夏青峰小学数学教学专辑

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夏青峰简介

夏青峰，男，1971年1月生，1989年参加教育工作。本科学历，中学高级教师，江苏省特级教师，华士实验学校副校长兼国际部主任。先后被评为江阴市十佳科技青年，江阴市第十三届人大代表，无锡市师德高尚好园丁，无锡市首批学科带头人，无锡市名教师，无锡市学术技术带头人第二批培养对象，中国苏霍姆林斯基教育思想研究中心常务副秘书长、江苏省教科院基教所兼职研究员。

1997年，分别获无锡市、江苏省小学数学教学比赛一等奖第一名，并代表江苏省参加全国第三届小学数学课堂教学观摩会，荣获一等奖第一名,为江苏省问鼎全国教学比赛一等奖开了先河。应邀到北京、上海、广东等地上课讲学六十多场。课堂教学实录多次在中国教育电视台播放。在省级以上发表教育教学论文一百多篇，参编教育书籍四十多万字。一篇论文在省教育厅组织的“教海探航”论文评比中获一等奖数学学科第一名。另有4篇论文在省级论文评比中获得一等奖。被省教研室吸收成为新课程标准苏教版小学数学教材的编写组成员、苏教版小学数学教学网论坛版主。

2003年在《江苏教育》杂志上连续发表了10篇《全国义务教育数学课程标准学习辅导讲座》的进修文章，引起了一定的反响。《江苏教育》2002年第2期B版以《走近夏青峰》为标题，发表了其教学思想与经验的长篇报道。2004年暑假，作为“义务支教团”成员，深入西部地区进行了十多天的义务讲学活动，《人民日报》以《投进西部的阳光》为题作了长篇的专题报道。2005年第2期的《小学青年教师》开辟了“夏青峰专辑”栏目，作为封面人物介绍，刊登了其系列文章。

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走在路上的感觉

夏青峰

我是一个行者，步履轻盈，走在教育的路上。脸上常带笑容，心中充满阳光。我愿罄行囊中的所有与你分享———我的同行者！
———题记



我喜欢在路上的感觉。
1997年，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，以无可争议的最高分，赢得了一等奖第一名。那一年，我27岁。当掌声和鲜花向我涌来时，我知道，我其实还在起点上。我刚刚开始行走在教育的路上……

我想飞，却怎么也飞不高

“我是一只小小鸟，想要飞，却怎么也飞不高……”刚踏上工作岗位时，最喜欢听的就是赵传的这首歌了，也许它就是我当时内心真实的写照吧。
老实说，走上教育这条路，并非内心的渴望，而是命运的安排。初中毕业那年，我被当地最有名的省重点中学以高分录取，但考虑到经济问题，县教育局的好心人把我换到家乡的师范学校。1989年，师范毕业的我回到了自己曾读书的农村小学，开始了一个乡村教师的生涯。第一次教师会议的情景至今记忆犹新：杂草丛生的校园里，校长坐在一个大石块上，我们七八个教师坐在几个小石块上。因为地上积着水，所以大家都赤着脚，裤脚卷得老高。校长布置，下午每人带好扁担、绳子，到几里以外的河滩边把学生的课本挑回来……晚上，学校只剩下我一个人，头顶除了几声归巢的鸟叫，静得叫人心里发慌。和衣躺在小房间里，看着清冷的月光从纸糊的窗缝冷冷地落在床前，胸中就会升起难以排遣的孤独。我不断地问自己：这难道是我一辈子生活与工作的环境吗？多少个夜晚，我站在山坡上对着旷野抒发“对酒当歌，人生几何”的感慨。
不行，我不能因为环境的不如意而沉沦，骨子里那种不服输的劲头又从我的心底涌起。我不能在这个平凡而又狭小的天地里磨平自己的棱角，我不能在搬砖挖井的体力消耗中泯灭我的智慧！我要走出去，我要考研！就这样，我为自己树立了新的学习目标。白天，忙完工作就拿起书本；夜晚，在昏黄的灯光下我阅读到深夜，《教育学》《心理学》《外国教育史》……一本接一本地读，一篇接一篇地背，床边案头总是整齐地摆放着厚厚的书本，保尔、简·爱、海伦就是这时走进了我的视野，多少个晨昏我就是和他们一起度过的。在书中，我寻到了一方快乐的天地。
各种各样的书读得多了，考研的志向却渐渐淡出了我的心海。我感觉到自己的心正变得宁静起来，眼前的旧房枯树在阳光下也变得明亮起来，就连孩子们那冻得红红的小脸，那因贪玩留在脸上的泥道道也变得美丽起来。我开始喜欢这份工作。白天，和孩子们一起背诗歌，教他们练气功；夜晚，很多住得近的孩子来到我的身边，我们坐在校外的一个山坡上，一起讲故事、唱歌、做游戏。柔和的月光、斑驳的树影、一个小伙子与十多个孩子，这是至今还定格在我脑海中的优美的教育画卷。虽然在同事的眼中，我是一个“小”老师，但同学们却很喜欢我的课。没有刻意追求过方法的新颖，也没有刻意探讨过教育的规律，蜷缩在穷乡僻壤的我更没有看到过教学的最新动态，想像中，学生怎么学能轻松、能快乐、能学会，我就怎么教！因此，很多方法都来自于自己的灵感或者是自己突发奇想的创造。因为尽力追求课课不同的教法，所以，孩子们对我的课总是心存期待。那时候，让学生喜欢我、喜欢上我的课是我最高的追求。
虽然已经定下心来教书，但那颗想飞的心，却从没放弃过对蓝天的渴盼。

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你会成为一个优秀的教师

在农村小学教书，工资低得可怜。为了不像父亲那样教学一辈子却仍固守着清贫，我经常利用假期外出打工。1991年暑假，我来到举目无亲的广州，做过饭店里的服务生、工厂里的电焊工，露宿过街头。1992年暑假，我跟随民工在苏州帮别人拆房子。炎炎烈日下，赤着上身，站在墙头上挥舞着大锤。避开繁华的街道，满身污垢的我，低着头拉着板车在小道上吃力地跑着。那次在房顶上拆横梁，稍微一用力，脚下的椽子断了，整个人迅速地向下沉，幸亏抓住了旁边的一块木头，才捡了一条命。
虽然做的是打工仔，虽然生活多磨难，骨子里却忘不了自己是一名教师。每到一处，劳动之余，伙伴们谈笑戏耍、游山玩水，我却喜欢看看附近的学校。一次次徘徊在那美丽的校园外，一次次羡慕地盯着那偶尔进出的老师。1993年暑假，我又来到苏南打工，本想到闻名遐迩的华西村看看，但却在一个炎热的午后走进了华士中心小学。站在华士校门口，我凝神地盯着这个整洁的校园。
“你找谁？”身边有人问我。
“找你们的校长。”我脱口而出。说这句话的时候，自己也吓了一跳：我有什么资格找校长呢？既然说了，也就忐忑不安地顺着那位教师的指点来到校长室，见到了改变我人生命运的吴辰校长———一位慈祥、平和、睿智的校长。
“你找我有什么事？”
“我是教师，我羡慕你们这里有这么好的学校。”
“想到这儿来当教师？”
“是啊，不知你们这里缺不缺教师？”
“教师不缺，但缺好教师。”
“我———”我泄气了。一个偏远农村小学的老师，一个正在打工的老师，哪有什么优秀可言？
“我看得出，你会成为一个优秀的教师。欢迎你到我们学校来工作。”
让我来这里工作？这实在是我想不到的！更叫我意想不到的是———9月，当我带了简单的行李来华士中心小学报到时，吴辰校长早在校门口迎候我了。热情的接待之后，吴辰校长请我到她家共进晚餐，问暖问寒；让后勤为我打扫宿舍，安排床铺……
永远忘不了那一节课。那是刚到华士中心小学不久，我费了很大的气力向学生解释一个概念，可学生就是不懂。无奈，第二节课请来了教导主任帮忙。没想到他只是简单的几句话，学生们就一下子明白了，一个孩子还兴奋地连声说：“好懂！好懂！真简单！”看着学生那茅塞顿开的样子，我的心受到了强烈的震撼。“你会成为一个优秀的教师。”吴辰校长的话又响在耳边。从小不服输的我暗暗告诉自己：“只要你努力，你也能把数学课上得简单、快乐！”于是，很长一段时间内，我成了学校最谦虚的“学生”，反复听老教师的课，一遍遍修改自己的教学设计，全身心扑到了数学教学的研究实践中。身在一线，我真切地体会到教学基本功的重要。为了练好粉笔字，我随身带块小黑板，几乎一有空就写了擦，擦了写；为了练好普通话，我干脆拜江阴电视台播音员为师；为了备好一节课，我苦苦思索，备教材，备学生，多少次备好，又多少次推翻，直到满意为止；为了上好第二天的课，夜深人静时，我还在对着墙壁一遍又一遍“试教”。为了拥有扎实的理论功底，建构属于自己的数学教学思想，我走进了学校图书馆，苏格拉底、卢梭、洛克、苏霍姆林斯基、陶行知等专家学者的鸿篇巨制开始走进我的视野。那是一段更为艰辛的阅读，因为，读理论无疑要有啃书的勇气和耐力。一次次烦躁地放下，又一次次珍爱地拿起，一遍遍对自己说：“读下去，读下去……”
行走在教育理想的路上，心，终于安定下来。

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下届的全国第一就是你了

1994年，我作为列席代表参加了《江苏教育》举办的“教海探航”征文颁奖活动。活动之后，《江苏教育》刊登了一组获奖代表的照片，不知什么缘故，并没有获奖的我竟也被拍了进去。我暗暗下决心，下次“教海探航”的领奖台上，一定会真正有我夏青峰！这种愿望成了激励，成了动力。回到学校后，我对自己的课堂教学进行了深入的反思，并开始大胆地进行很多改革的尝试。一年后，我写出了《让每个学生都能成功地学习》这篇文章，突出了教师责任不在于教，不在于让学生获得多少知识，而在于激励学生产生学习的冲动，在冲动中自我激励，从而自觉地寻找学习方法，体会成功的快乐。现在看来，这些观点大家都能接受了，可在10年前，这些观点实属新鲜、时尚。在几千篇征文中，这篇文章一举夺魁，名列一等奖数学学科第一名。初露锋芒令我信心倍增。我跃跃欲试，渴望在更广阔的领域里一显身手。
1995年，全国第二届小学数学课堂教学观摩会在海口召开，各省小学数学精英荟萃，优课云集，吴辰校长安排我去听课。像一只小船鼓满了风帆，在海口我成了最好问、最“烦人”的“学生”。一同前往的教研室匡老师打趣说：“夏青峰，下届的全国第一就是你了！”一句不经意的戏言，但又被天真的我当成了努力的目标。于是，我把自己的每一节课都当作公开教学准备，努力让学生在每一节课都能达到享受数学的境界，让自己的教学艺术一天天一点点提升。超越自己，超越别人，我暗暗地跟自己较着劲。“要上，就要上得最好！”在这个目标的引领下，1996年，我参加了全国优质课比赛江苏赛区的角逐，从学校的比赛，到江阴市、无锡市的比赛，再到江苏省的比赛，过关斩将，历时一年多，我终于以四次第一的不败记录代表江苏挤进了全国优质课比赛参评教师的队伍。
那真是一段难忘的岁月！一次次备课，一遍遍试讲，一次次修改，我仿佛是一只春蚕在经历着人生的蜕变，“痛苦并快乐着”是我真实的心境写照！多少个夜晚，我独自面对空旷的教室认真讲解，反复揣摩；多少次在路上，我骑车苦思冥想却不得其解时差点被人撞倒。我的脑海中塞满了教学的内容，几乎所有圆形的东西都能让我联想到我的课———圆的周长。匡老师说对了，1997年，在广西南宁市体育场，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，以无可争议的最高分，赢得了一等奖的第一名。周玉仁教授这样评价我的课：“江苏省江阴市夏青峰老师执教的‘圆的周长’，是大家一致公认的一节具有特色的好课……师生之间，配合默契，知情交融；同学之间，合作交流，切磋提高。这是一节教师的主导与学生的主体作用密切配合的好课，也是一节发挥多种教学手段和方法的整合功能的好课，真正地达到了教学过程的优化。真是春风化雨，回味无穷。”
“不应尽力而为，而是全力以赴”，我逐渐悟出了一点成功的道理。远离获奖后的喧嚣和浮华，我让自己在最短的时间内静下心来。有人说思索是一道大门，通向世界上没有的东西，通到现在人类想不到的地方。的确，正是在思索中，我开始建构自己的教学思想：数学是什么？什么是有价值的数学？数学老师首先应该关注的是数学还是孩子的心灵？如何建构人性的数学课堂？思索和实践中，我写出了近百篇的教学论文，发表在国家级、省级教育杂志上，我应邀到广东、上海、北京等省、市讲学60余次，也因此有机会结识了吴正宪、刘德武等名师以及很多一线老师。在与他们的对话和交流中，我督促自己应该更加增强教育的责任感，更加投入到教育的改革实践中。“小夏，你今天的脸色怎么这样不好？”“夏老师，你昨晚又没睡觉？”老师们经常这样询问我。每晚不到12点，我是绝对不上床睡觉的，而且经常是通宵达旦。仅2003年一年，为了工作和学习，我就有20多个晚上没合眼。但我深知，这决不是什么可以拿来吹嘘的资本，比我的投入超出好几倍的小学老师大有人在。应该说，幸运之神对我特别地关照。

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走进帕夫雷什中学

更为幸运的是，2002年和2003年，应乌克兰教育科学院的邀请，我两次走进了帕夫雷什中学。这是苏霍姆林斯基毕生工作的地方，被称为“蓝天下最美丽的学校”。站在大师的办公室里，和大师的儿女、学生以及学生家长的交谈中，我的灵魂一次又一次地受到触动。什么才是真正的教育？什么才是教育者应有的情怀？只有把整个心灵都献给孩子，只有在灵魂深处无限地热爱孩子，我们的教育才会达到它应有的境界。
回国后，在吴辰校长的带领下，我们创办了从幼儿园到高中的15年一贯制的国际部，致力于培养“优秀的世界公民和永远的中国人”。作为国际部的负责人，面对近3000名的师生，我深感自己肩上的压力与责任。不能仅仅关注数学的教改，更要关注整个学校课程体系的探索；不能仅仅关注小学教育，更要走进初中和高中，从整体上思考学校的统筹规划；不能仅仅关注自己业务水平的提高，更要带着老师们一起发展，大家同心、同行、同乐，结伴成长……孩子们虽然身处乡村，但一定要让他们胸怀世界。为了培养他们的世界意识，我积极与加拿大、新加坡、日本、乌克兰等国的著名院校联系，与他们联合办学。为了让老师们更深入地了解和实践苏霍姆林斯基的教育思想，我们在学校举办了“苏霍姆林斯基教育思想的传承与学校教育改革国际研讨会”，苏霍姆林斯基的女儿、乌克兰教育科学院的院长和帕夫雷什中学的校长以及国内的著名学者云集我们学校，和老师们进行面对面的对话与交流……
是的，为了蓝天下那最美丽的学校，为了心灵中这最温馨的家园，我如一名行者，又开始跋山涉水，走在教育的路上……

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（一）

怎样让学生经历数学的过程

    数学新课标，无论是在前言部分，还是在目标部分，都多次提到了让学生“经历……的过程”。如何理解该理念，落实此要求？本人愿结合一些实例谈点体会，并求教于同行。学生有需要吗？
      


[案例1]《简单的统计》教学.
    其间都有让学生走下座位采访听课老师的环节，但两位老师的处理方式不一样。

A教师说：“同学们，我们刚才已对全班同学进行了荤菜口味的统计，大部分同学都喜欢吃炸鸡腿。可是同时吃饭的还有我们的老师呀，成人的口味是不是和我们儿童的口味一样呢？大家说怎么办？（学生马上建议去采访老师）

B教师说：“同学们，我们刚才进行了一些统计活动，现在你们看，台下有很多老师，你们敢去采访他们，对他们进行一些统计吗？小组商量一下，我们可以去统计什么？”
同样是下台采访老师，一个是由于解决问题的需要而去采访和统计，一个是为了统计而去统计，哪一个效果更好呢？还是让学生的学习活动从需要开始吧！



[案例2]《平行四边形面积》的教学。
    教师先进行了一些割补的渗透。尔后出示一平行四边形，引导学生求面积，求到面积后，也有两种不同的学习过程。

A教学：（平行四边形纸片，给出了底和高的数据。）
    师：谁来说说你是怎么求的？
    生：我把平行四边形象这样剪开。（拿着一平行四边形纸片，并演示）拼过来就是长方形了，这个长方形面积就是它的面积。
    师：小组讨论一下，平行四边形的底与高和长方形的长与宽有什么关系？面积呢？
    生：（讨论、汇报略）
    师：所以平行四边形的面积就等于？
    生：底乘以高。

B教学：（平行四边形纸片，没有给出数据）
    师：谁说说你是怎样求的？


生：（汇报同A过程，加了一些进行测量的话，略）
    师：好！你们都会求了！那再试试桌子上的第二块平行四边形纸片，它的面积是多少呢？看谁最快。
         （生继续剪拼、测量）
    师：谁再说说面积是多少？你是怎样做的？
    生：（汇报略）。
    师：咱们再比赛，看谁最快地求出第三块平行四边形纸片的面积。
          （生继续剪拼、测量，有个别同学开始不剪，直接测量了。）
    师：这位同学最快，你能说说你为什么会这么快？
          （生回答，意思是不要剪，直接想象出长方形。略）
    师：你在脑海中完成了拼剪的动作。好！再来一次，求出第四块的面积，看谁最快。
          （大部分学生不再去剪拼，而是直接测量了。）
    师：好！大家都快起来了！你们是怎样做的？
          （生汇报略）
    师：那也就是，只要测量出这个平行四边形的什么，就可以求出它的面积？
    生：底和高。
    师：为什么呢？
    同样是推导平行四边形的面积公式，一个是在教师的引导下，通过观察得出的，另一个是在情急的状态下，急中生智，由学生自己想出来的，由于需要而主动地进行了比较，发现了规律。引导学生经历数学过程，就要多一些这些“迫切需要”的情景！
    学生在体验吗？



[案例3]《长方体的认识》教学

A教学：（先认识生活中的长方体）
    师：拿出你的长方体，观察一下它有几个面？面又有什么特征呢？
          （生观察，并汇报）
    师：再看看，它的棱又有何特征呢？
          （生继续观察汇报）
    师：长方体还有几个顶点？
    生：8个。
    师：谁来完整地说说长方体的特征？

B教学：（先认识生活中的长方体）
    师：好！同学们都认识了长方体，那你能用橡皮泥做出一个长方体吗？
          （生动手做，并展示、汇报和交流）
    师：大家的长方体作品真漂亮。（出示一长方体框架）这是一长方体框架，你们有本事，也能把它给做出来吗？
         （生动手做，并展示、交流。）
    师：老师想请教一下，你们刚才用了几根小棒，用这些小棒有什么特别的要求吗？另外用橡皮泥捏了几个点呢？
         （生汇报交流，师板书棱的有关特征。）
    师：冬天到了，你能象老师这样，给框架穿上衣服吗？（出示一个用纸做面，包好了的长方体）想想看，应用剪刀剪出怎样的纸片？
          （生操作、汇报、交流）
    师：刚才剪出的纸片又有什么特点呢？
    通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度是不一样的，参与的情感也是不一样的，留下的印象更是不一样的。


[案例4]《年月日》的教学

A教法：
    师：同学们，拿出你的年历卡。数一数看，一年有几个月？一个月又有多少天呢？哪几个月是31天？哪几个月又是30天呢？

B教法：
    师：同学们，你知道一年有几月，一月有几天吗？
          （生汇报略）
    师：真好！继北京申办奥运成功后，上海申办世博会又取得成功，全中国人都在期盼着2008年和2010年的到来，你能把2008年或2010年的年历卡提前设计出来吗？想想看，应注意些什么？
        （老师提供出2008年和2010年的元月1日是星期几的数据。）
    学生头脑中已有很多关于年、月、日的知识，如其让他们再对着年历去观察、去发现，还不如让他们先把已有的知识运用起来，在创造性的设计活动中去感悟、去体验很多新的知识点。
    能再创造吗？


[案例5]《分数的意义》教学练习

A练习：

1、  是表示把（  ）平均分成（  ）份，表示这样（  ）的数。

2、判断：把一个苹果分成8份，其中的3份，占苹果的   。

3、下面阴影部分的面积是整个图形的  吗？（图略）

B练习：
        阴影部分是  吗？说明理由！
      你能在下面的图形中表示出更多的  吗？
      理解，是重要的。能够将知识创造性地运用，能够让知识不断地生成和发展，是一种更深层次的理解。


[案例6]《三角形的面积》教学练习

A练习：

1、求下面各三角形的面积（单位：厘米）

底	5	18	9	21
高	4	20	6	8
面积

2、下列三角形的面积是多少？（各个不同的三角形，给出底和高。图略）

B练习：

1、你能画几个面积为8平方厘米的三角形吗？试试看？

2、你能设计出几个面积为8平方厘米的平面图形吗？试试看？
      代入数据的运用，与创造设计的运用，哪一个对学生的思维发展更有帮助呢？


[案例7]《圆柱体》教学总结

A总结：
    师：今天我们学了什么知识？哪位同学能把今天所学的知识完整地总结一下？
      （生总结略）

B总结：
    师：今天这节课，大家表现得真棒。可惜今天张强同学生病缺席了，你们愿意通过电话把今天所学的内容告诉他吗？
    生：愿意！
    师：那想一想，怎样讲，才能让张强同学脑海中一下就能浮现出圆柱体的形象呢？还有哪些注意点要转告他呢？
    知识不能简单地复制到脑中，要把书本知识转化为自己的知识并能创造性地表达出来，教师需要不断地提供机会。

[案例8]《11到20各数的认识》片段：
一：创设情境，导入新知：

[电脑：机器猫]
师：小朋友，你们看，谁来了？
猫：小朋友，你们好，我叫小叮当，今天我想跟你们一快儿学习，你们愿意吗？
猫：太好了，我在学校里也是一个好孩子，已经得到很多小红花了，不信你们数数。
师：小朋友，我们一起来数一数小叮当得到了多少朵小红花，好吗？举起右手，一边打手势一边数。[数到10]

[电脑演示10朵花，第11朵打问号]
师：再往下数就要用到比10更大的数了，今天，我们就来学习比10更大的数，[课题：11—20各数的认识]然后再帮小叮当把小红花数完。

二、实践操作，初步认识11—20各数。
1、建立计数单位“十”的概念。
师：老师为你们每人准备了一些小棒，就在小盆里，数一数你有几根小棒，在桌上排成一排。（小盆里都是12根小棒）
学生汇报，指名2人把小棒拿到讲台上数一边。……

思考：
1、很多时候，我们都注重创设情景，激发兴趣，引出课题。但是正当学生饶有兴趣的时候，我们的教学却嘎然而至，匆忙把学生引入另外一个话题。教学中，我们能否把一个话题做充分一点，以问题为出发点，让孩子切切实实地去解决问题，而不是素材变来变去。为什么这样变，只有教师知道，学生反正跟着后面跑。
2、无疑，数到10，对于学生来说是旧知识了。但是数到11、12，就一定是新知识吗？书本上是新知识点，但孩子的认知结构却未必如此。如果我们试着让孩子数下去呢？至少我们会了解他们真实的知识储备。从孩子的实际出发教学，需从每个细节做起。
3、什么是有价值的数学？
价值是抽象的、相对的和发展的，我们很难给有价值的数学下个准确的定义。但是通过对一些案例的比较分析，我们或许可以从中找到一些启发与感悟。

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（二）

一、 是目的，还是手段？

[案例1]《求两数相差多少的应用题》教学
（老师出示例题：草地上有9只白兔，5只黑兔，白兔比黑兔多几只？）
A教学：
师：同学们会列式吗？谁来试试？
生：9－5=4（只）
师：真好！（板书）谁能说说这里的数字9表示什么吗？
生：9表示9只白兔。
师：不错。那5表示什么呢？
生：5表示5只黑兔。
师：同学们，这里的5并不是表示5只黑兔，而是表示5只白兔。
（学生有些诧异）
师：我们看：这里面是把谁和谁在比？
生：白兔与黑兔。
师：是的。因为白兔多，所以我们可以把白兔分成两部分：一部分与黑兔同样多的部分，另一部分就是比黑兔多的部分（教师在黑板上分别贴上示意图）
（学生跟着老师重复刚才上面的话）
师：这道题要求白兔比黑兔多几只，应该怎样想呢？
生：9减5
师：就是把9只里，去掉哪一部分，剩下的就是白兔比黑兔多的只数？
生：同样多的部分。
师：也就是从9只白兔里面，去掉与黑兔同样多的5只白兔，剩下的就是多出的只数了。
师：所以这里的5，表示的是与黑兔同样多的白兔，而不是黑兔。明白了吗？
谁来说说看？
……
B教学：
师：谁知道多几只？
生：多4只。
师：你怎么知道的呢？
生：5只再加上4只就是9只了。
生：从9里面去掉5，就剩4了。
生：……
师：如果要列成算式，该怎样写呢？
生：9－5=4
生：5＋4=9
师：如果换成6只白兔与12只黑兔呢？
生：……
师：如果是3朵黄花与8朵红花呢？
生：……
师：你们自己也能改换一下数字和东西吗？
生：……
师：做了这些题目后，有什么体会吗？
……

如果我们关注数学的结构与算理多于关注孩子们的认知现实，如果我们总试图训练孩子们的“专家思维”，那么“老师不教我还会，老师越讲我越糊涂”的现象就会逐渐增多，所谓的“数学差生”也就普遍了。本来为孩子们发展服务的数学，竟然让孩子们越学越玄乎……摈弃那些人为的“烦琐分析”，让数学回归本真与简单吧。有价值的数学一定能够给孩子们带来信心与乐趣的。

二、 是别人的，还是自己的？
[案例2]《退位减法》教材
教材上出现题目：34减8得多少？
题目下面写出算式：34－8=□。并在旁边有段提示语言。
A提示语言：
想：4减8不够减，要把34分成20和14。先算14减8，得□；再把20和□合起来，得□。
B提示语言：
1：你觉得34－10=24，能帮助你吗？
2：你觉得8＋6=14，能帮助你吗？
3：你觉得从8数到34，能帮助你吗？

[案例3]《三角形的面积》教学
A教学：
师：请用数方格的方法求出下面三角形的面积。
学生数方格并汇报。
师：数方格是计算图形面积的一种方法，但它毕竟不方便。我们能否也像求平行四边形面积那样，把三角形转化成其他图形来求它的面积呢？
请对以下问题进行小组讨论与合作：
1、 用两个三角形拼在一起，能拼成一个什么图形？
2、 拼成的图形与三角形的底、高和面积的联系是怎样的？
3、 怎样求三角形的面积？
B教学：
师：今天咱们一起研究三角形面积的计算方法。大家手上都有三角形的纸片，你们能想办法求出它的面积吗？
提示：
1、 我们原来学过哪些求面积的方法，它对我们有帮助吗？
2、 我们原来学过哪些图形的面积，它对我们有帮助吗？
3、 今天我们还可以想出哪些方法求图形的面积呢？
数学的价值不在模仿而在创新，数学的本质不是技能而是思想。数学学习的过程不能只是一个遵照指令进行程序操作的过程，而是一个不断地运用自己的知识经验进行自我建构的过程。学生需要的，不是去复制别人的数学，而是去建构自己的数学。

[案例4]《面积》教学
A教学：
师：同学们，摸摸课桌的表面和书本的表面，感觉谁的表面大？
生：课桌的表面大。
师：是的，物体的表面有大有小。物体表面的大小就叫做面积。感觉一下文具盒上面的面积有多大。
学生用手摸文具盒的上面。
师：（在小黑板上出示一个正方形与一个长方形。）这两个图形谁大呢？
生；长方形大。
师：是的。围成的平面图形也有大小。围成的平面图形的大小也叫面积。
    学生跟老师把这两句话读一遍。
    师：能把这两句话合在一起说吗？谁试试？
    生：物体表面或围成的平面图形的大小，就叫做面积。
    师：谁再来说一遍？

……

B教学：
    师：同学们，摸摸课桌的表面和书本的表面，感觉谁的表面大？
    生：课桌的表面大。
    师：对，我们也可以说成是课桌表面的面积大。课桌面的面积与椅子面的面积谁大呢？
    生：……
    师：在这教室里，有什么物体面的面积比课桌面的面积大吗？
    生：……
    师：举例说说看，在这教室里，哪些物体面的面积比较大，哪些物体面的面积比较小。
    生：……
    师：再举举教室以外的例子。
    生：……
    师：怎样比较下面两个图形面积的大小呢？
    （出示一个长方形与一个正方形）
    生：……
    师：大家拿出你们的中国地图，看看我国哪个省的面积最大，哪个省的面积最小。好吗？

……

[案例5]《面积单位》教学

A教学：
    师：通过刚才的学习，我们已经知道了1平方米、1平方分米和1平方厘米究竟是多大了。你们能解答以下问题吗？

6平方分米=（ ）平方厘米
12平方米=1200（ ）

928平方分米=（ ）平方米（ ）平方分米

……

B教学：
    师：咱们知道了1平方米、1平方分米和1平方厘米的大小。谁能很快地撕出1平方分米和1平方厘米大小的纸片。看谁撕得最接近。
    生：……
    师：你们能想象出2平方分米（平方厘米）、3平方分米（平方厘米）……的大小吗？试着把它画出来。不一定要画正方形的形状。
    生：……
    师：观察一些物体，想象一些物体，它们表面的面积大概是多大呢？在小组中交流一下。等会再在全班交流。

……
真正有价值的数学，一定是进入学生内心的数学，而不是浮于一些文字之上。对数学概念的把握，理解它的定义是必要的，但体验它的实际意义与建构心理表象更是不可忽视。而反思我们的数学教学，一直在关注着什么呢？

三、 是促进思维，还是禁锢思维？


[案例6]《两位数乘法》练习

A练习：
    计算下面各题：

43×65=
29×47=
63×75
86×91
29×44


……

B练习：

1、 用计算器算出15×15=？

2、 根据这个结果，不计算，你能知道14×15等于多少吗？14×16呢？

3、 用计算器算出25×25=？根据这个结果，不计算，你能知道24×26等于多少吗？

4、 不计算，你能知道下面的结果各是多少吗？

35×35=？34×36=？

45×45=？44×46=？

……

5、你发现了什么？
       你能表述它吗？
       你能证明它吗？
当我们津津乐道于我们良好的数学基础的时候，是否想过我们为此花费了多少宝贵的时间？是否想过这些究竟对人的生活有多大价值？它对孩子的思维发展是促进了，还是禁锢了？数学课程标准已经作了很大的改进，但是我们的数学课堂呢？大量的机械繁琐的计算练习仍然充斥于我们的课堂。当算术占去了数学的绝大部分内容时，它的价值已经走向了负面……

[案例7]《两步计算应用题》教学
    出示例1：小明和小华到店里买牛奶。已知小明买5瓶牛奶花去15元，照这样计算，小华买3瓶牛奶需花多少钱？

A教学：
    师：要求3瓶牛奶多少钱，实际上就是求什么？
    生：求总价。
    师：总价等于什么？
    生：总价=单价×数量
    师：数量3已经知道，现在关键要知道什么呢？
    生：关键是要知道单价。
    师：怎样才能求出单价呢？
    生：把5瓶的总价除以5瓶的数量。

……

B教学：
    师：能知道答案吗？先试试。
    学生解答。
    师：谁来交流一下你的解法？
    生：……
    师：平时你们到商店买3瓶牛奶，要算多少钱时，怎么想的？
    生：想1瓶多少钱，然后乘以3就行了。
    师：好！谁还有其他解法？

……
我们总是特别注重对应用题的数量关系进行分析，经常好心地为学生总结出了各种数量关系式，让学生记住。遇到什么问题，就运用什么关系式。可是有时候，恰恰是这些数量关系式把问题搞得很复杂，让学生头脑发昏呵。我们反思一下，很多数量关系式究竟是提高了知识的概括水平，还是降低了知识的概括水平？

[案例8]《圆的周长》练习

A练习：

1、求下面各圆的周长：

d=3厘米
d=7分米
d=19厘米

r=5厘米
r=8米
r=4.2分米

2、一个圆形花坛的半径为3米，它的周长是多少米？

3、一个圆形水池，周长是37.68米。它的直径是多少米？

4、 一个圆的半径扩大了2倍，它的周长扩大多少倍？

……


B练习：

1、 用圆规在纸上画一个圆。你能知道它的周长吗？

2、 手指的截面形状近似圆形。量量算算，估计每个手指尖的粗度大约在什么范围之内。

3、 每位同学拿出自己的墨水瓶。有办法知道它底面的周长大概是多少吗？

……
当学生未学圆周长计算公式之前，让他去求墨水瓶底面的周长，兴许他还知道用绳子一绕就行了，但是学习过后再让他去求时，他是怎么也想不到用绳子去绕绕，而是想方设法地测量底面的直径，可测量直径却是很费劲的……教什么，就学什么；学什么，就练什么，数学学习的过程成为了技能不断训练的过程。技能是熟练了，但很多时候思维却僵化了。爱迪生的助手计算灯泡体积时出现的现象，在我们数学教学中也是屡见不鲜……

jsjfxx

小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（三）

数学是什么？

相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好象有点说不过去。但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“……对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧。

一、是客观，还是主观？


[案例1]“含有未知数的式子叫方程。”判断错误，应把“式子”改为“等式”才对，我们一直这样教学生、考学生。可这样改，就是绝对真理了吗？我们从未思考过。张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必准确，实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程，例如，x－x=0，对一切x都对，何必解呢？反过来，把解‘含有未知数的不等式’，称之为‘解不等式方程’，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。”看了这段话，我们有何感想？


[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。判断错误。可是，究竟什么是半圆呢？如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线，那半圆不就是这曲线的一半，这不正好是圆周长的一半吗？把直径纳入进去形成半圆，不就承认圆是一个块而不是线了吗？有一天，我突然醒悟并为此感到兴奋，并和老师们交流，老师们也大呼其对。可是过几天，我还是不放心地去翻了《数学大辞典》，它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。我空欢喜了一场。这个知识点其实是次要的，关键是我们花了那么长时间，去让学生搞懂连自己也不懂的东西，其价值何在呢？



[案例3]“0”一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了。难道数学是可以改变的吗？


[案例4]9月1日，我去随班听课。先是听五年级的数学课，内容为小数乘法的意义。老师花了很大力气去让学生搞清：4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少，4×0.5是表示4的十分之五是多少，4×1.5是表示4的1.5倍是多少。有些学生还是有些糊涂，教师便帮助他们总结规律：要看后面的数是大于1还是小于1。小于1的，就是表示这个数的十分之几、百分之几是多少……大于1的，要看是整数还是小数，是小数的，就是几倍；是整数的，可以有两种表示方法……学生更糊涂了。第二节课去听六年级数学课，正好是分数乘法的意义。又出现了上述情形，只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果无关大雅的话，把4×0.5说成4的0.5倍又何妨呢？！至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。

    袁振国教授说：“数学就是人们的一种主观建构，从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性，但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时，更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态，从客观走向主客观的结合……

二、是形式，还是实质？


[案例5]一年级数学课上，老师让同学们做课本上的一道题。题目是看图列式，左边图上画了一棵大树，树上有5只鸟，树的旁边又画了3只鸟（头朝树）。学生当即写出算式：“5＋3=8”，表示“树上有5只鸟，又飞来3只鸟，一共有8只鸟。”右边图上也画了一棵大树，树上有5只鸟，树旁边有3只鸟，只不过这3只鸟的头的方向是远离树。学生也当即写出算式：“8－3=5”，表示“树上原来有8只鸟，飞了3只，还剩5只。”在一切进行的很顺利之时，一个小朋友站起来说，他列出的算式也是“5＋3=8”。老师很不高兴：“难道你没看见小鸟飞的方向吗？头朝左边，就表示加，头朝右边就表示减……”
    关键的是这种现象并非个别。在教学中，我们老师做过多少次这种人为的规定啊！“实线就表示合并，虚线就表示去掉”、“看见总共就加，看见剩下就减”。本来简单的数学，变得越来越复杂……


[案例6]教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形。为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道。反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会。数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质。对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？
    为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对心象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者。

三、是封闭，还是开放？


[案例7]48×53怎样计算？列竖式，先从个位乘起……我们有一套法则，我们很熟练它，但却根本不知道还会有别的算法。其实，下面的这几种方法都可以计算出它的结果：


    面对数学，我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学，我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭，走向开放。


[案例8]在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数……步步为营，一层一层地引导下来。如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃。
    我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）。数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力。只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子。

某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？

某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？

试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？

jsjfxx

小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（四）

怎样从学生已有的生活经验出发进行教学

数学新课标在其前言中，就强调要从学生已有的生活经验出发进行教学。教学中，如何落实？本人愿抛砖引玉，以求教于同行。

一、尊重

[案例1]《百分数的意义》教学
讲台上放着三个透明杯子，里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖，糖的数量依次为2克、3克和5克。
师：怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢？
（生说。）
其中有一个学生：让我上来喝喝就知道了。
教师A：你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说？
教师B：很好！这种方法最简单易行了。除了用口尝外，我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢？

[案例2]《找规律》教学
屏幕上出现一幅图画。商店门口挂了很多灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着。其中一部分被一辆停在商店门口的汽车给遮住了。
师：你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？
（生说）
其中有一个学生：只要把汽车开走就知道了。
教师A：（没理睬这位学生）哪位同学再来说？
教师B：对啊！只要把汽车开走，不就都清楚了吗？！在汽车还没开走之前，我们也能看出来吗？

两个案例都注重了从学生的生活经验出发。但是在具体的处理过程中，A教师与B教师对生活经验的认识还是有差距的。A教师注重的还是知识的内在逻辑体系，而忽视了学生的情感状态以及经验状态。从学生的生活经验出发，首要的一条就是要尊重学生的生活经验。让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧：“儿童回答教师提问的精确性，主要取决于儿童自己的经验的逻辑性，而不在于事物本身的逻辑性。”

[案例3]《除法的初步认识》
A教学：
师：把6个桃子平均放到3个盘子里，该怎样分呢？
仔细观察课本上的插图，你能用小棒代替桃子，也试着这样分分吗？
   （生用小棒分）
师：同学们看，把6个桃子平均放到三个盘子里，要一个一个地分。先拿3个桃子分别放到3个盘子里，然后再拿三个桃子……
B教学：
师：这有6个桃子，要平均放到3个盘子里。你会放吗？
用小棒代替桃子，试试看！
（生用小棒放）
师：谁来说说，你是怎样放的？
生1：我是先拿2个放在一个盘子里，然后再拿2个放在第二个盘子里……
生2：我是拿起6个小棒，然后一个一个地放到盘子里去……
生3……
师：放的方法，我们可以多种多样，但是结果都应是怎样的呢？

从生活经验出发，指的是学生自己的生活经验而非教师的生活经验，更不是教师的“教学经验”。要尊重学生的经验，让他们尽可能地把经验充分地表达出来，而不是一开始教师就规定好了“前进的路线”，让学生的经验与学习相隔离。

二、激活

[案例4]《比例尺》的教学
A教学：
师：同学们，什么是比例尺呢？请看这幅地图。这两个城市之间的距离，实际上是有500千米，而图上的距离却只有2厘米。……
B教学：
师：同学们，观察一下咱们的课桌面是个什么样的形状。你能把它画在纸上而不走样吗？我们来个比赛，看谁画得又快又好，愿意吗？
生：愿意。
师：什么才叫不走样呢？
生回答。
师：怎样才能不走样呢？……

知识是有一个体系的，但它的表现形式却不一定要那么严肃和充满逻辑。尽可能地对教材进行一些加工处理，让学生的学习从熟悉的生活开始，可以使学习过程更加亲切些，更加具有挑战性些。

[案例5]《圆的认识》教学
A教学：
师：请同学们拿出桌子上的圆形纸片，把它对折，再对折，再连续对折两次。然后打开。你发现了什么了吗？
生：发现了很多折痕。
生：这些折痕都经过一个点。
……
师：用笔把这些折痕描出来。量量看，这些线段的长度都相等吗？
生量后，回答：都相等。
师：这些线段，我们称它为直径。直径有哪些特征呢？
……
B教学：
师：同学们都认识了圆。那你们能想办法画出一个圆吗？
生画。有的用硬币、墨水瓶、钢笔套等作为工具画。也有的用圆规作工具画。
师：好！一会儿工夫，大家就画出了一个个漂亮的圆形图案。你们是怎样画出来的呢？愿意交流一下吗？
生交流。
师：真不错。老师这里有这样两条线，用它也能画圆吗？
（学生建议。）
师：好！我就来试试看。（用一条皮筋线系上粉笔，在黑板上画圆，有意让皮筋一会儿长一会儿短）
师：同学们，不行啊！这画出来的是圆吗？
（生建议。长度要固定……）
师：那老师换一根线。这次再试试看。
（有意拉拉，长度不变。再画，故意移动定点）
师：同学们，还是不行啊！
（生建议。）
师：老师明白了，画一个圆时，至少要注意两点……
……
在此基础上，总结画圆的要领，并引出圆心、半径和直径。

有效的学习总是在经验的基础上进行的。教学的过程，就是要成为不断地激活学生经验的过程。只有在具有一定的自主空间里，只有在不断地对话和刺激中，学生沉睡的经验才有可能被唤醒而处于积极状态，不断地同化、调整或重构。

[案例6]《分与合》
A教学：
师：小朋友，7可以分成几和几呢？
生：7可以分为2和5；
生：7可以分为3和4；
……
师：很好！跟老师读，7可以分为2和5……

B教学：
师：小朋友，帮老师思考一个问题。地上放着两只盘子，里面放了些米。现在有7只小鸡去吃米，想象一下，小鸡吃米可能会有哪些种情况呢？
你能在纸上画出来吗？
生画。
师：咱们交流一下。
生1：一边4只，一边3只；
生2：一边6只，一边1只；
生3：一边7只，一边0只；
……
师：小朋友们真聪明。现在这7只小鸡吃饱了肚子，要坐到这桌子边休息了（出现一张长方形的桌子）。你们猜猜，它们坐的情况可能是怎样的呢？
……

数字是抽象的，但与实际生活联系起来，它就会变得活泼可爱起来了。给数字赋予生活的意义（最好是“拟人化”的），让孩子对数学的理解多一些形象上的依托，也许我们的数学会容易和有趣得多。

三、提升

[案例7]《角的初步认识》
师：同学们已经初步认识了角。生活中哪些地方有角呢？
生：黑板上；
生：钟面上；
……
生：还有墙角、桌角。
A教师：那是角吗？请你再看看书上是怎么说的。搞清楚后，再回答。
B教师：你看这位小朋友可真会联想。讲到角，就想到了我们的墙角和桌角。这可是我们日常生活中经常用到的词语啊！
让我们来观察比较一下，这里的角和我们今天学习的角，有没有什么不同呢？
生观察并说。
师：是啊！它们两者有很多相似的地方，但也有很多的不同。我们看，从一个墙角上，可以看出几个和我们书上画的一样的角呢？
生：三个。
师：从一个桌角上看呢？
生：也是三个。
……

学生头脑中已经有着许多和“学校数学”内涵不同但名称相同的概念，有着很多被称为“日常数学”或“民俗数学”的知识。从学生的生活经验出发，就必须要研究这些知识，了解孩子们已有的实际认知结构，并努力地促进二者的相融，不断地提升学生的生活经验。

[案例8]《加和减》的教学
师：13-9等于多少呢？小朋友们算算看。
生算。
师：谁愿意来交流一下？
生1：我一个一个地去减，最后剩下4个；
生2：我先从10个里面减去9个，……
生3：我先减去3个……
生4：因为9+4=13，所以……
……
A教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。好，就按照你们喜欢的方法，再计算下面的题目：15-9
17-9

B教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。这些方法中，哪种方法算起来更简单些呢？谁来说说。
生说。
师：小朋友们都发表了各自不同的意见。这样吧，老师有个建议，下面这道题（15-9），你们试着用三种不同的方法去算，然后再看看自己最喜欢哪种方法，好吗？
……

提倡算法多样化，在某种程度上就是要给每个孩子以更大的空间，将自己的算法个性化地表达出来。这种个性化的算法，与孩子的经验是紧密相联的。但教学如果仅仅停留在这一点上，是远远不够的。试想，一个孩子如果不去思考、比较和体验其他同学的算法，而只是满足于自己的最初经验之上，他的思维能得到发展、能力能得到提高吗？
从经验出发的同时，还需思考怎样让经验得到提升，这是数学的本质所在。

jsjfxx

小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（五）

怎样促进学生的自主探索

自主探索是学生学习数学的重要方式之一。在认识上，很多教师对此是比较赞同的。但在行为上，我们往往还处于困惑状态：教师究竟怎样做，才能有效地促进学生的自主探索呢？本文愿结合案例谈一点粗浅的想法，以期得到同行的指正。

起点在哪？

[案例1]《分数的意义》教学片段：
课始。
A教学：
师：把4个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生：2个。
师：把2个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生：1个。
师：把1个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生1：半个。
生2：……
生3：12 。
师：象这样，结果不能用整数表示的时候，我们就可以用到分数。今天，我们就一起来研究分数的意义。
……
B教学：
师：今天咱们要一起研究分数的有关内容。关于分数，我们都知道了些什么呢？
（生纷纷站起来说）
师：关于分数，我们还想知道些什么呢？
（生再次纷纷站起来说）
师：看看书上又给我们带来哪些有关分数的知识。
（生看书）
师：咱们交流一下，通过看书，我们又获得了哪些新的知识。
（生交流）
师：除了这些，我们一定还有很多困惑、不清楚的地方。咱们也说出来，交流交流好吗？
（生交流不懂的问题）
师：大家对分数已经有了进一步的掌握。咱们来进行一下自我检测。
……
我们的教学，不能总是“零起点”。促进学生的自主学习，首先要努力让孩子们把自己的已有知识状况展现出来。让他们在面对新知时，自己主动去回忆、调动已有的认知结构，并对新知产生构想。同时，在交流的过程中，大家相互启发和激励，享受已有知识给自己带来的自豪感。并在对新知构想的过程中，产生自主探索的愿望。

[案例2]《长方体表面积》的教学
A教学：
一、 复习：
1、 求出下面长方形和正方形的面积。（略）
2、 口答：长方体有几个面？每个面是什么形状的？
二、 新知教学：出示例题（略）
师：要求这个长方体的表面积，实际上就是求哪些面的面积呢？
……
B教学：
课始。
师：同学们，拿出你的长方体文具盒。谁的文具盒用料面积最大呢？请想办法拿出你最有力的证据。在小组中交流一下。
……
我们总是在精心设计好复习题，找准知识的生长点和连接点，把学生已有的旧知慢慢地调动出来。但是孩子们长大后，谁去帮他设计复习题呢？要让学生很好地进行自主探索，就要让他们直接面对问题情景，去进行大胆尝试。只有在实际的尝试运用中，学生才会真正明白自己“在做什么”和“想做什么”。

空间多大？

[案例3]《两位数减一位数》教学：
A教学：
一、 口算：15-7=
10+8=
二、 出示例题：25-7=
（教师让学生尝试解答后汇报，结果大多数学生的算法都是：把25分成15和10，15-7=8，10+8=18）
B教学：
直接出示例题：25-7=
（学生尝试解答后，出现了多种解法）

[案例4]《简单的统计》教学
A教学：
教师给每个学生发了一张班级学生年龄情况的统计表格。表格上面的年龄段均已划分好。然后让学生轮流站起来报自己的岁数，全班同学在相应的表格栏里画“正”。
B教学：
教师给每个学生发了一张白纸。要求同学们统计出班上的年龄情况。怎样才能知道每个人多大岁数呢？通过讨论，决定让班上的同学轮流站起来报自己的岁数。用什么方法统计呢？老师没有明确，要求自己想办法。一轮结束后，大家交流结果与方法，并相互评价。
给学生进行铺垫，看似明确了思维指向，提高了学习的效率。实质上是设置了思维通道，缩小了孩子探索的空间。只能勉强地说学生“学会”了，但离“会学”还是很有距离的。

[案例5]《异分母分数加减法》的教学
A教学：
出示例题34 + 25 =
师：这两个分数能直接相加吗？
生：不能。
师：为什么？
生：因为分数单位不同。
师：能把它们的分数单位转化成相同的吗？
生：能。
师：怎么转化？
生：通分。
师：怎样将这两个分数通分呢？
……
B教学：
出示例题34 + 25 =
师：这道题该怎样计算呢？每个同学先试试看。
（生尝试）
师：谁来说说你是怎样想的、怎样算的？
生说。师生对这种算法相互交流和评价。
师：谁还有其他的想法了吗？
……
还给孩子自主探索的空间，首先要摈弃一种“打乒乓式”的问答。在琐碎的、一对一式的问答中，学生的思考永远是被动的，永远是被老师牵着在走。如同“猜谜”，学生只会不断地猜测老师的意图。

效果如何？

[案例6]《比的基本性质》教学
A教学：
出示三个比：
2：4
4：8
6：12
师：请大家求出这三个比的比值。
生计算。并汇报结果，比值都是等于0.5。
师：也就是说，这三个比之间可以画等号了。2：4=4：8=6：12
从左往右，仔细观察一下这三个比，它们的前项、后项分别发生了怎样的变化？你能得出一个规律吗？
……
B教学：
出示三个比：
2：4
4：8
6：12
师：观察一下，这些比有哪些相同的地方？
（生说）
师：哪一个比的比值最大呢？
（生说，最后得出三个比的比值相等）
师：你还能写出很多比值为0.5的比吗？看谁写的又多又快。
（生写出很多。汇报交流）
师：只要怎样，就可以写得又多又快呢？
（生……）
师：比值相等的比，是不是只有这样的一组呢？
生：不是！还可以写出很多组。
师；好！谁来说一个比，大家再写出几组与它比值相等的比。看谁写的多。
（一生说一个比，其他同学马上写，再交流）
师：自己随便写一个比，看能不能也能写出一些和它比值相等的比。
（生写，交流）
师：我们写出了很多比值相等的比，从中我们可以得出一条什么规律呢？
……
当学习材料缺乏思维的挑战性，研究的目标是显而易见的时候，学生探索的兴趣和动力就不会太强。只有通过竞赛等形式，激发起学生的挑战欲，让学生进入紧张的思维状态，让探索成为一种需要时，学习的效果才会是好的。改被动地观察，为主动地探索，让学生在“创造”数学的过程中“体验”数学，而其中教师的引导作用也是非常重要的。

[案例7]《利息》的教学
课始。
教师A：这节课咱们学习利息这一内容。什么是利息呢？请同学们看书上……
教师B：这几天，大家已经收集了很多关于利息的知识材料。这节课，咱们就来个交流，好吗？
课末。
教师A：通过这节课的学习，咱们知道了什么叫利息，以及利息的计算方法。课后作业为书上练习……
教师B：这节课大家交流得非常好！利息的知识，除了我们今天交流的这些以外，还有很多方面值得我们去关注。老师建议，大家可以用这些知识，办个小报，开辟一个网站，和我们全校的小朋友进行交流。也可以自己去体验一下存款和取款的过程……
学习的效果，不能仅仅限于了解了什么，更重要的是学生是怎样了解的。自主探索的空间，也不能仅仅局限于课内。课堂之外的自主探索具有更为深远的意义，课内课外的一体化是数学教育应孜孜以求的目标。