的小棒，一定能围成三角形”。教师追问：“三角形就只有三边相等这一种吗？”有学生补充：“两根一样长的，也一定能。”“三根各不相等的，较短两根的和大于第三根，也一定能。”针对学生的回答，教师没有直接指出是否错误，而是将其板书在黑板上，引起全体学生再思考。教师先借助电脑演示，让学生直观地发现“较短两根的和等于第三根时，不能围成三角形”；再引导学生讨论，有的学生认为“当三根小棒一样长时，一定能围成三角形，这已经不用考虑了；有两根一样长时不能肯定，因为万一另一根特别长，那就围不成”。有的觉得“可以把第二、三两种情况合并为‘老二与老三的和大于老大时，也一定能围成三角形’”。此时，教师要学生概括成一句话（即：任意两根小棒的和大于第三根时，一定能围成三角形的），学生哑然。教师指着等边三角形的两条边问：“这两边的和比第三边怎么样？”学生这才发现，任意两根小棒的和大于第三根时，一定能围成一个三角形。

这是上海名师学习研究所让我上的一个课例。有位专家当时说：“潘老师的课最大特点是，不是从教案上起，而是从学生上起，整个教学是围绕学生的问题展开的。”是的。我为自己机智地处理教学中的意外而窃喜，但我更是被意外背后的原因所吸引，我在思考：在有的学生看来，较短两根的和等于第三根时确实是围成了三角形。教师简单地让电脑演示，能取代学生头脑中的想法吗？怎样才能让学生进行自我否定，促使思维发展呢？学生的“三根一样长的一定能围成三角形”的回答应该是完美无缺的，教师一句“只有三边相等这一种三角形吗”的追问，学生会接受吗？有必要追问吗？在教师的追问下，学生补充了另外两种情况，并展开讨论，学生积极主动，气氛相当热烈，不知不觉中用去了一大半的时间，这期间，学生的数学思维得到了哪些锻炼和发展？该如何改进教学，我又一次走进了课堂。

片段1

师：你们知道给每人发两根小棒干什么吗？

生1:因为课题是三角形边的关系，我以为会发三根小棒让我们摆三角形的，可是只发了2根，我就不知道干什么了。

生2：可能是摆角用的。

师：不是用来摆角的，确实是用来摆三角形的。

生3：三角形是有三条边，需要三根小棒，你发两根，我们怎么摆呢？

教师出示：现有两根小棒，一根长3厘米，另一根长5厘米，再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？

师：将你要配的小棒画在纸上，你有几种配法都在纸上画出来。

学生独立思考着，操作着……

出示的课题是《三角形边的关系》，给出的小棒只有两根，而且要摆三角形，学生顿生困惑：用两根怎么能摆成三角形呢？这里，虽然没有复习三角形的概念，但已经激活了学生的已知，刺激了学生的思维，吸引了学生的注意。“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法”，再配一根不难，有几种配法则给有差异的学生以自由探索的空间。

片段2

师：请说出你配上了多长的小棒？

生1：配上6厘米、4厘米、2厘米长的小棒。

生2：我配上7厘米、8厘米、3厘米长的小棒。

生3：我配了一根5厘米长的小棒。

生4：还有1厘米、0.5厘米，还有更小的。

（结合回答，教师顺着线段的长短板书：8、7、6、5、4、3、2、1、0.5）

生5：我要反驳，把5厘米和3厘米的叠在一起，差距还有2厘米，0.5厘米的怎么可能呢！我希望他摆给我看。

生4进行了操作，发现0.5厘米是不能围成三角形的，并解释说：“我刚才没有摆过，我是想象的。”

“有几种不同的配法？”，不仅适合有差异的学生，而且在寻找多种配法的过程中，学生会感知到：不是任意画一根小棒都能围成三角形的，太短了接不上，太长了也接不上。有的学生在小组交流时说：“我发现配上的线段最长不能比两根长度的和来得长，最短不能短于两根线段的差”。学生已经关注到所画线段的长度是有一定的范围的，这是一个怎样的范围呢？学生的思维对象已经从能配几种小棒转向所配小棒长度的取值范围，思维向纵深方向发展。

片段3

师：下面，请前后4人为小组，讨论在上面所配的这些小棒中，哪些是不能围成三角形？要用事实讲道理，看哪组合作得最好！

学生组内讨论后进行组际交流：

生：2厘米到8厘米的都可以。

师：（指着板书）1厘米呢？（学生齐说不可以）我们来试验一下吧！

电脑验证：当三根小棒是5厘米、3厘米和1厘米时，用3厘米和1厘米的小棒放在5厘米小棒的两端，然后慢慢向下围，3厘米和1厘米的小棒与5厘米的重合，两头没有围上，中间相差了1厘米。

师：1厘米不行，1.8厘米呢？1.9厘米？1.99厘米呢？（学生齐说不行。）2厘米呢？（学生思考着。）

师：认为2厘米行的举手？（大部分学生举起了手。）认为不行的举手？（3位学生举了手。）

师：到底听谁的呢？我们来个少数服从多数，好吗？不！这不是选少先队代表。知识是科学，看谁说得有道理。

生1：某某同学你想一下，一根5厘米和一根3厘米，还差2厘米。如果用2厘米的小棒去围，小棒要斜一点，肯定会有一点距离的，所以不能围成三角形。

生2：我刚才是做过实验的，把小棒往里转的话，两根小棒之间的距离会减少一些的，应该是能围成三角形的。

生3：你用的是两根小棒，你可以围起来的，但是，如果是一条线呢，一条很细很细的线呢？

生2：那你是不是认为3厘米加2厘米比5厘米要少呀？

生3：当然不是喽！

生2：那好，3厘米加2厘米等于5厘米，不就可以围成三角形。

生3：3厘米加2厘米等于5厘米，正好跟它平行，不多也不少。

师：3厘米加2厘米等于5厘米，3厘米、2厘米这两根小棒的两头就碰得着了。一个同学说，碰得着了，说明就能围成三角形；另一个同学认为，正好碰头，就平掉了。

教师结合回答，边画图（右图）边提问，再围下去，它们会碰头吗？碰头的点在哪里？学生观察并想象着，积极地上来标出碰头的点是在5厘米的线段上，终于得出：配上2厘米的线段，正好重叠了，不能围成三角形。

有的学生用2厘米、3厘米和5厘米这三根小棒竟然围成了一个三角形，他们对两根小棒的和等于第三根时也能围成三角形是深信不疑！这显然是小棒较粗引起操作误差所致，但简单地解释又难以使学生信服。为此，教师采用“数形结合”的方式，双管齐下：一方面由“1厘米不行，1.8厘米呢？1.9厘米？1.99厘米呢？ 2厘米呢”，让学生进行数学计算，发现即使配上1.999厘米，其和还是比5厘米短，只有当配上2厘米时的和正好等于5厘米，而这时的2厘米和3厘米成为了一条新的线段；另一方面，借助于图形直观，并让学生进行空间想象：2厘米和3厘米小棒的另一头能碰头吗？碰头点在哪儿？这样，学生不仅对先前的想法进行自我否定，更重要的是学生在学习着用数学的方法分析问题，作出判断，思维更具理性。

片段4

师：还有哪些是不能围成三角形的？

生：8厘米的。同样道理，因为5厘米加3厘米正好等于8厘米，重叠掉了，不能围成三角形。

师：那么，你认为一共有多少种配法？

生：3厘米到7厘米，一共有5种。

师：这5种是行的，是不是只有5种？

生：加上小数就有无数种，如2.1、2.2、…、2.9等等。

师：什么样的小棒都可以吗？

生：大于2.1厘米小于7.9厘米的小棒都可以。

师：2.01行不行？2.001呢？7.999呢？

生：应该是大于2厘米、小于8厘米的都行。

“你认为一共有多少种配法”，有的学生开始是在整厘米数范围内考虑，得出共有5种。在教师的“是不是只有5种”的追问下，学生的思维有了拓展，可以有无数种。但是，绝大多数学生的头脑中还没有建立起一个正确的取值范围。对于小学四年级的学生而言，范围的建立的确是有一定困难的。学生认为“大于2.1厘米小于7.9厘米的小棒都可以”，教师没有直接否定，而是提出了2.01、2.001，让学生判断，这些数据既是具体的，同时在向2无限逼近，学生自然会想到2.00001也是可以的，那该怎样表述呢？“比2厘米长”已呼之欲出；以此思考，学生不难得出“又必须比8厘米短”。这样层层递进的启发引导，发散拓宽了学生的思维，有机地渗透了无限逼近的数学思想，锻炼了学生的抽象思维，培养学生抽象、概括能力。

片段5

师：请同学们回想一下，刚才在寻找“共有几种配法”时，你是怎样想的，怎样做的？

生1：先在纸上画一条线段，然后用两根小棒去围围看，这样试着去找。

生2：我想将3厘米和5厘米的两根摆成一个角，再连接另两头得到要配上的小棒。

师：两种方法，你现在更喜欢哪种？为什么？

许多学生选择第二种方法，理由是：一来可以避免太短或太长的盲目性，二来可以找到许许多多种配法。教师顺势进行板书（如右图），启发学生思考得出，这种方法很容易发现配上小棒的长度范围，并使学生意识到：面对问题，我们不仅要关心答案，更要关心用怎样的方法去找答案，方法往往比答案更重要！

小学生的元认知水平相对较弱，他们关心的往往是问题的答案，却很少会关心自己的思想方法及所用的策略。第二种方法的学生，虽然没有了盲目，并且容易找到了多种配法，但也很少有人去深入思考其取值的范围。引导学生学习解决问题的策略，进行深度的数学思考，是数学教学的重要任务之一。怎样引起学生对自己解题策略的关注呢？课中，教师没有在出示题目后马上告知学生怎样就能马上找有许多种配法，而是在学生经过一番自主探究之后，引导学生“回回头，看看走过的路”，进行不同方法的比较，深深地体悟到“策略比结果更重要”，实现由只关心题目结果向关注解题策略的转化。

片段6

师：下面的两组线段，能围成三角形的用手势勾表示，不能的用叉表示。并说出理由。

出示：在能搭成三角形的一组线段下面打“√”。





对于1厘米、2厘米和3厘米的这组线段，学生都做出了正确的判断，理由是1+2=3，所以不能围成三角形。对于2厘米、4厘米、3厘米的这组线段，大家的意见也是一致的：因为2+3＞4，所以能围成三角形。

师：（重复学生的回答，并作板书）因为2+3＞4，所以能。

师：照此说来，对于第一组的小棒，我们也可以说（板书）：因为1+3＞2，所以能。

一石激起千层浪。学生思考着，纷纷发表自己的看法——

生：这是不对的。因为1+2=3，所以不能围成三角形的。

师：为什么第二组由 2+3＞4就能断定能围成三角形？

生：因为2厘米、3厘米是较短的两条线段，它们的长度之和大于最长的，那么用最长的去加上2厘米或3厘米，肯定要比3厘米或2厘米长，这是肯定的。

师：原来如此，有道理！请大家继续判断——

出示：有三条线段，其中两条线段的和大于第三条，这样的三条线段能围成三角形吗？

学生的判断各不相同，有的认为能，有的认为不能，也有的认为不一定。

师：谁能说服别人？

生：我认为是不一定能！你说一定能，那么象1厘米、7厘米和3厘米，其中1+7 ＞3，是不能围成三角形；你说一定不能，象4厘米、5厘米和8厘米，其中4+5＞8，却是能围成三角形的。所以，我认为是不能肯定的。

师：用事实说话，真让人信服！那么，把“其中”换成哪个词，满足条件的三根线段就一定能围成三角形？

学生又思考着，有的认为把“其中”换成“较短”，大多数学生表示同意，也有学生提出换成“任意”，经过交流，形成了一致的意见。最后，教师出示一个三角形并提问，三角形三条边之间有什么关系？学生轻易得出：三角形任意两边的和大于第三边。

给出的两组小棒能否围成三角形，学生能做出正确判断。教师这“理直气壮”的类比，激起了学生对类比所得错误结论原因的思考，不仅深刻揭示出数学知识的本质：任意两条线段的和大于第三条，就能围成三角形；而较短两条的和大于第三条，则其它情况必然也大于第三条。而且，渗透类比的思想方法，学生体会到类比的结果不一定正确，还需要验证。我们知道，要证明一个命题是正确的，不能只举几个正例就能证明的。但是，要证明一个命题是错误的，只需举出一个反例。让学生结合具体问题，学习举反例来证明，进行数学推理的训练，是很有必要的。

教学是一门有遗憾的艺术，上面的教学中一定仍存在着不足。我认为，对于遗憾的态度，应该悦纳并不断地探究，不断地改进教学，使数学活动的过程成为智慧和人格不断生成的过程。着眼于智慧和人格生成的教学，应该把重心放在提高互动的质量上。影响互动质量的有许多因素，如互相尊重、民主平等、和谐宽松的学习氛围，独立自主地探究学习，同伴之间的合作交流，教师适时的启发引导等，而设计有价值的问题是一个重要的因素。对于教师“怎样的三根小棒一定能围成三角形”的问题，学生回答“一样长的三根一定能围成三角形”，这是最贴近学生思维实际且无懈可击的答案，然而却没有揭示三角形边的关系。在教师“三角形就只有三条相等这一种吗”追问下，学生才有 两根一样长、三根各不相等的两种情况，教学才得以继续展开，很是牵强。而教师设计的“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法”的问题，学生在尝试中自然会发现配上的小棒不能太短也不能太长，自然会产生到底有多少种配法的想法，自然会想小棒的长度会不会有一个范围，怎样表示这个范围等问题。所有这些问题都因三根小棒之间的关系引起的，而解决了这些问题，知识的本质也就被深刻地揭示出来。高质量的互动，必须有高质量的问题。

何谓高质量的问题？高质量的问题自何而来？我认为，高质量的问题应该具有趣味性、开放性、挑战性、差异性和实践性，解决问题的过程中应该饱含着数学的思想方法和策略应用。高质量的问题来自于教师的刻苦钻研：对教材的研究，发掘数学知识中隐含着的数学思想方法；对学生的研究，了解学生的认知起点、认知水平及学习新知识时可能的思维方式和各种困难等；对以往教学的研究，反思教学过程，积累经验，发现问题等。在此基础上，围绕教学的主线（显性的数学知识和隐性的数学思想方法）设计高质量的问题。数学教学就要抓住数学思考这一本质，而设计好问题是数学思考的关键。有高质量的问题，才会产生高质量的互动；有了高质量的互动，智慧和人格自然会在其中生成。

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《三角形边的关系》教学预案

上海   潘小明

教学内容：北师大教材  第七册 P42－43

教学目标：
1、通过实验，探究得出：怎样的三条线段一定能围成三角形。

2、理解“三角形中任意两边的和大于第三条边”。

3、培养学生实践探究及解决问题的能力。

教学过程：

一、探究“三条线段是否一定能围成三角形”

1、什么样的图形是三角形？

2、如果用小棒代替线段，围成一个三角形需要几根小棒？给你三根小棒一
定能围成三角形吗？

二、探究“什么样的三根小棒一定能围成三角形”
1、怎样的三根小棒一定能围成三角形呢？
2、学生借助小棒进行探究实验。（小棒长度：11cm、 7cm 、5cm、 5cm、
5cm、4cm 、3cm）
3、交流讨论。

三、思考：三角形中三边的关系

1、提问：三角形三边之间有着怎样的关系？

2、归纳：三角形中任意两边的和大于第三边。

四、练习拓展
1、在能搭成三角形的一组线段下面画“√”

1cm
2cm
3cm
(
)
；
2cm
4cm
3cm
(
)
2、有一根长3cm的小棒和一根长4cm的小棒，再配上一根多长的小棒就能围成一个三角形？
3cm
3、如下图，从中任选3根，可以摆成几种不同的三角形？（图略）

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潘小明老师《三角形边的关系》课堂实录

【主题概述】
潘小明老师《三角形边的关系》一课,给了我们以强大的思维冲击。开始上课前，潘老师放了一段他以前上这节课的录象，并且讲解了他对教材的理解，对教材的处理，本节课是在以前上课的基础上做了进一步的修改，本节课的教学目标是1、通过画一画、量一量、算一算等实验活动，探索并发现三角形任意两边的和大于第三边。2、在实验过程中，培养学生自主探索、合作交流的能力。3、应用发现的结论，来判断指定长度的三条线段，能否组成三角形。
整节课潘老师都是将三角形边的关系的教学巧妙的融于学生的操作中，通过学生的自主探索，大胆地让学生自己尝试，自己得出规律。教师只是充当了一个引导者、合作者的角色。整节课都是让学生通过自己的双手和大脑去实践、思考，最终得出正确的结论，从而激发出学生的创造力，使课堂成为学生思维的运动场。

【精彩课堂实录】
师：课前老师给每人发了两根小棒，你们知道发两根小棒干什么？
生：因为课题是三角形边的关系，我以为会发3根小棒，可发了2根，我就不知道干什么了？
生：可能是摆角用的。
师：是让大家摆三角形用的。
生：2根怎么摆呢？
师：让大家做一件事情，现有2根小棒，一根长5厘米，另一根长3厘米，再配一根多长的小棒就可以围成三角形，有几种配法？在纸上画出需要的长度的线段，然后用2根小棒上去试一试，围一围。
［评：从原来直接给学生小棒围三角形，到现在让学生自己在原有的两根小棒的基础上创造出第三根小棒，促使学生自己去思考需要一根怎样的小棒，从而把三角形边的关系的教学变成学生主动探讨的过程，促进学生数学思维的主动发展，真正让学生从原来的盲目操作变成现在的有目的活动。］
学生独立活动，教师巡视，交流想法。
汇报交流：
生：配上6厘米的（其他学生也说出配上4厘米、2厘米、7厘米、8厘米、3厘米等等）
生：还有1厘米、0.5厘米，还有更小的。
生：0.5厘米不行，5厘米和3厘米相差2厘米，0.5厘米怎么可能，我希望他摆给我看。
［评：在操作过程中，学生中出现了争论。潘老师就让认为用0.5厘米也能围成三角形的学生进行了操作，让其他学生去看这个学生围，让学生在争辩——再操作中自己发现0.5厘米是不能围成三角形的，操作的体验更加深刻，在此基础上潘老师才指导学生进行观察总结。］
师：上面这些答案中，哪些能围成三角形，哪些不能？说的时候最好能说说道理。
［评：让学生再一次用语言来汇报刚才的活动结果，并说出道理，让学生在叙述的过程中能够有所感悟，同时也注意了学生中的差距，能让学生在回答中都明确了在怎样的情况下能围成三角形。］
师：肯定行的把它勾出来。
生：2厘米—8厘米都可以。
师：1厘米（学生齐说不可以）0.5厘米（学生齐说不可以）
（电脑验证：当三根小棒是5厘米、3厘米、1厘米时，用3厘米和1厘米的小棒放在5厘米小棒的两端，然后慢慢向下围，直到两根小棒与5厘米的小棒重合，两头都没有围上，并且相差1厘米。）
师：1厘米不行，0.5厘米行不行？空开多少？1.8厘米呢？1.9厘米呢？2厘米呢？（这时学生中有了争论，对于行和不行争辩了起来。）
师：认为2厘米行的举手（大部分学生举起了手）认为不行的举手（3位学生举了手）
师：来个少数服从多数，行吗？不是选少先代表，我们这里的知识是科学，就看谁能说服谁。我们就请两位代表来说一说。
师：两位学生的意见就是3+2=5，够得着，就是一个三角形。
生：不是，用3厘米折一个角，2厘米折一个角。
师：什么时候才能合拢？能不能合起来，合起来的点在哪儿？
（学生上台点）
师：平了，这个图形还叫三角形吗？（电脑操作演示）
师：2厘米不行，排除了，还有谁也要排除？
生：8厘米。
师：为什么8厘米不行？
生：行，我摆过了。
师：这个道理和2厘米是一样的，所以8厘米行不行？（不行）哪些是行的？
生：3厘米—7厘米
师：5种行的，是不是只有5种？
生：加上小数就有无数种，2.1、2.2、……、2.9。
师：2.01行不行，2.001行不行？只要比2（大）9行不行？（不行）
生：要比8小。
师：大于2小于8，这个范围都可以。
师：一根7厘米，一根5厘米，再配一根几厘米的小棒就可以围成三角形？
生：大于2厘米，小于12厘米。
师：换成一根11厘米，一根6厘米，再配多长的小棒？不能太短，太短不行，也不能太长。
生：大于5厘米，小于17厘米。
师：再来一根8厘米，还有一根仍然8厘米，再配一根（学生一起说了出来：大于0厘米，小于16厘米。）
师：下面请同学们回答下列问题，在能搭成三角形的下面打勾，能的用手势勾表示，不能的用手势叉表示。
1厘米
2厘米
3厘米
（ ）
生：1+2=3不行。
2厘米
4厘米
3厘米
（ ）
生：2+3大于4，所以行。
师：他说2+3大于4，所以行。同意吗？谁不同意？
生：只要大于就行了。
生：就说这道题，2+3大于4，2+4大于3、3+4大于2
师：为什么不把这三种情况都说出来，为什么只说这一个就行了？（这时没有学生回答）
师：两条短边相加就行了，长的加短的肯定大于另一条短的，还要考虑吗？
师：再看下面的问题。
（有三条线段，其中的两条线段大于第三条，这样的三条线段能围成三角形吗？）
（学生的判断各不相同）
师：谁能说不一定。
生：一定不能，如果是1、7、3，其中1+7大于3，能吗？
师：其中不行，那换种说法，怎么改？
生：两条较短的大于较长的。
生：其中任意两条线段和大于另一条。
师：任意什么意思？
生：随便两条。
师：在已经是三角形中，三角形的边有怎样的关系？
（由于时间关系，潘老师没有再上下去）

【评析】
在研究三角形边的关系的过程中，教师刚开始只给出两条边的长度：5厘米、3厘米，而第三条边的长度则让学生通过自己动手操作、实践、交流等形式去探索它的长度范围。最初学生得出的长度范围是2≤？≤8，后来老师又通过课件的演示，让学生体会第三边的长度最短必须大于2厘米，最长必须小于8厘米，从而得出第三边的长度范围是2＜？＜8。然后又通过一些变式练习及时巩固，学生在自己不断的思考与问题的矛盾冲突中体会了三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，难点由此得以突破。

尽管这堂课最终因为时间的原因没有上下去，让我稍觉遗憾，但潘老师给我们展现的课堂依然让我觉得沉醉。潘老师的敢于挑战、敢于探索，让我深深的领略到特级教师的风采，特级教师的素质，我听了以后深受感悟和启发。

首先，在课堂中，潘老师赋予学生真正的学习主动权。在潘老师的课堂上，总能听到孩子们相互辩论的声音。例如，课堂中当有学生还是认为1厘米也能去围成三角形时，教师并没有急着去否定，也没有直接去用课件展示，而是让那位学生再围给其他同学看，让那位学生在再操作中达到自我否定。整堂课下来，教师丝毫没有将知识灌输给学生，而是学生通过围三角形，不断的争辩、修正，直至最终发现结论。相信，学生在这样的课堂氛围中，数学思想必定会得到极好的发展。

其次，就是潘老师的敢于挑战。他的教学改变了传统教学的机械、沉闷、程式化的模式。对于教材，潘老师就从学生角度进行了思考，虽然原有的教材对于教师来说是比较容易操作，教学也是比较顺利，但对于学生来说，缺乏了思维上的锻炼。直接给学生小棒围三角形，他们能够在围的过程中发现三角形边的关系，但对于给出的小棒，学生是不明白的，为什么需要的是这些小棒，而不是其它。这样，学生在盲目的情况下的操作是被动的，只是在老师的一个一个指令下进行了活动，学生数学思维无法得到培养。而潘老师的设计，看似把课堂复杂化了，但更多的活动，更开放的设计，更体现出了教师驾驭课堂的能力，超越了目标预定的要求，使课堂充满生命。

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潘小明 “按两个差求未知量的应用题”教学设计及评析

潘小明 执教        顾汝佐 评析

教学目标：

　　1.使学生能抓住关键找出相对应的量，去分析数量关系，把握解题思路。

　　2.渗透对应的数学思想，提高学生分析解决实际问题的能力。

　　3.萌发学生的辩证思维，学习全面地分析、考虑问题。

教学过程：

　　一、以旧引新，促进迁移。

　　1.提问：

　　（1）甲买4本练习本，乙买6本练习本，谁付的钱多？为什么？

　　（2）买的本数多，付出的钱也一定多吗？当每本价钱相同时，买的本数多，付出的钱怎样？付的钱少，说明买的本数怎样？

　　【评析：这里（1）题的设计颇具匠心，题中有意不说乙和甲买的是同样的练习本，让学生判断谁付的钱多。估计学生中会有两种反馈，一种认为乙买的本数多，付的钱也多；另一种认为不一定乙付的钱多，因为没有说明是同样的练习木。然后在（2）题里，运用反问句强化每本价钱相同这个必要条件。这样的设计，使学生感受到看问题要仔细、全面，不能粗略作出结论。】

　　2.出示：（同种铅笔）

　　小红买：///

　　小刚买：/////

　　（1）知道哪两个条件可以求出每支铅笔的价钱？若告诉小红付出1元2角，怎样计算出每支铅笔的价钱？（板书：12÷3=4（角）。）

　　（2）还可告诉哪些条件，也能计算出每支铅笔的价钱？

　　（让学生补条件。估计会有：①小刚付出2元。20÷5=4（角）；②两人共付出3元2角。32÷（3+5）=4（角）③小刚比小红多付8角。8÷（5-3）=4（角）。）

　　（3）（结合所补条件①、②的解答）提问：求每支铅笔的价钱，关键要找出什么？（铅笔支数及相对应的价钱。）（结合所补条件③）请把条件和问题连起来说一遍。教师出示：同一种铅笔，小红买了3支，小刚买了5支，小刚比小红多付8角钱，每支铅笔多少钱？

　　二、尝试练习，归纳思路。

　　1.学生独自思考，尝试解答上面的例题。

　　2.同桌交流，展示解题的思维过程。

　　3.指名学生列式，并结合算式“8÷（5-3）”提问：为什么用8除以2呢？（让学生根据铅笔实物图说理。）

　　4.进行鼓励性评价：同学们想得真好。小刚比小红多付8角钱，小刚比小红多买2支铅笔，从这两个相差的数量中找到了相对应的量，即“2支铅笔的价钱是8角钱”。这样就很容易算出每支铅笔的价钱。

　　【评析：在上面讨论的基础上，运用形象直观而又简明通俗的实例，提出要求的问题，让学生独立思考，展开想象，在教师的点拨下，补出各种不同的条件。然后从学生所补的条件中，选择一种，组成一个完整的应用题，放手让学生自己去解答。这样的教学能引导学生参与学习的意向，主动地掌握这类问题的结构以及解题的关键，完全改变了教师一步一步发问，学生跟随教师一步一步回答的那种被动学习的状态。从学生的思维来看是变通型、创造型的。】

　　5.练一练。

　　一辆汽车用同样的速度行驶，上午行了120千米，下午行了200千米，下午比上午多行2小时，平均每小时行多少千米？

　　（1）让学生画线段图表述题意，借助线段图找出对应量，进行解答。

　　（2）由学生展示思维过程，进行评析。

　　【评析：练习题的情节变了，数量之间的关系未变，要求学生画线段图找对应量进行解答，组织学生自己展示思维过程，相互评议，教师只起一个组织者的作用。充分发挥学生的群体作用，使学生的心态处于学习主体的位置，感受到互助合作与成功的愉快。】

　　三、分层练习，发展思维。

　　第一层：

　　选择正确算式的编号（用手势表示）。

　　1.同一种自行车，第一天卖出8辆，第二天卖出的比第一天多2辆，第二天收款1500元。每辆自行车多少元？

　　（1）1500÷2（2）1500÷（8+2）（3）1500÷（8+2+8）

　　先让学生独立思考，画图分析，进行选择。在作出正确选择后，教师继续引发学生深入思考：①若选算式（1），应怎样改变条件？②若选算式（3），应怎样改变条件？从中突出关键是要找相对应的量。

　　2.水果店运来若干箱苹果，每箱苹果一样重。一共运来250千克。已经卖出4箱苹果，卖出100千克。每箱苹果重多少千克？

　　（1）10O÷4（2）（250-100）÷4

　　先让学生独立思考作出选择，再引导学生画出线段图，并提问：若要选择算式（2），条件该怎么改？从中强调根据所求问题选择有关信息，关键是找出对应量。

　　【评析：这两题都采用选择算式的形式，在学生作出正确判断后，教师再次要求学生，根据所给的算式改变应用题的条件，使算式与题目的要求相符合。这种练习方式，既有利于辨析应用题条件与问题的关系，强化解题思路，防止思维负定势，又渗透了事物之间的千变万化，学会具体问题具体分析的科学态度，这确是一种较好的练习形式。】

　　第二层：发展题。

　　学校新买来10盒羽毛球。如果从每盒中取出2只，剩下的羽毛球正好等于原来的8盒。买来的10盒羽毛球共有多少只？

　　在学生独立思考的基础上，让学生前后四人为一组进行讨论，再指名展示思维过程，师生一起作评价，突出解题关键在于“取出的羽毛球相当于原来的2盒”这个对应量。

　　四、课堂小结。

　　提问：今天所学的应用题，解题的关键是什么？

　　【总评：潘小明老师的这节课，曾在本市和外省市借班上课，教学效果甚佳，表现在学生学得主动，思维活跃，甚至于有些学生不愿意下课，还要讨论下去。究其原因，一是摆正了教与学的关系，千方百计让学生主动地学，使学生真正成为学习的主体。二是改革了应用题传统的教学方法，将原来的“读题→分析（或画线段图）→列式计算→写答句”的模式，改变成“直观形象的实例→提出问题→分析解答→组成语言文字的应用题→完整解答→变化条件或问题→深化认识”的认知过程模式。这种教学模式更贴近学生的认识规律。三是紧紧把握住题目里数量之间的关系，突出解题思路，训练学生思考力。当然，要做到这些还必须具有正确的教学思想和教育观念，承认儿童具有巨大的智力潜在力，力求提高他们的数学素养，培育他们良好的心理素质等宏观上的信念，才能组织好一堂课。从这堂课里还可以看出教师的教学艺术也起到重要的作用。】

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潘小明 “加减法速算”教学案例和反思

【问题提出】
对于“加减法速算”的教学，通常是这样进行的：
（一）复习，让学生填数：
78＝80－□
99＝100－□
87＝90－□
101＝100＋□
302＝300＋□
(二)学习例题．
1．出示例1：276＋98，教师启发学生用简便的方法进行计算，重点是让学生理解“多加了要减去”的思考方法，并让学生用这种方法进行速算以达到一定的熟练程度．
2．出示例2：165—97，教师继续启发学生用简便的方法进行计算，让学生理解“多减了要加上”的思考方法，并让学生用这种方法进行速算以达到一定的熟练程度．
(三)巩固练习．
教师将加减速算题综合在一起，让学生练习。
一次听课中我发现：学生在单独学习例1和例2及完成相应的专项练习时，学生的积极性比较高，正确率也不低．但 是，在做综合练习时，有相当一部分学生搞不清多减了要加上还是要减去，学习的兴致几乎没有了．执教老师也比较紧张但还算机智，结合生活实际说：王老师有20元钱，她买了9元钱的一本书，递给营业员面值10元的一张纸币，营业员找还她1元．此时，工老师共有多少钱?教师的意图是显见的，但部分学生就是“拎不清”，还差点把老师给弄晕了，效果不尽人意．
这节课引起了我的思考：我们的数学教学，如何切入学生的生活经验，更好地促进学生思维的发展?带着这个问题，我进行了“加减法速算”的教学实践．

【教学案例】
(一) 电脑出示：
100个 100个 100个 56个
师：从356个橘子中取出198个，你会取吗?(学生独立思考后相互交流)
生：先拿56个，再拿100个，最后再从100个的一箱中取出42个，这样就取出198个．
生：我先取出两箱是200个，再拿出2个放回56个的那个箱子，这样就取出198个．
师：如果让你来取出这198个橘子，你会用哪种方法?为什么?(学生纷纷举手发表意见，普遍选“先取出两箱是200个，再拿出2个放回56个的那个箱子”这种方法，理由是这样取方便．)
师：从356个橘子中取出了198个，求还剩多少个，怎样列式计算?请同学们算一算．(学生各自独立尝试计算．学生中普遍的方法是列竖式进行计算的；有些学生虽然没有列竖式，说是进行心算的，但计算的过程还是按“数位对齐，个位减起，不够借1”的方法计算的．)
师：除了用竖式进行计算外，你还有其他的方法吗？(学生独立思考后小组学生相互交流)
生1：我是这样列式的：356－200－2＝158(个)
生2：我想问××同学，356－200等于多少?用156再减去2等于154，所以是错的?我列的算式是：356一(200－2)＝158(个)．
I 生3：我想问"356一(200－2)”的运算顺序是怎样的?按照运算顺序应该先算小括号里的，这样又变成了原先的题目“356—198”，没有使计算简便．
生4：我认为"356－198"可以这样想，就像刚才取橘子那样，从356个橘子中先取出200个，这样多取了2个，把这2个放回去，所以，算式可以是“356—200＋2”，我觉得这样就能很快算出结果．
师：同学们，你们觉得这种想法及计算过程的表示方法有道理吗?大家都会吗?
师：下面的题目能不能用简便方法计算?如果能，请说出计算的过程。
教师逐一出示：
(1)546—297(结合学生回答，显示计算过程“546—300＋3＝246＋3＝249．)
(2)267—49(有学生是这样做的：267—100+51＝167+51＝218；也有学生是这样算的：267—50＋1＝217＋l＝218．对于这两种思考方法，教师没有直接给出评价，而是让学生说说你将选择哪种方法，并说出选择的理由：学生普遍认为用“把减数49看作50”计算更为简便，其中也包括了第一种想法的那位学生．)
(3)198—74(班上绝大部分学生把减数74看作80先减、再加上6算得124；也有学生把减数74看作100先减、再加上26算得124；还有学生是把被减数198看作200，用200减去74后再减去2算得124；特别地，有学生认为用“数位对齐、直接相减”的方法计算很简单，因为被减数的个位和十位上的数都是够减的．该生的这种想法赢得同学们的赞同，通过不同方法的比较，学生自己体会到一般情况下把“减数”凑整，能使计算简便些．)
(4)315—89(学生普遍是这样算的：315—100＋11＝226，使减法简算的一般方法得到巩固．)
师：你觉得什么样的题目能简算?你能举个例子吗?(大多数学生认为，当减数接近整十、整百数的时候，把它们看作整十、整百数计算起来比较方便，列举出类似上面的减法简算题．但也有学生从减法的简便联想到加法简算，列举出这样的式题：245十99．教师趁机激发学生思考——)
师：××同学认为“245+99”这题也能进行简便计算的，你们同意吗?你们能进行简算吗?请试试看．(全体学生积极地尝试计算，之后，小组内部进行相互交流——)
师：你们怎么会去这样进行计算的?
生：因为前面计算减法时，对于减数接近于整十、整百的数，我们把它看作整十、整百数来计算．那我就想，加上一个接近整十、整百的数也可以把它看作整十、整百数计算比较简便，不过，多加了要减去．
师：你们不仅学会了，而且是学活了．下面的题目怎样计算比较简便?
(1)256＋96
(2)999＋243
通过第(1)题的练习，使学生巩固加法的速算方法；第(2)题的练习，使学生体会到加法速算有别于减法，被加数接近整十、整百或整千时也能进行简算，防止学生思维的定势．
最后，在让学生完成几道加减混合的简算题后，教师出示“王老师给学校买图书用了198元，买体育器材用了97元．他带了300元，还剩多少元?”让学生解答，并让学生充分展示计算的过程．对于学生在计算“198+97”时自觉地进行简算给予积极评价，使学生体会到数学知识在解决实际问题中的作用，同时也体会到学习成功的愉悦．
整个学习过程，学生都积极主动地参与，在自主探究的学习活动中，自己发现知识规律，不仅学会加减法速算的方法，而且数学思维得到较好的发展．

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【教学反思】
与通常的教法进行比较，取得良好教学效果的主要原因有：

1．切入学生的生活经验．
通常教法中的复习引入，教师让学生进行填数及口算加减整百数练习，只是在为教师“教”例题作准备，没有很好地切入学生的生活经验，为学生主动地“学”做准备．与通常的教法相比，此课引入是颇具新意的：首先由电脑出示4箱橘子，其中3箱每箱100个，另有一个箱子有56个，让学生从中取出198个，鼓励学生自由地思考“取”的方法．结合不同取法的交流，电脑进行取橘子过程的演示，使学生直观又深刻地体会到，先取2箱(200个)，再放还2个的取法最简便．由于教师所设计的问题情景，贴近学生的生活实际，情景中的问题是开放的且能向学生提出智力挑战，所以，引起学生的兴趣，学生的思维一下子被激活 大家凭借已有的知识和生活经验，多角度地进行思考，成功地解决了问题．而解决问题的思维活动中，隐含着“多减要加”的思想方法，为学生主动探究加减法速算的算理提供了鲜活的生活原型．

2．重视学生的自主探索．
通常的教法，教学的重点在于让学生明白速算的道理，能比较熟练地进行有关加减法的一些速算．因此，教师在教学中往往按照教材的编写，先告诉学生在计算加减法的时候，如果加数或减数是接近整十、整百的数，把它们先看作整十、整百的数计算起来比较方便；接着出示例题，引导学生思考多加了应该怎办、多减了又该怎么办?使学生明白算理，学会计算．这种教学中，多的是教师的传授，少的是学生的探索，即使学生接受和掌握了速算的方法，也不会从内心产生成功的愉悦．这节课的教学重点则在于让学生自己发现加减法速算的算理，掌握速算的方法，获得自主学习的成功体验．教学中，在学生用巧办法很快地从箱子里取出198个橘子后，教师接着提问：从356个橘子中取出198个，还剩多少个橘子，你会列式计算吗?让学生独立自由地尝试计算．面对“356—198"这个算式，许多学生习惯地列竖式计算，有的学生借助头脑中的竖式进行计算，也有学生受前面巧取橘子的思考方法的启发，列式：356—198＝356—200牛2＝158．学生充分展示自己的计算过程，通过不同方法的比较，自己发现并掌握减法速算的方法．之后，教师又放手让学生自编速算题目，结合学生编题中出现的“245十99”这种新情况，让学生思考怎样计算比较简便，学生自己与前面的减法速算进比较，发现“多加要减”的道理，不仅很快掌握了加法速算的方法，而且，从整体的高度领悟加减法速算的思考方法．这样教学，切入学生的生活经验，贴近学生的思维实际，符合学生的认知规律，学生学得轻松、学得主动、学有创造、学有发展。

3．促进学生的思维发展．
通常的教法，把教学的落脚点放在学生能熟练地进行加减的速算上，因此，往往在讲解完例题后，就进行大量的模仿性的练习．这种机械模仿的练习做得越多，学生的思维就会越僵死，到最后将加减法速算题综合在一起时，部分学生就晕头转向了．新的教法，把教学的着眼点放在学生数学思维的发展上．不仅让学生通过自主的探索，自己发现加减法速算的算理、掌握速算方法，而且在练习设计中不断进行题目的变式．例如，正当学生用“多减要加”的方法很快进行计算时，教师顺着出示“198—74”让学生计算，结果有好多学生囿于思维定势；也有学生将被减数198看作200，用200减去74后再减去2；还有学生发现数位对
齐直接相减反而简单，因为被减数的个位和十位都是够减的．通过不同方法的比较，学生体会到要认真审题，根据具体题目的特点灵活地进行计算．又如：“王老师给学校买图书用了198元，买体育器材用了97元．他带了300元，还剩多少元?”面对问题，学生进行多角度的思考，有的在计算共用去的钱“198+97"时采用速算法，再用"300—295”时直接口算，也有的先分别算出"200—198”和“100—97"，再把2和3相加．学生自觉地将知识运用于解决生活实际问题，同时，思维的灵活性和创造性得到培养．我想，进行这样的练习，虽然学生计算题目的量没有通常教学中的多，但其效果远胜于机械重复练习的几十题，因为学生的思维一直伴随着习题而深入展开，数学教学的重要目的之一，就是要促进学生数学思维的发展．

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潘小明 长方形和正方形的周长教学实录

1．电脑出示：三个花坛（图略），三个小朋友先后绕各自的花坛（三角形、四边形、五边形的花坛）走一圈。之后——
师：如果三个小朋友以同样的速度，同时出发绕各自的花坛走一圈。你猜，谁最先走完一圈？请用1个手指表示选择绕三角形花坛的小朋友最先回到起点，2个手指示选择绕四边形花坛的小朋友最先回到起点，用3个手指表示选择绕五边形花坛的小朋友最先回到起点。
在经过观察和思考后，大家用打手势的方法表示出自己的选择。大多数学生选择了1，也有选择2或3的。
师：看来，大家的选择不尽相同。面，请前后6人为一个小组，说说各自选择的理由。
生1：三角形花坛虽然只有三条边，但是，它的每条边都是很长的，而五边形花坛虽然有五条边，但是每条边都是很短的，所以，我认为绕五边形花坛走的朋友最先回到起点。
生2：我也觉得绕五边形花坛走的小朋友最先回到起点，因为五边形花坛的一条边是三形花坛一条边的一半，三角形花坛还多出半条边，所以，绕五边形花坛走的小朋友最先回到起点。师：如果五边形花坛的边长真的是三角形花坛边长的一半，那么，绕五边形花坛走的小朋友最先回到起点。可是，我看上去好像是超过一半的。
生3：我认为绕四边形花坛走的小朋友会最先回到起点，因为四边形花坛的四条边都比较短的。
大家互相争执着，谁也不让谁。这时，教师让电脑演示，同学们的眼睛注视着屏幕上的三个小朋友。随着绕四边形花坛的小朋友最先回到起点的瞬间，学生中发出“耶——，我猜对啦！”的欢呼。
生2：老师，我刚量错了。
师：你刚才是怎样量的呢？
该学生重新进行演示。原来，他是举着一把直尺，手指指着尺上的刻度，按着同一角度，眯着小眼睛在进行着远距离的测量。
师：这样测量的误差是很大的。不过，你挺会动脑筋的！
师：猜对了，当然很高兴。可你们知道其中的原因吗？
生1：五边形的边比三角形的边短，可四边形比五边形还少了一个边。
师：那三角形比四边形还少一条边呢？
生2：是看距离。
师：是看什么的距，是看一条边的长度吗？
生2：不是的。是看整个图形的——周长。
师：（故作听不懂地）他刚才说了哪个词？
有位学生指着手中的尺说，说了这个“尺”，逗得家乐呵呵地笑开了。这时，其他的学生补充说，他刚说的是“周长”。教师结合回答板书：图形的周长。师：周长——，是什么意思？你能结合刚才的花坛来说说周长的意思吗？
生1：周长就是每条边长度的意思。
师：那么，一个三角形有几条周长？
生1：三角形有三个周长。
话刚出口，一些学生笑了，并表示不同意，说三角形有一个周长。
生2：三角形的周长，是指三角形三条边长度的总和。
结合回答，电脑进行演示，先去花坛显示出三角形，再顺次出示三角形的三条边。
师：四边形的周长指的是什么呢？五边形呢？
生3：四边形的周长是指四边形四条边总共的长度。五边形的周长是指五边形五条边长度的总和。
结合回答，电脑显示出四边形、五边形的周长。
师：上课之前，我说过你们自己会发现新知识的，事实证明你们是行的！“周长”这词是你们说出来的，而且经过交流，相互启发，用自己的话正地说出什么是图形的周长。

2．师：（电脑出示三角形三条边的长度）请说出三角形花坛的周长。
生：三角花坛的周长是39米。
师：（电脑出示四边形四条边的长度）请说出四边形花坛的周长。
生：四边形花坛的周长是（11+9+6+8）34米。
师：（电脑出示五边形五条边的长度）请说出五边形花坛的周长。
数据刚出示完，有些学生激动地说出五边形的周长是37米。
师：你们的计算速度真快！你们是怎样算的？
生1：我是先记住一个数，等到再出来一个数时加起来，记住后再加后面出来的数。
师：和我的方法样。求五边形的周长只要把它的五条边的长度加起来。你们都是这样的吗？
生2：我是这样想的：有三条边都是7米，两条边都是8米，所以，我先用7乘以3等于21，再用8乘以2等于16米，所以，周长是37米。
师：你们真会动脑筋！不仅会计算周长，而且还能根据数据特点，灵活地计算出图形的周长。
师：同学们，三角形的周长我们知道了，四边形的周长我们知道了，五边形的周长我们也知道了。我们所学的图就是三角形、四边形和五边形吗？
生：还有六边形、七边形、八边形……
师：同学们，我想问一下，六边形的周长指的是什么？七边形呢？八边形呢？
生：六边形的周长指的是六条边一共的长度，七边形的周长指的是七条边长度的总和，八边形的周长指的是八条边长度的总和。

3．师：除了用线段围成的三边形、四边形、五边形、六边形等图形外，还有其他的图形吗？请画一画，并指出它的周长。
在学生各自动手画图同时，教师让学生在黑板上画。有的画了五角星，有的画了一个菱形，还有一个学生画了个半圆形（图略）。师：这个图形有周长吗？
生1：半圆形是没有周长的，因为我们都是量直线的。
生2：你别看这个半圆形是一笔画成的，可是，它也是——也是一个形状呀！
师：是形状总是有周长，你是这个想法吗
生2：是的。
生3：因为每个图形都有边，所以应该是有周长的。
生4：我得应该有周长的。
师：那怎么算呢？
生4：我觉得是很小的，应该是零点几。
生5：我觉得这个图形没有周长的，因为这个半形上面的线是弯的，我们没有办法去量它的长度。
师：噢——，这位小朋友认为没有办法去量它的长度，所以这个图形没有周长。
这时，同学们情绪激动地争开了，有些学生情不自禁地喊着：有，有的
生1：可以用半圆形的尺来量。
师：你们看到过半圆形的尺吗？
许多同学都说有的，就在此时，有位学生高举起一把量角器说“这就是半圆形尺，可以量半圆形的周长的”。引起会场内的一片笑声。
师：（从小朋友手中接过量角器）这是一个量角器，是用来量角度的大小的，我们小朋友以后学习的呢！
师：这条弯线的长度是不好量的，看来——还是刚才的小朋友说得对，是没有周长的。
生2：不对，是可以量的。因为半圆形是把一条直线弯一弯就行了。
师：听明白他说什么了吗？
生3：听明白了，只要把半圆形的线弯直了，就可以量了。
师：我们小朋友很好，不但自己积极开动脑筋，而且还能认真倾听别的同学发言，得到启发。
教师边说边随手用一段电线紧贴着黑板上的半圆形围了起来，然再把围成半圆形的电线拉直成线段，测量出它的长度，问学生测量到的长度是什么。学生回答说是这个半圆形的周长。
生4：老师，我有一个问题，这圆形有没有周长？
教师没有直接作出回答，而是把问题抛向了大家——
师：小朋友，你们说说圆形有没有周长？
许多的小朋友几乎是异口同声地回答：有——
师：刚才有同学说，是图形都有周长，对吗？
同学们回答：对！
师：不管是角形、四边形、五边形，还是黑板的五角星、半圆形等，是图形就有周长，对吗？
众学生语气坚定地回答：对！
师：这话是你们说的？
众学生又一次响亮地回答：是！
师：们对自己所说的话是要负责任的，敢于负责任的把手举起来。
同学们勇敢地高举着手，教师转身在黑板上画了一个角。
师：这个图形有周长吗？
有的说“有”，有的说“没有”。教师让一位说“有的”的小朋友去指出“角”这个图形的周长。该生指着角的两条边说，只要把这两条边的长度加起来。他的回答，引起其他一些同学的反对。
师：周长的“”是什么意思，我们小朋友经常会在操场上跑一周或者说一圈，是什么意思？
生5：一周是连起来的。
师：（指着角）这个图形有没有连起来？什么样的图形才有周长？
生6：一个要连起来的形，也就是封闭图形，才有周长。
师：是呀！一个封闭图形周围长度的总和，是它的周长。

4．师：给出一个图形，你会计算出它的周长吗？
出示：（图略）
让每个学生各自独立思考，动手测量，并尝试计算上面各图形的周长。之后进行汇报和交流——
师：当你看到这个题目时，说说你先是怎样想的，再是怎样做的。
生：我先看这个图形是不是一个封闭图形，是封闭图形的，我再去量出每条边长，计算出周长。
师：好！请汇报。
生1：第一个是三角形，量出的边长是2厘米3厘米和4厘米，它的周长是9厘米。
生2：第二个图形是四边形，它的四条边的长度是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，周长是10厘米。师：（指着长方形）这个图形你量了几条边，它的长是多少？
众学生积极举手，有的嘴里发出“唉、唉”的声音，以引起老师对他的注意。
生1：我量了两条边。
师：还有不同的方法吗？
有少数几个学生举起了手
生2：我量了四条边。
师：我也这样想的。因为长方形的周长是指四条边长度的总和，所以，要量出它四条边的长度。从周长概念出发思考问题，好！
生3：他这样量太繁了，因为长方形有两条边是一样长的，量四条边是浪费时间。
师：你们觉得这位小朋友回答得怎样？
许多小朋友都说“好”。
师：是好。好就好在他运用以前学到的知识——长方形的两组对边分别相等，只需量出两条边的长度，就能计算出长方形的周长。同学们，你们都知道他量的是哪两条边吗？
生4：只要量长方形的一条长和一条宽长是5厘米，宽是3厘米。
师：知道长方形的和宽，你能列式计算吗？
生1：先算5乘以2等于10，再算3乘以2等于6，再用10加6等于16厘。
结合回答，教师板书综合算：5×2＋3×2=16（厘米）。
生2：我是先算5加3等于8，这是一条长与一条宽，长方形还有一条长与一条宽，所以只要用8乘以2，等于16厘米。结合回答，教师板书综合算式：（5＋3）×2=16（厘米）。
生3：我觉得从5里拿出1去给3，这样都变4，四四十六。
师：你真会动脑筋，进行起巧算来了。好！

5．师：同学们，我们一起来看屏幕上的图形。有的四边形，计算它的周长必须量出它的四条边的长度；有的四边形，计算它的周长只需量出它的两条边的长度；有没有这样的四边形，计算它的周长只需量出它的一条边的长度？
同学们积极思考着，不一会儿，大家争着要求发言有些学生忍不住说出——正方形。
师：（随手在黑板上画了一个正方形）这个正方形的边长是10厘米，它的周长是多少，怎样计算？
学生很快回答出10乘以4等于40厘米
生：还有菱形，只要量出一条边的长度就能计算出它的周长。
师：你还认识菱形，回答正确，真了不起！
师：同学们，下课的铃声响了，是下课还是继续上课？
生：（众学生）继续上！
师：好！就听大家的。
出示：（图略）
计算草坪的周长。
师：用怎样的方法很快能计算出它的周长？生：用24加16的和再去乘以2。
师：这样计算好在哪里？
生：因为24加16是整数。
师：24和16本身都是整数，整数加整数当然是整数！
生：不是的。因为24加16的和是整十数，这样计算就方便了。
师：有道理。我们小朋友不仅能计算出草坪的周长，而且还动脑筋用简便些的方法，真行！
师：如果从草坪中划出尽可能大的一块，用来造一个正方形花坛，你能知道花坛的周长是多少吗？这个问题，课后你们可以去思考。

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潘小明 乘法分配律教学实录

【教学内容】九年义务教育六年制小学数学第八册。

【教学过程（课堂实录）】
??师：同学们，我们已经学习了乘法的交换律和结合律。今天，希望同学们能探究发现乘法的又一个新知识。（简洁的导入，给学生以期待，激发起学生探究新知识的欲望）
??电脑出示：
??师：买3套这样的儿童服装应付多少钱呢？你能用几种方法解答？请列式计算。
??学生各自独立计算，不一会儿，纷纷举手。
??生1：我先算出一套服装的价钱，再求出三套的价钱，算式是括号5加4括号乘以3。
??师：（结合学生回答进行板书，并故意地——）你列的算式里共有几个括号？
??生1：这样说吧，5与4的和乘以3，得数是27。买3套服装应付27元。我的另一种方法是：先分别算出三件上衣和三条裙子的价钱，再算出三套服装的总价钱。算式是5乘以3的积加上4乘以3的积。〔结合学生回答教师板书：（5＋4）×3；5×3＋4×3〕
??生2：我的方法是： 5＋5＋5＋4＋4＋4＝27
??生3：我的方法是： 5＋4＋5＋4＋5＋4＝27
??生4：我觉得这两个同学的想法与前面同学的两种想法是一致的。但是，上面的算式比较简单。（众生点头以示同意）
??电脑出示：小强摆木块，每行摆6个绿木块，8个红木块，共摆了4行。
??师：请你想象一下，小强是怎样摆的？结合学生回答，电脑逐步出示下图。
??师：小强一共摆了多少个木块？你能用几种方法解答？
??学生再次各自列式计算，并很快说出两种不同的思考方法和算式，结合学生回答教师接着上题板书如下：
??（6＋8）×4 ；????6×4＋8×4
??这里，教师直接提出“你能用几种方法解答？”，其目的是让学生在经历了两种不同思考方法的计算后，便于学生发现新的知识规律。同时，产生这样一种体验，乘法分配律的知识存在于实际问题的解决中。
??师：从上面的算式中你有没有发现什么规律？
??同学们的双双眼睛注视着黑板上的算式，在寻找着其中的规律。渐渐地，一些学生举起了手，有些学生开始有些激动，急着与周围的同伴说起了悄悄话……此时，教师没有急于指名学生个别回答，而是——
??师：（惊奇地）你们真的发现了这些算式中隐含着的规律，请与你的同桌交流一下，好吗？
??教室里的气氛一下子热烈起来了，同学之间指点着、交流着，一些心急的同学忍不住又高举着小手。
??师：从大家的神态和脸部表情中，老师知道你们一定觉得自己发现了什么规律。同学们，你们发现了什么，我能猜到。不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，是一种猜想而已。你们能再
举些例子对自己的猜想进行验证吗？
??同学们认真地在本子上任意地写着算式，进行着计算。很快地举起了手，积极地汇报自己验证的结果。
??生1：（8＋3）×4＝8×4＋3×4
??生2：（5＋1）×3＝5×3＋l×3
??生3：（l＋9）×5＝l×5＋9×5
??生4：我觉得不一定对的。我也举了例子，（l＋l）×7≠7＋1×7
??该生的回答，引起了轩然大波。许多学生问道：左边算式的答数是几？右边算式的答数是几？这两个算式你说相等吗？通过这个小小的计算失误，同学们更加坚定了自己的发现是正确的。
??师：从同学们举的大量的例子中，可以确定你们的发现是正确的。
??生5：老师，虽然举了许多例子，可万一还是碰巧，怎么办？
??该生的这一提问，还引来了一些学生的赞同：“是呀，万一还是碰巧呢？”教师被这意外的“一问”问住了，稍后——
??师：会有这种“万一”吗？你能举出一个反例吗？
??教师的反问，引起同学们的深人思考……
??生6：不可能有反例出现。以“（8＋3）×4＝8 ×4＋3 ×4”为例吧，左边算式括号里算得11，表示有11个4，右边算式的“8×4”表示有8个4、“3×4”表示有3个4，加起来共有11个4。等号两边的算式形式不同，但它们的意思是相同的，都表示11个4，所以是相等的。其它的式子，道理是一样的。
??师：同学们还有不同意见吗？
?（众生摇头，以示没有意见）
??师：你们发现的这个知识规律，叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律？请同桌再交流一下。
??学生积极地与同桌交流着，又踊跃地参加集体交流。
??生1：把括号里的两个数加起来后乘以一个数，等于把括号里的两个数都去乘以一个数，再把乘出来的积加起来。
??生2：乘法分配律是：左边把两个数加起来乘以乘数，等于括号里的一个加数乘以乘数加上括号里的另一个加数乘以乘数。
??师：你们想表达的是这样的意思吗？（教师板书：两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。）
??师：这叫做乘法分配律。能用字母来表示乘法分配律吗2[结合学生回答，教师板书：
?（a＋b）×c=a×c＋b×c
??师：对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样——（稍等）简洁、明了。这就是数学的美。
?【对于乘法分配律的教学，教师没有把重点放在数学语言的表达上，反复地进行所谓的严格、准确和简明的表述，而是把重点放在让学生通过多种方法的计算去完整地感知，对所列算式进行观察、比较和归纳，大胆提出自己的猜想并举例进行验证……。只有经过这样的探究活动，学生才会真正有所体验，才能建构自己有意义的知识，用语言表达乘法分配律也就水到渠成。】
??师：请运用乘法运算定律，回答下面各题：
??①（32＋25）×4 = □×4＋□×4
??②（64＋12）×3 = □×□＋□×□
??③25×（4＋9）= □×□＋□×□
??④75×64 = □×□＋□×□
??前面三题，学生很快根据乘法分配律正确地填数。由于第④题是开放的，有的把75写成两个加数的和再乘64的形式，也有的将64拆成两个加数的和再乘75的形式等，再运用乘法分配律进行填数。
??师：选择。请用手势表示正确答案的编号。
??与 25×（4×8）相等的算式是（??）。
??①25×4＋25×8； ②25×4×25×8； ③25×4×8
??全班学生中有一位选①，三位选②，其余都选③。通过辨析，学生更加清楚乘法分配律的内涵及与乘法结合律的区别。

成功点击
??在整个探究发现乘法分配律的过程中，教师没有采用简单的一问一答的方式，把知识规律展示给学生，而是适时地给出一组问题：从上面的算式中，你有没有发现什么规律？这些算式中真的隐含着规律，请与你的同桌交流一下，好吗？不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，能再举些例子进行验证吗？让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，学生不仅发现乘法分配律的知识，而且学习科学探究的方法，数学思维的能力得到了发展。

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潘小明 “质数与合数”教学实录

师：(电脑出示三个同样的小正方形)每个正方形的边长为1，用这样的三个正方形拼成一个长方形，你能拼出几个不同的长方形?
学生独立思考——
生1：我能拼出两个长方形。
师：说说是怎样的两个长方形。
生1：是横着的一个，还有竖着的一个。
师：横着的这个长方形的长是几?宽是几?
生1：长是3、宽是1。
师：还有一个呢?
生1：还有一个长方形的长也是3、宽也是1。
学生中发出“啊”的声音，以表示不同意这种说法。有些学生帮助纠正说“长是1、宽是3”。
师：这无关紧要，反正长方形相邻的两条边，一条叫长，另一条就叫宽。
师：同学们，这两个长方形实质上是怎样的?
生：实质上是同样的长方形，只是放的位置不同。一个是横着放，另一个是竖着放。
师：是呀，我觉得还可以斜着放。其实，我们只能拼出一个长方形，它的长是3、宽是1。（电脑演示：将三个同样的正方形拼成一个长方形，接着出示了四个同样的小正方形。）
师：这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形?
学生各自独立思考、想像后举手回答。
生1：一个。
师：也只能拼出一个？请说出该长方形的长和宽。
生1：长方形的宽是1、长是4。
生2：我认为还有一个，它的四边都是2。(话音刚落，学生中议论开了——)
生3：他说的是正方形，我认为是对的。因为正方形是特殊的长方形。
师：正方形也属于长方形，是一种特殊的长方形，所以，用4个同样的小正方形可以拼出几个不同的长方形?(结合学生回答，电脑演示出拼成的两个长方形。)
师：同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形?
【学生独立思考着，过了一会儿，有学生在纸上画了起来，渐渐地，越来越多的学生也拿出笔在纸上画了起来，这是我未曾想到的。但为了尊重学生自己的思维方式，我给出一定的时间让他们画。但是，我又不能让学生将大量的时间花在画出所有不同的长方形上面。因为引导学生进行空间想像及利用长方形面积计算方法进行数学地思考，促进思维的深入发展，这才是更加重要的。于是，我就进行教学调控。】
师：我看到许多同学不用画就已经知道了。
【我说这话的目的既起“暗示”作用——暗示学生不需将各个不同的长方形一一画出，也有办法知道“能拼出几个不同的长方形”；又起导向作用，让学生思考其他的方法或策略。我这话还真见效，一些学生立即停笔思考，很快有许多学生积极地举着手。】
生1：能拼出三个不同的长方形。
师：是怎样的三个呢?
生1：长是12、宽是1的，还有长是6、宽是2的和长是4，宽是3的三个不同的长方形。
师：你们能想像出拼成的这些长方形吗?
生2：第一种是把这12个正方形摆成了1排；第二种是每排6个，摆2排；第三种是每排4个，摆3排。
师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数——，你觉得会怎么样?
学生几乎是异口同声地说：会越多——
师：(装作没听清楚)给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——(同学们清楚又响亮地回答“越多”。)
【此时，教师一声不吭，保持着沉默。课堂一下子沉静了下来。此时无声胜有声。同学们认真地思考着……又过了一会，学生间开始有点“骚动”，渐渐地，一些学生高举着手——】

……