夏青峰小学数学教学专辑

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（六）

怎样促进学生的合作交流

合作交流是学生学习数学的重要方式之一，其意义和价值已经被很多老师所接受。但怎样摈弃形式主义，充分发挥合作交流的效应，仍是小学数学教学改革所关注的热点和难点问题。本文拟结合案例，谈点体会，以期得到专家和同行的指正。

一、是主动，还是被动？

[案例1]《平面图形面积的复习》教学片段：
课始。
A教学：
师：我们以前学过很多平面图形的面积计算公式，你们还记得吗？
生：记得。
师：好！在小组中交流一下这些计算公式。
于是，每个同学都开始说起来，教室里很热闹！
……
B教学：
师：右图是老师家中一扇门的平面设计图。
现在老师想要油漆这扇门，除了装玻璃部分、装门锁部分以及下面的三个图案部分外，其余部分均要涂上米黄色的油漆，涂米黄色油漆部分的面积该是多大呢？咱们来一个小组擂台赛，看哪一个小组最先算出它的面积。
于是，各组马上行动起来。相互讨论，分工合作……

[案例2]《分数的意义》教学片段
学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。
A教学：
师：大家手上都有6根小棒。你们能拿出其中的2/3吗？
生动手操作。
师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。
B教学：
师：大家手上都有一些小棒，试着按要求拿出其中的一部分。要求是：每组从第一位同学到第六位同学，拿出的小棒分别占原来手中的1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7。
不能损坏小棒。看那组最迅速。
学生开始拿。有的很快地拿好，有的开始小声议论。
师：有困难吗？
生1：1/5不好拿。
生2：1/7也不好拿。
师：是啊！一边少了一根，一边多了一根。最好怎么办呢？
（生……）
师：好！同组内的小棒可以相互借调。再试试看。
（生活动。）
师：哪个小组愿意来交流一下，你们的1/4是怎样得到的？
学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。怎样激发学生合作交流的积极主动性？我感觉有两点值得我们去关注：
1、让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。案例1的A教学中，回忆面积计算公式，对于学生来说，根本没什么困难。每个人都能说出几个，所以每个人都会迫不及待地说，小组中要么是只有“说”没有“听”，要么是前面一个人说过，后面的人都在重复他的话。而B教学中，由于看懂平面设计图，并不是每个人都行的，其间只要老师注意还给孩子们一个宽松的环境，小组成员之间必有讨论甚至争论产生。案例2也是如此，从6根小棒中拿出2/3，只有1种拿法，让他们交流什么呢？只会不断地重复。而要从6根小棒中拿出1/4、1/5、1/7来，却是个伤脑筋的事。老师建议重新调剂，怎样调剂呢？小组成员之间必然要交流和合作。特别是拿出1/4，需要拿1/2的同学将6根改为4根，其间的讨论一定会热烈。“方便别人，也就方便了自己”，在这里不是很好地得到了体现吗？！
2、以组际竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。两个案例的B教学，都引进了小组之间的竞争机制，这样就会促使小组成员之间主动地采取分工合作的方式，而无须再由老师去安排合作，组织交流。试想，在案例2的B教学中，如果老师说的是“看哪位同学最快？”，他们之间的合作交流状况将会如何呢？所以在小组学习后全班交流的时候，老师关注的一定要是小组的整体意见而非个人。评判也应以小组为单位。

二、是形式，还是实质？

[案例3]《循环小数》教学片段：
学习完循环小数的概念后，出示下列七个数：
①5.2
②3.444……  ③3.08181……  ④9.87676
⑤9.7676……
⑥9.4303208……     ⑦3.1415926……
A教学：
师：观察这些数，哪些数有相同的特征呢？小组开始讨论。
生开始在小组内讨论。不到一分钟。
师：（拍了几下手掌）好，时间到！谁来说说，哪些数具有相同的特征？
生1：……
生2：……
……
师：这几个同学刚才说得都非常好！我们看……
B教学：
师：仔细观察这七个数，你能发现什么呢？
有些数具有相同的特征吗？
生1：①和④的后面都没有省略号，而其他各数后面都有。
师：真好！就象这样，还能发现其他的特征吗？把具有相同特征的数写在一起。同时思考两个问题：
⑴你能根据它们的特征，分别给它们取个名称吗？
⑵你能用画图的形式，把这些数的关系表现出来吗？
生开始独立地想、写和画。
师：好！小组长组织一下，每位成员把自己的思考在小组中交流，集中成小组意见。等会我们看哪个小组取的名字和画的图最好！
小组开始讨论，确定最佳方案。
师：哪一小组愿意交流一下你们的名称和图案……
小组1代表：我们认为……
在现在的课堂教学（尤其是研究课）中，合作交流的学习方式常常是以小组学习的形式体现出来的。而小组学习应有什么样的机制才能保证它的实效呢？我感觉不能有统一的规定，教师只要经常深入到小组中去，每个人都会探索出自己的成功之路来。但有几个共性的东西应要引起我们的注意：
1、学生在合作交流前，经历过独立思考吗？就象A教学中，要从这七个数中，看出几个数之间相同的特征，必然要有一点观察、比较和思考的时间。大家都还来不及思考，就去讨论，讨论什么呢？结果是反应快的同学，马上就说出来，而反应慢的同学在未思考之际，就已经听见了其他同学的发言。长期下去，反应慢的同学思维的惰性会越来越强。而且，每个人的思维特征不一样，有人是“场独立性”思维，有人是“场依存性”思维，在讨论交流之前，让学生去独立思考，有助于这两种思维的相互促进和融合。
2、学生在合作交流时，有充分的时空吗？我们提倡，提供给孩子们合作交流的问题，要具有探索性。而在探索性问题的解决中，学生应有一定的自由时空。象A教学中，老师在不到1分钟的时间内，就让学生讨论这样具有一定思维要求的问题，显然是形式主义。只是让别人感觉这节课安排了小组讨论的内容，而在内心中并不指望学生讨论出什么，所以在汇报交流时，也是以个体为单位的。我的想法是，要么就不让学生去合作交流，要让学生合作交流，则至少保证有5分钟以上的时间。
3、学生在合作交流时，需要明确的角色分工吗？很多资料上指出，在小组学习时要有明确的角色分工。比如，主持人、记录员、噪音控制员等等，一个小组，好似一个小的社会。我总感觉其中的“形式化”太强。要有一个好的机制，让小组内的发言机会平等，让小组内的合作交流有序地进行，是非常必要的。但分工一明确，学生们的注意点在什么地方呢？记录的想着记录，噪音控制员关注着噪音，谁在专注地思考问题？形式化的东西一旦成为关注的热点，实质性的东西就在慢慢地淡化。我赞成另外一种做法，就是小组长轮换制和发言代表轮换制。

三、 是评判，还是促进？

[案例4]《循环小数》教学片段：
接着案例3的B教学。讨论完分类和名称以后，讨论用图形来表示他们之间的关系。
师：用怎样的图形，可以把它们的关系表示出来呢？哪个小组愿意第一个交流？
小组代表发言。（用画韦恩图的形式，表示出有限小数、无限小数、循环小数、无限不循环小数以及纯循环小数和混循环小数之间的关系）
A教学：
师：这个小组用这个大圆圈代表着所有的无限小数，然后分为两部分，一部分是循环小数，一部分是无限不循环小数。可以吗？
生：可以。
师：是啊！我们可以……
B教学：
师：他们用这样的图形来表示这些数的关系。有道理吗？让我们请这一小组的同学来给我们解释一下，好吗？
老师有个建议，咱们来个小组比赛。等他们解释完以后，咱们针对这个图形来个现场提问，谁提出的问题，这一小组的同学都回答不出，提问题的小组就加一分。但提出的问题自己要能回答，否则倒扣一分。如果没有问倒这个小组，他们就加五分。同意吗？
生；同意！
师：那就开始吧！
小组代表发言结束后，其他小组的同学争先恐后地提问题。这个小组的同学也极力地回答。
在学生进行小组讨论时和讨论结束后，教师应做些什么呢？我以为：
1、教师要满怀热情地深入到小组讨论中去。指导学生合作，提醒学生倾听，发现合作交流中的闪光点和不足之处。同时，还可以以组员的身份参与讨论。
2、在小组汇报合作结果的时候，小组代表通常都是说给老师听的，再由老师把他们说的内容抛给其他学生，让大家去思考其正确性。这时，教师的身份已变成了一个信息的“中介者”，信息交流总是以“生——师——生”的固定模式在进行着。我们不能满足于这种现状，我们要拓展出生与生直接交流的空间。教师不能作为一个中介者，更不能作为唯一的评判者，教师要做的工作应该是组织、指导和促进小组之间的合作交流。象上述B教学中，教师就是利用小组竞争这种常用的机制，把学生发现问题、提出问题、解答问题以及相互辩论的积极性充分调动起来，小组之间的合作交流这时是实质性的，还是流于形式呢？
3、还需提及的是，学生能否很好地合作交流，很大程度上取决于教师是否营造出一种宽松愉悦、畅所欲言的氛围，教师内心中是否愿意与学生真正地平等对话。

四、 是环节，还是方式？

[案例5]《圆的认识》教学片段：
课始。
A教学：
师：同学们，大家知道，这是什么图形吗？
生：是圆形。
师：真好！在生活中哪些地方有圆形呢？
生：……
B教学：
师：同学们，咱们今天一起研究圆的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关圆的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗？
各个小组代表开始交流。

[案例6]《百分数应用题的复习》教学片段：
临近下课。
A教学：
师：同学们，我们已经学会解答百分数应用题。在解答百分数应用题时，我们应注意些什么呢？
生：……
师：好！大家回去后，把练习十的第2——5题解答在家庭作业本上。
B教学：
师：同学们，这几天我们一直在学习解答百分数应用题。你对这段时间的学习感受怎样呢？明年这个时候，五年级的同学也要学习这个内容了，你们有什么学习经验告诉他们吗？你们能以小组为单位，把你们的感受和经验用数学小报的形式表示出来吗？
好！老师期待着大家精彩的小报。哪组办好了，就把它贴在后面的黑板上，让我们全班同学分享。
一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢？我们经常这样讨论着。细细分析这种讨论，它其实是把合作交流局限在教学环节之上。试想，一节课都让学生在小组内合作交流，又有何妨呢？下节课再整理归纳就是了！打破知识的分割，建立一种大的课程观和教学观，我们完全可以在课堂内探索更大时空的合作与交流。同时，合作交流不能仅仅限于课内，学习小组不能是课内象集体，课外如“散兵”。课外的合作交流，更能发挥学生的积极性，更能调动他们的集体荣誉感。让我们从整体着眼，从形成氛围和培养习惯入手，积极地将学生学习数学的过程变成一种师生不断“对话”与“协作”的过程，让合作交流的学习方式发挥出它更大的效应。

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（七）

怎样促进学生的动手实践

一、是知行，还是行知？

[案例1]《轴对称图形》教学
A教学：
师：同学们，观察这几个图形，它们有什么共同的特征吗？
（屏幕上出现圆、长方形、等腰梯形等图形，并演示分别把它们对折重合的情形）
生：这些图形对折后，两边大小相等。
师：像这些对折后两边完全重合的图形，我们叫它对称图形。观察一下，下面图形是对称图形吗？（出示几个图形）
生：……
师：（媒体再次演示对折的情形）大家看见这条对折后留下的折痕吗？
生：……
师：这条折痕，我们就把它称为对称轴。每个同学拿出你们的长方形、正方形与圆形纸片，折折看，并画出它们的对称轴。
……
B教学：
师：咱们做个试验。在纸上滴一滴墨水，然后马上将纸一折为二。再展开，我们能发现什么呢？
生做试验。
师：谁来交流与展示一下，你们是怎样做的？发现了什么？
生：……（图1）
                （图1）               （图2）                        （图3）
师：（媒体出现图2）小明用颜料在四张纸上分别画了以上图形，他很快将纸对折后再展开，这四张纸上会出现什么样的图形呢？
生：……
师：（屏幕出示图3）你也能用这样的方法，画出如同屏幕上的三个图形吗？
生：……
师：你还能用这种方法画出其他的图形吗？能画出我们曾经学过的平面图形吗？
生画，师组织交流。             （图4）
师：小华用这种方法画出了这样的图形（见图4）。         
想想看，他是怎样画的？又是怎样折的？
你能把折痕描出来吗？
……

[案例2]《8的组成》教学
A教学：
师：小朋友们，7＋（  ）=8会填吗？
生：……
师：那也就是说7和1组成8。跟老师说一遍。还可以怎么说？
生：1和7组成8。
师：6加几等于8呢？
生：2。
师：那我们就可以说……？
生：6和2组成8，2和6组成8。
师：5和谁可以组成8呢？
……
B教学：
师：小朋友们，帮老师想个问题：如果老师在两个盆子里各撒了一把米，有8只小鸡跑过来吃米。每只盆子边会有几只小鸡在吃米呢？
生：每只盆子边有4只小鸡。
师：一定吗？
生：不一定。还可能是一边3只，一边5只。
师：还有什么可能呢？
生：……
师：一共可能有多少种情况呢？小朋友能分别把它们画出来吗？
生画，师组织交流。
……
“听过的，忘记了；看过的，记住了；做过的，掌握了。”没有亲身的体验，没有积极的活动，很多知识便如同“过眼烟云”，很难扎根在学生脑海中。把“学数学”变为“做数学”，把“书本的数学”变为“活动的数学”，让学生在活动与应用的过程中去体悟与理解知识，是建构主义所大力倡导的理论，也是我们一线教师必须积极实践的课题。

二、是复制，还是探索？

[案例3]《三角形的面积》教学
A教学：
师：怎样求出三角形的面积呢？我们来做个试验。请同学们拿出两个完全一样的三角形纸片。
生拿纸片。
师：大家看看书上的示意图与箭头所指的方向，跟着老师一起做。我们将这两个纸片完全重合后，把一个纸片旋转过来，再平移到这个位置，然后向上推。
（生边看书，边跟着老师做。）
师：这个过程，我们可以概括为“重合—旋转—平移—上推”。我们再做一遍。
（生再做一遍，并口念“重合—旋转—平移—上推”。）
师：现在我们发现这两个三角形形成什么形状了？
生：平行四边形。
师：平行四边形的面积与三角形的面积是什么关系呢？
……
B教学：
师：怎样求三角形的面积呢？我们能否思考一下：
1、 我们原来是怎样求平面图形的面积的？它对我们有帮助吗？
2、 我们学过哪些平面图形的面积计算方法呢？对我们有帮助吗？
3、 用三角形纸片试试看。一张有困难的话，能用两张吗？
生动手操作。
师：能求出三角形的面积吗？谁愿意交流一下？
……

[案例4]《长方体的认识》教学
A教学：
师：观察一下，长方体的棱有什么特征呢？
生：每四条棱的长度相等。
师：是吗？请同学们用尺分别测量一下，看看哪些棱的长度相等。
生测量。
师：谁来汇报？
……
B教学：
师：（出示长方体框架教具）你们也能利用手头的材料，搭出一个长方体框架吗？
（每4人小组桌子上有近20根小棒和一些橡皮泥，其中有一些小棒的长度相同）
学生以小组为单位搭建。
师：哪个小组来交流与展示一下你们的作品？
生交流。
师：能谈谈体会吗？
生：我们觉得相同方向的小棒的长度必须相等……
师：有没有哪个小组搭建不出长方体。
生：我们，因为我们的材料里面有一组只有三根小棒的长度相同，找不出第四根了……
师：我们把方向相同的小棒看作一组，每组应是几根呢？这四根小棒一定要……？为什么？
……
动手必须与动脑相结合。如果学生的动手实践变成了简单地执行老师的任务，变成了一种对书本的模仿与复制，只需手的运动而无需脑的兴奋，那么它的功效将会大大降低。动手实践，需要一定的思维空间与思维坡度，需要一种积极探索的心理状态，需要具有鲜明个性特征的思维活动。让“Hands on”的理念建立在自主探索的基础上吧。

三、是小课堂，还是大社会？

[案例5]《毫升的认识》教学
A教学：
师：容积单位不仅有升，而且还有毫升。1升等于多少毫升呢？
我们看，这是200毫升的量杯，用它装水倒入1升的量杯中，要倒几下呢？谁上来试试？
生上去操作。
师：同学们观察到了吗？一共倒了几下？
生：5下。
师：说明1升等于多少毫升？
生：1升等于1000毫升。
师：谁再上来验证一下？
……
B教学：
师：容积单位不仅有升，而且还有毫升。相信大家一定已经到市场上去搜集了很多关于毫升的资料。谁愿意把你获得的资料与大家分享一下？
生：我在雪碧罐上、椰子汁罐上分别看见了335ml、250ml的字样，我想它们的容积也分别就是335ml和250ml。
生：我知道白酒瓶上一般标上500ml，而啤酒瓶上却是640ml。
……
师：同学们知道得可真多。有谁知道升与毫升是什么关系吗？
生：1升等于1000毫升。
师：你怎么知道的？
生：我问我爸爸的。
生：我是试验出来的。
师：东西带来了吗？表演给大家看看。
生：这是咳嗽药水瓶，它的容积约是100ml；这是塑料酱油壶，它的容积大约是1升，现在我把……
师：真不错。还有同学也能验证吗？
生：……
师：有谁能知道1ml的水大约是多少？
生：做皮试用的注射器的容积大约就是1ml。
师：我们用钢笔吸点水，然后向一只杯子里挤滴，看看多少滴水就很接近1ml。先估计一下，在挤滴。
生挤滴。
……
师：咱们回家后，想办法把家里的锅碗瓢盆等物体都计量一下，看看它们分别都能容纳多少水，明天我们再交流，好吗？
……

[案例6]《平均数应用题》教学
A教学：
师：今天我们学习了平均数应用题。同学们回家后，把书上练习题的第1——3题作在练习本上。
B教学：
师：今天我们学习了平均数应用题。你们能用今天所学的知识进行一些社会调查与统计吗？老师建议，你们确立一个你们感兴趣的内容，这几天进行一次实践活动或小课题研究，好吗？大家可以独立完成，也可以合作分工。咱们过几天交流。
……
    动手实践，它不仅仅是课堂学习中的一个环节，它更是一种贯穿始终的学习方式和学习意识。它不能仅仅局限在小课堂中，它更应延伸到整个家庭和社区。让学生试着用一种数学的眼光观察周围事物，以一种数学的活动投身到整个生活，他们的视野和能力会不一样的。课堂只是一个交流碰撞的场所，真正的功夫在课外！

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（八）

怎样发挥教师的引导作用

一、 道而弗牵

[案例1]《长方形面积》教学
A教学：
屏幕上打出一长方形。
师：同学们，我们已经学过面积单位。我们能知道这个长方形的面积吗？
生：可以用面积单位去量。
师：好的。同学们的材料纸上有一个长方形，请你们用材料袋里的面积单位去度量一下它的面积。
（学生度量）
师：谁来汇报一下。
生：这个长方形的面积是12平方厘米。
师：长方形的长和宽各是多少呢？
生：长方形的长与宽应分别是4厘米、3厘米。
师：你们发现了什么吗？
生：长方形的面积等于长乘以宽。
师：真好！这就是长方形的面积计算公式。
……
B教学：
师：你能用边长为1厘米的正方形纸片摆成下面的长方形吗？
（图1）              （图2）                   （图3）
（学生按照老师的要求在桌子上摆）
师：根据刚才的操作，在下表中添入数据，并思考：每排摆几个、一共摆几排分别与长方形的长和宽有什么关系？
图形 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米）
图1

图2

图3

（生添数据，并汇报）
师：长方形的面积与长、宽有什么关系呢？
   （出示一长方形，长是5厘米、宽是2厘米）
师：老师在这个长方形的上面摆了一排5个边长为1厘米的正方形。
想象一下，这个长方形上面能摆多少个这样的正方形？它的面积是多少呢？
生：可以摆5×2=10个这样的正方形。面积为10平方厘米。
师：下面这个长方形呢？
（长为7厘米，宽为3厘米）
生：可以摆7×3=21个这样的正方形。面积为21平方厘米。
师：那下面这个长方形，你也
能想象出它上面能摆多少个小
正方形吗？面积是多少呢？
（长5厘米，宽4厘米）
生：可以摆5×4=20个小正方形。它的面积是20平方厘米。
师：如此看来，我们计算长方形的面积，只要怎样？
生：只要把长乘以宽。
……
C教学：
课前，教师要求每个学生准备张材料纸，并在材料纸上画出6个大小不一的长方形（其中有四个长方形的长、宽至少要超过4厘米），并标上长与宽的长度。另外，每个学生再准备几个1平方厘米的正方形纸片（不超过8个）。
师：同学们都在纸上画出了漂亮的长方形。你们能知道这些长方形面积分别是多少吗？
生：能。我们只要用小纸片去度量，就知道了。
师：好的。那我们就去度量一下吧。我们看谁最先知道答案。如果有什么困难的话，可以随时举手询问，我们一起讨论。
学生开始用小纸片度量长方形的面积。
有学生开始举手。
师：有什么问题吗？
生：只有8个小纸片，不够用。
师：不够用？那怎么办呢？
生：我们两个人合用。
师：这样真好。
生：老师，我们两人合起来也不够用。
师：那倒是有些麻烦了。谁有什么好办法？
生：把它的位置空出来，就行了。
师：大家还是自己动动脑筋，试试看。
学生继续度量。
师：好的。大家基本上都度量出了自己的长方形的面积。谁能交流一下吗？
生：……
师：老师很想知道，你们刚才都说小纸片不够了。可后来又是怎样解决这个问题的呢？
……
课本上的知识是静态的，结果性知识往往要多于过程性知识。教师的引导作用，首先就应体现在把静态的知识转化成动态的知识，让学生参与到知识的形成过程，从而把握数学知识的本质意义，获得数学的力量。在长方形面积的教学中，把学生的思维引导到探索长方形面积公式的过程上来，让他们去体验建立“长方形的面积=长×宽”这个数学模型的过程与方法，是非常紧要的。A教学中，教师虽注意了学生的动手操作，但是在引导学生思维方面就显得太“单薄”了。“道”的作用未能发挥。B教学中，教师充分注意了对学生思维的引导，一步一步地把学生的思维从具体引导到抽象，直至总结出面积公式。环环扣紧，层层推进。只是学生的思维空间究竟有多大呢？学生紧紧地跟在老师后面，总是被动地思考，对学生的思维发展不利。C教学中，老师充分预计学生的思维方法，紧紧抓住“小纸片不够”这个切入点，适时地提醒，适时地讨论。通过解决这个小问题来引导学生的空间想象能力与抽象概括能力。但同时教师没有预设学生的思维过程，而是让学生直接面对更多的问题情景，在更大的空间里促进学生个性化地思考与探索。“备课走在学生前面，上课走在学生后面”，这句话还是有一定道理的。

二、强而弗抑

[案例2]《量长度》教学
师：用你最喜欢的方法，在纸上画出一条线段。
学生画。（教师巡视，发现学生全都是用直尺当工具在画。）
A教学：
（教师心里有些纳闷：新教材上为了体现方法的多样化，还特地呈现出了用文具盒、用三角尺画线段的图例。我们班学生怎么就没人用这种方法呢？）
师：老师刚才发现大家画的都很好。现在请想想看，我们还可以用文具盒、三角尺等作为工具来画线段吗？
生：能！
师：那好。就请同学们再分别用文具盒和三角尺作工具来画一条线段。
……
B教学：
师：大家画的真好。老师也忍不住想在纸上画一条了。可是老师没带直尺，又不想向你们借。我能用什么东西代替直尺来画线段吗？
生1：可以用书本。
生2：可以用这张纸。
生3：可以用文具盒。
生4：可以用粉板擦。
师：呵呵，这么多东西都能当作工具啊。为什么它们都可以用来画线段呢？
生：因为它们的边是直的。
师：咱们就不用直尺，再来画条线段。好吗？
……
[案例3]《13－9》教学
师：13－9等于多少呢？大家试试看。
学生尝试计算。
师：谁来说说你是怎样计算的？
学生说了几种计算方法。
（教师发现没有学生说到一个一个地减的方法，可是教材中有这样的图例啊）
师：同学们可以用很多方法进行计算。大家觉得如果我们一个一个地减，行吗？
生：行。
师：（出示13个苹果的图例）我们看，从13里面减去9个，我们可以一个一个地把它划去。1，2，3……9
……
编写教材时，我们可以预计或假设学生的思维。但在实际的教学中，我们决不能为了“体现教材的意图”，为了追求所谓的多样化，而去生拉硬拽，勉强学生。披着新课程的外衣，做着“强制”的事情。方法的多样化，更重要的是，鼓励每个学生用自己最喜欢的方法去做、把最真实的方法表露出来，而不是去体验或运用每一种方法。教师的引导作用体现在启发和激励上，而非勉强与抑制。

三、开而弗达

[案例4]《工程问题》教学
A教学：
师：下面这道题该怎样解答呢？
修一条公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
B教学：
师：咱们来个比赛，下面这几道题，看谁解答得最快。
1、 修一条长250米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
2、 修一条长150米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
3、 修一条长1000米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
4、 修一条公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？

[案例5]《分数的意义》教学
A教学：
（电脑屏幕上出示一幅图，图上画了六只熊猫）
师：把这六只熊猫平均分成三份，每份占整体的几分之几呢？（电脑显示平均分成三份）
生1：13
生2：23
生3：……
师：我们仔细看看，这虽然是两只熊猫，但是它占整体的几份啊？
……
B教学：
师：咱们来个快速抢答，好吗？
把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？（生：4支）
把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？ （生：5支）
把这个文具盒里的所有铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
生：是1/2。
师：为什么是1/2 呢？
生1：因为把它平均分成了2份。
生2：因为不知道有几支铅笔，我们可以把它看作一个整体。
师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的？
生：2份中的1份，就是1/2。
师：真好！如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？（生答略）
师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。（拿出6支铅笔）
现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗？
生：能！
师：为什么还能呢？这不是3支了吗？
生1：这3支也是2份中的1份。
生2：1/2也就表示这里的3支。
师：也就是说，把6支铅笔看成一个整体，把它平均分成2份，每一份中的3支铅笔占这个整体的？（手拿铅笔演示）
生：1/2。
师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔还能用1/2表示吗？
（生答）
师：如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
……
学生对于解答工程问题的困难，不在于“工作总量、工作时间、工作效率”数量关系的理解上,而在于把具体的工作总量用抽象的“１”表示、把具体的工作效率用抽象的分数来表示。同样，学生对于理解“把很多物体看成一个整体来平均分”的困难，是在于把握“份数”与“个数”之间的关系。如果我们直接就把问题呈现在学生面前，让学生去理解，有时很难突破难点。反之，对材料进行一定程度的加工，让学生在“体验”中去感悟知识的本质，往往会达到事半功倍的效果。
教师要发挥引导作用，就必须要深入分析学生的思维，精心组织材料。淡化“告诉”，强化“体验”与“感悟”。

[案例6]《分数的意义》教学
（概括分数的意义）
A教学：
师：同学们，刚才我们写出了很多分数。我们来观察一下这些分数。它们分别都是把一个物体、一个图形、一个计量单位以及许多物体组成的整体平均分的。这些我们都可以用一个词来概括。书上用的是什么词？
生：单位“1”。
师：对啦。哪些东西可以用单位“1”来表示呢？
生回答。
师：单位“1”的“1”为什么要加双引号呢？
生回答。
师：把单位“1”平均分，可以2份，也可以是3份、4份……。我们也能用一个词来概括吗？
生：若干份。
师：分数可以表示这样的1份，也可以是2份、3份……书上就概括为？
生：一份或几份。
师：明白这几个词的意思了吗？
生：明白了。
师：那好。我们共同来把分数的意义齐读一遍。
……
B教学：
师：说说下列分数所表示的意义。（出示：57 ）
生1：把一组红旗平均分成7份，表示这样的5份的数。
生2：把一个蛋糕平均分成7份，表示这样的5份的数。
生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
师：到底把一个什么平均分呢？我们能不能用一个词概括一下？
生1：用一个单位。
生2：用一个整体。
师：反正都是一个什么！就用“1”吧！书上称为？
生：单位“1”。
师：好的。说说下列分数所表示的意义。
师出示38 。（生说）
师再出示：   ，
生：把单位“1”平均分成……（这里有几种不同的声音出现），表示这样的3份的数。
师：为什么大家在这个地方的声音有些不整齐了？
生：因为它平均分成的份数不确定。
师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括？
生：若干份（师板书，生完整说一遍意义）。
师再出示： ，谁又能说说它所表示的意义呢？
生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
师：真好！用若干份来代替不确定的份数。可是好象与前面有重复的感觉。能换一个词吗？
生：一份或几份。
师：它要么表示的是这样的1份，要么表示的是这样的几份，用这个词，同意吗？（师板书，生齐读）
师：再出示  ，怎么样，再说说！
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
师：这就是分数的意义！
……
    如其让学生去理解书本上的概念，还不如让学生去创造自己的概念，并让书本概念与自己的概念能够相融。如何能让学生“水到渠成”地创造出概念，是教师作为一个引导者必须努力探索的课题。

jsjfxx

小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（九）

怎样让学生的数学学习更富有个性

《数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”怎样让学生的数学学习活动更富有个性呢？

一、 是控制，还是服务？

[案例1] 《分数大小的比较》教学
A教学：
师：25 和35 谁大呢？
生：35 大。
师：同意吗？
生：同意。
师：我们看，25 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
生：分数单位是15 ，有2个15 。
师：35 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
生：分数单位是15 ，有3个15 。
师：因为3个15 比2个15 大，所以？
生：35 比25 大。
师：谁能把刚才的话连起来说一遍？
生：25 的分数单位是15 ，有2个15 ；35 的分数单位也是15 ，有3个15 ；因为3个15 比2个15 大，所以35 比25 大。
师：谁能仿照刚才的说法，说说38 与58 的大小？
……
B教学：
师：25 和35 谁大呢？谁能用你最喜欢的方法说说理由？
生1：35 大。因为3份总比2份大。
生2：一个是2个15 ，另一个是3个15 。肯定3个15 比2个15 大。
生3：我们画画示意图就知道了。（到黑板上画）这表示35 ，这表示25 ，很明显35 比25 长。
生4：……
师：真好！我们可以有很多理由说明35 比25 大。这两个分数有什么相同点与不同点吗？
生：分母相同，分子不同。
师：分母相同就说明了什么？分子不同呢？
生：分母相同说明每份数相同，分子不同说明含有的份数不一样
师：这样比较分母相同的分数大小的时候，我们只要怎样？
生：看分子。
……
我们总喜欢循循善诱，而很多时候，我们的这种循循善诱是在一种“打乒乓”式的问答中进行的。在“启发”的光环下，教师的思维代替或控制了学生的思维。学生还需要自己个性化的想法吗？真正的教学，是要把学生带入一个“渔场”，让他们有一个探索的空间与交流的阵地，而不一定就是要提供多少现成的“鱼”或“渔”。

[案例2]《小数的性质》教学
通过人民币单位的换算、长度单位的换算等例子，老师在黑板上写出了三个算式：
0.3=0.30=0.300
0.5=0.50=0.500
1.8=1.80=1.800
A教学：
师：请同学们仔细观察上面的三个算式，并思考下面的问题：
1、 从左往右看，你发现了什么？
2、 从右往左看，你又发现了什么？
3、 你能得出什么结论吗？
B教学：
师：黑板上出现了这样的三个算式。
1、 你也能写出几个和它相类似的算式吗？并说说几个数之间为什么可以画等号。
2、 你能写出多少个这样的算式？为什么？
你能用语言把你的发现描述出来吗？
……
我们好象是引导学生在主动发现规律。但深究其实质，学生需要动多少脑筋呢？面对一个数学现象（或问题情景）时，我们老师能不能“少规定些路线”、“少插一些路标”，而让学生自己去探索、体验和感悟呢？

二、 是抱怨，还是赏识？

[案例]《角的认识》教学
师：谁能到黑板上画一个角？
（一学生在黑板上画了一个角，但是他画角的时候并没有按照规定从一个顶点出发）
A教学：
师：同学们，他画得对吗？
生：对！
师：对？！你们注意到了他画角的顺序吗？角的两条边应是什么线？
生：射线。
师：射线应怎样画？这样画行吗？（用手比划）
生：不行。
师：那他画得对吗？
生：不对！
……
B教学：
师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
生：我画出了一个顶点、两条边。
师：一个角有几个顶点？几条边？
生：一个顶点、两条边。
师：好极了。大家都能画出角吗？
生：能！
师：老师有个建议。想想看，角的两条边分别是什么线？
生：射线。
师：既然是从一点引出的两条射线（用手比划），我们画的时候最好按什么样的顺序画呢？
……
C教学：
师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
生：我画出了一个顶点、两条边。
师：一个角有几个顶点？几条边？
生：一个顶点、两条边。
师：好极了。一个顶点、两条边就组成了一个角。大家都能画出角吗？
……
偶尔的一次否定并不足为奇，但是如果学生因为数学的严密而经常地遭到否定，那么他对数学的认识会是怎样的呢？他还愿意尝试吗？他还会积极地动脑筋想出自己的方法吗？更何况，所谓的数学严密性真的就那么重要吗？“从一点引出两条射线就组成了角”是对的，但是我们仅仅因为这句话，就能规定“角的两边一定是射线”、“画角时一定要按照画射线的方法”吗？

[案例4]《多一些、少一些》教学
教师出示选择题：
苹果有60个，梨的个数比苹果少得多，梨有多少只？
a
28
b
48
c 50
师：应该怎样选择呢？
生1：28只。
师：还有不同意见吗？
生2：48只。
A教师：48只对吗？
生3：不对，应该是28只。因为……
B教师：你选48只，能说说你的想法吗？
……
教师的作用不是评判，而是激励；教师需要的是倾听，而非主观臆断。学生在学习中应该有犯错误的空间，更应该有表达自己的权利。即使我们认为学生的答案是绝对错误的时候，多问一句“你是怎样想的”，又费多大力气呢？简单的一句问话，也许会给我们带来许多意料不到的惊喜。

三、 是填空，还是选择？

[案例5]《分数的意义》教学
A教学：
师：请同学们拿出有关材料，我们在操作中学习分数的知识。
把一张纸平均分成2份，表示出它的12 。
生：……
师：把这条彩带折成8等份，表示出它的38
生：……
师：拿出这捆小棒（6根）的23
生：……
B教学：
师：同学们，老师要求大家带一些小物品到教室来，你们都带来了吗？都有些什么呢？
生：我带了纸张、小棒……
生：我带了橡皮泥、小圆片……
师：真好。大家带来了这么多物品，你们能分别拿出每样物品的23 来吗？
生：……
师：你们能自己先想一个分数，然后再用每样物品的一部分表示出这个分数吗？
生：……

[案例6]《三角形面积》练习
A练习：三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
B练习：画一个面积为6的三角形。你能画出几种？
    固定的材料，固定的方法，固定的结果，何以构建个性化的学习？把空间增大，让教学开放，需要我们关注每个教学细节。只有当学生真正地有了“自决权”的时候，个性学习才会有可能。

[案例7]家庭作业的布置
A教师：今晚回家，做练习×的第×到第×题。
B教师：同学们可以继续选定自己的家庭作业。可以做今天学的内容，也可以做明天将要学的内容。可以写数学日记，也可以作预习笔记……
大量的统一的家庭作业，对于很多基础好的同学来说，其实是一种精力浪费，他们完全可以把精力花在更有价值的学习上。而对于基础较差的同学，又是一项沉重的负担。为何不让他们各得其所呢？相信他们，给他们自己以选择的机会和责任，对于孩子个性与主动性的培养，对于孩子良好学习习惯的养成，都会有很大的益处。

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小学数学特级教师夏青峰经典教学案例（十）

怎样评价学生的数学学习

评价的方式，在很大程度上影响甚至决定了学习的方式。作为一线教师，我们不能总是在等待着高考、中考的变革，而应该从自我做起，在自己力所能及的范围之内改革评价，让孩子能真正地享受数学的学习。

一、是甄别，还是激励？

[案例1]《应用题》教学
师：这道题该怎样解答呢？谁愿意把你的解题过程写到黑板上来？
（一学生上台在黑板上书写，其他方面都写对了，唯有在写单位时忘记了加括号）
A教师：同学们，他的解法对吗？
生：对。
师：对？仔细看看，他丢掉了什么？
生：丢掉了括号。
师：是啊，还是太粗心了。（随手在黑板上画了个“×”）
B教师：××同学，你能向同学们解释一下你的解题过程吗？
生说。
师：同学们，你们赞同他的解法吗？
生：……
师：真好，××同学的解法很有道理。我们再完整地看一下他的书写过程，按照规定，这里写单位时好象应该……？
生：加上括号。
师：××同学，你愿意上来补写一下吗？
生上台在黑板上添上括号。
师：真好！（随手在黑板上写了个“优”）
……
严格不等于挑剔，求全责备的教学只会换来孩子们对学习的自卑。《美国数学课程标准》把“对自己的数学学习有信心”作为数学教育的第二大目标，能给我们一些启迪吗？评价不是甄别，评价最应该发挥的功能就是激励。

[案例2]《计算题》教学
师：这些计算题，同学们会算吗？作在草稿本上，看谁又对又快。
生计算。
A教师：好，老师报一下答案。大家自我批改一下。
师报答案，生批改。
师：好，作错了的同学请举手。
几个学生缓缓地举起手来。
师：××同学，说说你错在什么地方？为什么错了？
该生很不情愿地站起来，低着头小声地说道：我把运算顺序弄错了。
师：知道了，下次改正。
师：（眼睛又看向另外一位同学）你呢？说说你又为什么错了？
B教师：哪位同学愿意交流一下自己的答案？
一生报答案，其他同学判断对与错。
师：全部作对的同学请举手。
很多学生很快地举起手来。
师：大家都很不错。如果自己哪道题作错了，现在把它订正过来，并在傍边写出错误的原因，待会老师再单独与你们交流，好吗？
……
诸如A教师所采用的“暴光式”等评价方法，在目前的课堂中仍是大量存在，甚至还被称赞为“当堂问题当堂解决”的好方法。如果我们的教师与学生进行一下换位，其中的滋味又当如何呢？

[案例3]《思考题》教学
A教师：昨天的“每日一题 ”，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中××同学的解法最好，他真是我们班最聪明的同学！
B教师：昨天的“每日一题 ”，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中××同学的解法很独特，他真是越来越聪明了。
……
   表扬一位同学，不能以打消其他所有同学的自信心为代价。激励，更多地要关注纵向发展而非横向比较。

二、是知识，还是能力？

[案例4]《统计知识》考试题
A练习:
观察下列统计图（关于降水量的条形统计图，图略）
1、  该地区5月份的平均降水量是多少？
2、  该地区6月份的平均降水量是多少？
3、  该地区5月份的平均降水量相当于6月份的百分之几？
……
B练习：                                                                                                                                                                                    
上面是一个画好的统计图，请观察这个图，回答以下的问题⑴：
1、  你认为这个图可能用来表示什么？
2、  按你的想法给这个图起名。
3、  写下根据这个统计图你所想到的任何事情。
……
评价学生对书本知识的理解是重要的，但评价学生的数学创造力和想象力更为重要。从知识考试扩展到能力考试，是数学教育应当探索的重点课题。

[案例5]《长方体表面积》的考试题
A习题：
一个教室长8米，宽6米，高3.5米，用石灰粉刷四周墙壁，扣除门窗面积20平方米。问粉刷部分面积是多少平方米？
B习题⑵：
你班的教室墙壁需要粉刷，要求用两种涂料粉刷两层。为了准备与一个公司谈合同，你需要事先做一些准备。请计算出粉刷教室所要花费的资金。
完成这样的问题，你需要计算涂料的桶数和所需要的费用。为此至少需要做下面的事：
1、  测量并计算出教室墙壁的面积；
2、  计算出一桶涂料能粉刷多大的面积；
3、  计算出涂两层涂料所需要的桶数。
……
打破纸笔测验一统天下的局面，适当地安排一些开卷考试题，让学生在开放的实践活动中，综合运用各种知识解决具体的情景问题，对于学生数学学习也许会更有引导与促进作用。

[案例6] 有关考试题的比较
这里有几道题，A类型和B类型，究竟哪一种对孩子数学思维的发展，才更为有利呢？
1、A、下面哪些数是质数？哪些数是合数？81、2、53、111、……

B、小明说，91与93都是质数，因为它们的个位上的数都是奇数。你认为呢？能说出理由吗？
2、A、三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？

B、画一个面积为6平方厘米的三角形。你能画出几种？
3、A、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。小长方形的宽为多少？

B、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。试着把它画出来。
4、A、把化成分数、小数。

B、（图：把一个长方形，按长边10等份、宽边4等份分成若干个小长方形，上面画出一些阴影部分）你能分别用分数、小数和百分数解释上面的阴影部分吗？
5、A、×=
×= ……

B、你能把×在方格中表示出来吗？
……
发挥评价的引导功能，让学生的学习淡化记忆与演练，而强化一种有联系、有现实意义、有挑战性的活动，学生的数学素养将会日益提高。

三、是结果，还是过程

[案例7]《分数乘法》单元教学
A教学：
按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。整个单元教完以后，进行单元测试，记下每位同学的单元考试成绩。
B教学：
也是按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。但是在单元学习之前，向学生宣布：每位同学都可以不按照老师的教学进度，自学该单元知识。如果自我感觉对该单元知识已经掌握，随时都可以向老师申请单元考试。考试包括三项内容：
1、当老师。向全班同学讲解今天（按常规进度）所学习的内容，要求同学们都能听明白，并能回答老师与同学的提问。
2、出试卷。出一份该单元的测试题，要求能全面考察该单元的知识点。老师给予定性评价。
3、做考题。一份闭卷，老师从学生出的试卷里或题库里抽取。一份开卷，考察综合运用该单元知识解决实际问题的能力。
三项考察都获通过的同学，可以不做老师布置的常规作业，上课可以看课外书籍或自学下一单元知识。
同时，老师准备的试卷至少分A、B、C三种，每种的难度系数不一样。针对不同思维水平的同学，老师有意识地抽取相应的试卷让其考。不同的学生在对单元知识掌握的程度上可以不一样。
……
学生的学习有“时间差”与“路径差”，我们不能以同样的试卷、同样的进度来评价不同的人。让评价适应学生并促进学生，而非学生适应统一的评价。

[案例8]《素质报告单》
A教师：在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是期末考试成绩。
B教师：同样也在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是单元考试的平均成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照一定比例的折合。
C教师：在一张特制的素质报告单的数学栏目里，写的不是分数，而是一段评语。素质报告单放在学生的《成长档案袋》里。学生的《成长档案袋》里，一般还含有以下材料：
1、  学生的单元测试卷和期中、期末试卷。
2、 学生的1—2本作业本。
3、 学生自己做的兴趣作业。
4、 学生的实践活动作业报告。
5、 学生自己出的试卷。
6、  学生的数学日记。
7、  本学期数学学习总结。
……
   学生的数学学习状况，仅仅通过一个分数去描述，是很不全面的。探索表现性的评价方式，淡化结果，关注过程，是学生数学学习成效评价的一个重要选择。

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《圆的周长》教学实录与评析

夏青峰执教   匡金龙评析

教学内容：人教版六年制小学数学教材第十二册4－－5页例1

教学过程：

一、认识圆的周长
师：（屏幕动画显示）请同学们看一幅画面。清晨，两只米老鼠在草地上跑步，黄老鼠沿着正方形的路线跑，蓝老鼠沿着圆形的路线跑。要求黄老鼠所跑的路程，实际上就是求这个正方形的什么？
生：正方形的周长。
师：什么叫正方形的周长呢？怎样计算正方形的周长呢？
生：围成正方形四条边长的总和叫做正方形的周长。正方形的周长等于边长乘以4。
师：（板书：围成，动画显示）对，正方形的周长与它的边长有关系，周长是边长的4倍。
师：要求蓝老鼠所跑的路程，实际上就是求圆的什么呢？（动画显示）
生：圆的周长。
师：你很聪明！那什么叫圆的周长，又怎样计算圆的周长呢？
这节课我们就来研究这个问题，好吗？（板书课题）
师：（动画显示）我们已经知道，围成圆的这条线是一条什么线？
生：一条曲线。（板书：曲线）
师：这条曲线的长就是什么的长？
生：圆的周长。
师：那谁来依照正方形周长的定义说说什么是圆的周长呢？
生：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
师：（完成板书：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，并拿出一个用铁丝围成的圆）谁来说说这个圆的周长就是指哪一部分的长？（学生边指边说）
师：请同桌之间相互边指边说，我这个圆片的周长就是指哪一部分的长。（学生相互指说）
[评析：在直观的动画情境中，巧妙地由正方形周长的概念推出圆周长的概念，由强调正方形的周长与它的边长有着倍数关系为新知教学埋下伏笔，引起学生联想圆的周长是否也与圆内某条线段长存在着一定的倍数关系。通过创设情境、实际感知、迁移类推，使学生在头脑中建立了清晰的圆周长的表象。]

二、测量圆的周长
师：（用铁丝和直尺演示）圆的周长如果用直尺去直接测量方便吗？为什么？
生：不方便。因为直尺是直的，而圆的周长却是曲的。
师：噢，这条线是曲的，有没有办法把这条曲线变直呢？
生：有，只要把它截断拉直就行了。
师：（用手比划截断拉直）同学们想象一下，它就变成了什么呢？
生：一条线段。
师：（屏幕显示，化曲为直再化直为曲）我们看，把圆这条曲线切断展开拉直以后，它就变成了一条线段。这条线段的长就是什么的长？
生：就是圆的周长。
师：你现在能知道这个圆的周长吗？
生：只要用直尺去测量这条线段的长度。
师：对，圆的周长虽然不能用直尺把它直接测量出来，但是我们可以用展开的方法，通过"化曲为直"，只要测量出这条线段的长，我们就可以知道这个圆的周长。
师：（出示一教具圆片）但是，这个圆的周圆要展开就很麻烦了，我们用什么方法也可以化曲为直测量出它的周长呢？看谁最聪明！
生：用线去绕。
师：怎么绕？！可以绕给同学们看看吗？
（师生合作用绕线的方法去测量圆周长）
师：这样绕了以后，怎样就知道了圆的周长呢？（生说明）
师：同学们听清楚了吗？用线绕圆一周以后，捏紧这两个正好连接的端点，把线拉直，这两点之间线的长就是？（生答：圆的周长）这种方法同样可以化曲为直，你们也会绕吗？请同桌之间相互合作一下，用这种绕线的方法去测量出一个圆片的周长。精确到0.1厘米，并把结果填写在表格中。
（生实际操作）
师：除此以外，还有什么别的方法也能测量出圆的周长吗？
生：把圆放在直尺上滚动一周。
师：（师用直尺和圆片演示）怎么知道圆正好滚动一周呢？
生：在圆上作个记号就行了。
师：（动画显示）看屏幕，在圆上取一点作个记号，并对准直尺的零刻度线，然后把圆沿着直尺滚动，直到这一点又对准了直尺的另一刻度线，这时候圆就正好滚动一周。圆滚动一周的长就是什么的长？
生：圆的周长。
师：请同桌之间再相互合作一下，用滚动的方法去测量另外一个圆片的周长，结果精确到0.1厘米，并记录在表格中。
生实际操作）
师：（预先在黑板上画好一个圆）现在老师给你一个圆，你会测量它的周长呢？（生：会）真的吗？谁再来试试。
一生上台用线绕黑板上的圆。
师：有什么感觉？
生：不方便！
师：那你可以把它搬下来滚动呀！（生齐笑）这就说明用绕线和滚动这两种方法测量圆的周长，还有一定的……？（生答：局限性）这就需要我们探讨出一种求圆周长的普遍规律。
[评析：通过层层设疑，不断给学生造成思维冲突，从而激发学生去思考、发现方法。在"用直尺直接测量不方便--化曲为直--直接地化曲为直有困难，间接地化曲为直--有局限性，需找普遍规律"一个个矛盾的设立和解决过程中，既帮助学生掌握了"化曲为直"的数学思想方法，又使学生主动探索和实践的精神得到了培养。多媒体动画显示的"化曲为直"过程也给学生留下了深刻的印象。]

三、引导发现圆的周长与直径的关系
师：我们已经知道正方形的周长与它的边长有关，周长是边长的4倍，圆的周长是否也与圆内某线段长有关系呢？
（媒体演示：以三条不同长度的线段为直径，分别画出三个大小不同的圆。然后再把这三个圆同时滚动一周，得到了三条线段的长分别就是三个圆的周长。）
师：观察一下，在这三个圆中，哪个圆的直径最短？哪个圆的周长最短？
生：第一圆的直径最短，第一个圆的周长最短。
师：哪个圆的直径最长，哪个圆的周长最长？
生：第三个圆的直径最长，第三个圆的周长也最长。
师：同学们看，圆的直径越短，圆的周长也就？（越短），圆的直径越长，圆的周长也就？（越长）。这就说明圆的周长肯定与圆的什么有关系？
生：圆的周长与直径有关系。（屏幕显示这句话）
师：圆的周长与直径到底有什么关系呢？这个问题要同学们自己去发现。现在请同桌之间相互分工一下，每位同学测量一个圆片的直径，并计算出你那个圆片的周长除以直径所得的商，得数保留两位小数，并把数据填写在相应的表格中。
（生实际测量、计算、填表）
师：请一个小组的四位同学依次汇报一下你们的数据。（生报数师填表）
师：从他们汇报的数据看，同学们发现了什么吗？
生：他们的商都是三点一几。
师：也就是每个圆的周长大约是它直径的3倍多一些。其他小组你们每个圆的周长与直径的关系也是这样吗？请四人小组相互交流一下。
（生小组交流）
师：谁来代表小组汇报一下，你们那些圆的周长与直径的关系怎样？
生1：我们这个小组每个圆的周长也大约是直径的3倍多一些。
生2：我们这个小组圆周长与直径的关系也是这样。
师：凡是通过测量计算发现你的圆周长是直径的3倍多一些的同学请举手。
生：都举起了手。
师：这就说明圆的周长除以直径的商肯定是有规律的。在我们所测量的这些圆中，每一个圆的周长都是它直径的3倍多一些！再看屏幕上这三个圆的周长与直径的关系怎样呢？（媒体演示：用每个圆的直径分别去度量它们的周长，并引导学生观察，每个圆的周长也分别是它直径的3倍多一些。）
师：在这三个圆中，不管是大圆还是小圆，每一个圆的周长也是它直径的3倍多一些。如果再换成其它的圆来度量或者计算的话，同学们还会发现，它们每一个圆的周长还是它直径的3倍多一些。那么我们可以用一句话来概括圆周长与直径的关系吗？
生1：圆的周长都是直径的3倍多一些。
生2：圆的周长总是直径的3倍多一些。（屏幕显示此句话）
师：这就是圆的周长与直径的关系。这个表示3倍多一些的数，它还需要一个固定的数，我们称它为圆周率。用式子表示就是"圆的周长?直径=圆周率"。（板书在表格下面）。圆周率用字母"p"来表示。
（媒体播放录音并同时显示祖冲之像等画面，介绍圆周率的知识及祖冲之对圆周率的贡献。）
[评析：教学遵循不完全归纳法的过程，通过"是"、"也是"、"还是"的三个层次，让学生在充分感知的基础上发现了圆周长与直径的关系，得出"总是"的结论。学生在观察思考、既合作又分工的操作测量计算以及小组交流等不同学习方式的交互运用中，主动地投入了知识规律的形成和发现过程。同时生动的多媒体动画画面有效地突破了教学难点，激起了学生的积极思维。]

四、计算圆的周长
师：现在我们要得到这个圆的周长（指刚才画在黑板上的圆），其实我们只要测量出它的什么就可以计算出来呢？
生：测量出它的直径。
师：那么已知这个圆的直径该怎样求它的周长呢？
生：用直径去乘以圆周率。
师：为什么？
生：因为圆的周长?直径=圆周率，所以圆的周长就等于直径乘以圆周率。
师：说得真好！（板书公式并教学用字母公式C=pd表示，过程略）
（屏幕显示）会求这个圆的周长吗？（d=2厘米）
生：等于3.14′2=6.28（厘米）
师：怎样求这个圆的周长呢？（r=1厘米，屏幕显示。）
生：3.14′2=6.28（厘米）
师：为什么要乘以2吗？
生：因为已知的是半径。先要算出直径，再算周长。
师：也就是先要计算2r，即d，再和p相乘。公式可简写为C=2pr
师：计算这两个圆的周长。（屏幕显示：d=2分米，r=1.5分米）
（生计算）
师："2′3.14′1.5"怎样计算比较简便一些？
生：先计算2′1.5的积，然后再和3.14相乘。
师：我们既然学过乘法的一些运算定律，在平时的计算中，就应当要经常运用它。现在老师就要看看同学们能否把今天学习的知识运用到实践中解决问题。（出示例1）
师：（屏幕动画显示）求车轮滚动一周的长度，也就是求什么？
生：求这个车轮的周长。
师：对，就是求这个车轮外圆的周长。会做吗？
（生尝试解答，师评讲，略。）
师：同学们，今天我们学习了一个新的知识："圆的周长"，谁来说说，我们掌握了哪些知识呢？
（生总结）

五、巩固和练习（略）
[评析：始终把学生放在学习的主体地位，让学生面对困难自己想办法解决。巩固练习设计精巧，针对性和层次性强，学生当堂完成，高质高效完成了教学任务。]

总评：
总的说来，整个一节课在渗透数学思想方法、发挥学生主体作用、运用现代教学媒体方面给人留下了深刻的影响，是大家一致公认的一节具有特色的好课。正如周玉仁教授所指出的："他不仅充分发挥了多媒体直观、形象、动态地展示知识形成过程的作用，同时还配之其他实物的演示以及适时、适度的学生动手实际测量，再加上教师那些准确而生动的语言调节，使学生圆满地发现了圆周长与直径的关系。师生之间，配合默契，知情交融；同学之间，合作交流，切磋提高。这是一节教师的主导与学生的主体作用密切配合的好课，也是一节发挥多种教学手段和方法的整体功能的好课，真正地达到教学过程的优化。真是春风化雨，回味无穷"。

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“分数的意义”教学预案

江阴市华士实验学校 夏青峰

教学目标：

·体会分数意义中部分与整体的关系及相对与具体关系；

·初步理解分数的产生、发展及意义；

·通过自主学习，领悟一定的自学方法，培养自学能力。

教学过程：

一、整体感知。

㈠  关于分数，我已经知道了什么？
㈡  关于分数，我还想知道什么？
㈢  关于分数，自学课本后，我又知道了什么？
㈣  我还有什么地方不明白？
㈤  动动手，检测自己掌握得怎么样！

二、深入体验。

㈠第一关：看一看。
1、阴影部分可用什么分数表示？
2、露出的部分是整个图形的1/4，整个图形该是个什么样子呢？用笔把这个图形的模样大概地画出来。
㈡第二关：说一说。
1、把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
把这个文具盒里的所有铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？
这个文具盒里只有6支铅笔，把它平均分给两位同学，     每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗
如果把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔还能用1/2表示吗？
如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
2、怎样拿出6支铅笔的2/3？
3、从第一个粉笔盒里拿出1支粉笔，拿出了这盒粉笔的1/5。这个粉笔盒里有几支粉笔？
  从第二个粉笔盒里拿出2支粉笔，拿出了这盒粉笔的1/5。这个粉笔盒里有几支粉笔？
   从第三个粉笔盒里拿出3支粉笔，拿出了这盒粉笔的1/5。这个粉笔盒里有几支粉笔？
试着把它们画出来。
㈢第三关：分一分。
1、拿出12根小棒的（）/（）
分别出示：（1）/（）、1/2、1/3、1/4、1/6、1/12
（）/（6）、2/6、5/6、6/6、2/3、3/4
2、各组分别派出代表闯关。各组派出的代表人数分别占各组人数的1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8（每组人数为6人）

三、抽象概括。

1、说说下列分数所表示的意义：
5/7、4/□、□/6、□/□
2、概括出分数的意义。
3、每人用分数说一句话。

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《走进分数的世界》教学现场

执教： 夏青峰      记录 / 评析： 张金龙

一、课前交流——“引领”

师：同学们，下面老师要和大家要一起度过美好的 40 分钟，大家欢迎吗？真欢迎还是假欢迎？那作为小主人你想说什么？

（教师亲切的话语，顿时勾起学生学习的浓厚兴趣。）

生：欢迎客人老师来到我们江苏扬州宝应县。 我们的大门永远敞开欢迎您。（掌声。）

师：（屏幕出示一张青蛙素描图。）你看见了什么？

学生：蟾蜍。

师：是青蛙啊，（众笑）哦，我画的是青蛙，你说的是蟾蜍啊。 （又笑） 那么我倒过来放，你又看到了什么？

生：我看到了一个码头。

师：看来不同的角度可以看出不同的事物。 再出示一张图。

师：看见了什么？ 生：一个人在吹喇叭。

生：一个大鼻子的人在抽烟。

（此处，教师应适时进行健康教育，吸烟有害健康！让学生从小知道这一点，非常重要，不可小视、更不可忽视！虽然此处看似与数学教学关系不大。）

师：有没有看到漂亮女孩的脸？

生：没有。

生：我看到了。

不同的角度可以看到不同的东西。

师：我再问大家一个非常简单而又非常难答的问题， 1 加 1 等于几？

生：等于 2 。

师：错了。等于 1 。你们老师教“错”了。 （众笑，激趣。）

师：比如，一团橡皮泥加一团橡皮泥等于——一团橡皮泥。

师： 7 加 8 等于？（ 1 ！） 不同的视角看 1 ，看到的不同。 （再如， 2+5 ≠ 7 ， 2+5=1 ，即： 2 天 +5 天 =1 周。）

评析：借班上课，师生课前交谈，看似简单、平淡、多余，实属不可或缺的必要环节之一，尤其是像“ 第三届新教育实验研讨会”等 全国性的重大教研活动。 夏青峰 老师作为远道而来的客人教师，利用课前短暂的两三分钟组织教学，激趣引领，从而一定程度上缩短师生心理距离，营造了宽松和谐、自由活跃的课堂氛围，制造了必需的学生心理磁场；千方百计力求让课堂成为学生数学思维的运动场！

二、唤起经验—— “ 起跑 ”

师：今天我们学习的内容是五年级学生学习的，你们刚刚三年级结束，有信心学好吗？有了信心还要有好的学习方法。

（跳一跳，摘果子！）

师：今天我们学的内容是“分数的意义”。

（教师随即板书课题。）

师：关于分数，我们已经知道了什么？

（教师借用电脑 PowerPoint 演讲稿形式，实物投影，呈现问题。 ）

生 1 ：分子、分母和分数线。 师：你能举个例子吗？

（教师设问，引出话题。 ）

生：把一个苹果分成 2 份，取其中的 1 份就是 1/2 。

（该生说到第 3 遍，才悟出是“平均分”，教师没有急于求成，而是让学生自我纠正。从而突出概念的关键词“平均分”。这样的学习应该是刻骨铭心的！）

生 2 ：我还知道了分数的大小。 比如： 4/5>2/5 。

生 3 ：我还知道分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。 ……

师：老师也想说我自己知道的一些知识。

投影出示 4 副图：虽然都表示 1/4 ，但是可以看到古希腊人、古中国、古印度人、阿拉伯人用了不同的表示方法。三千多年前，用嘴巴的形状代表分数，后来逐渐演变到现在的 1/4 ，（教师依次向学生介绍分数的历史渊源） ……  

评析：《小学数学新课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。夏老师在教学《分数的意义》这一概念时，就是从学生学情出发，简短的一句“你已经知道了什么”唤起了学生已有的知识经验，找到了新知与旧知的链接点，改变了传统的概念教学 “ 复习——引新——练习——巩固 ” 的程式化、僵化的四环节教学。 教师借助现代教育媒体手段向学生介绍分数的由来，适时渗透了数学文化思想。导入部分，教师对于知识结构的变革，缘于教师全新的课程理念，使学生的思维开始了有效的“起跑”。

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三、文本阅读 -----“ 加速 ”

师：你还有什么问题吗？你还想知道什么？

（教师借用电脑 PowerPoint 演讲稿形式，实物投影，再次呈现问题。 ）

生 1 ：最大的分数是什么？

生 2 ：分数能乘除吗？

生 3 ：分数可以做应用题吗？

生 4 ：为什么会有分数？ ……

（学生头脑里装载着一系列数学问题，学生的思维是期待点燃的火种！绝非数学知识的简单容器！）

师：这些问题，相信大家可以通过看书，也可以上网查资料等方法自己去解决。 师：现在就请大家看书，哪些已经明白？哪些还不太明白，通过看书哪些可以自己解决，哪些还解决不了？我们就一起来解决。（ 学生看书。）

师：好，通过自学课本，你又知道了什么？

生 1 ：如果把一个东西平均分成若干分，其中有几分就可以用分数表示。

生 2 ：分数是怎么产生的？我知道了分数产生的原因。

生 3 ：如果把许多物体合在一起，就可以用自然数表示 ……

师：还有什么看不懂的地方？

生 4 ：一个自然数数字，为什么称它为单位 1？

师：板书： 1 与 “ 单位 1” 。

（教师及时纠正这里的 “1” 是指单位 “1” ，与自然数的 1 是有区别的。学生问题动态生成，教师说理就地取材，“随意”列举：像现在的一个班级，一个大会场所有的人，都可以看作单位“ 1” 。）

生 5 ：为什么不能说二分之一是一半呢？（能的。 ）

生 6 ：为什么不规则的图形可以看成一个整体？

（教师“信手”板书板画一个个不规则图形，引导学生可以将它看成一个整体。 ）

评析：建构主义教学论认为：学生的知识建构不是教师传授与输出的结果，而是通过亲历，通过与学习环境间的交互作用来实现的。如果说以往的概念教学，教师侧重于直观演示、通过举例让学生来理解定义，那么，新课程中，课堂活动发生了变化，教师的课堂角色也发生了变化。课本是知识的载体，是教师的教和学生学的中介物，它对教学起着指导作用。阅读文本，使学生真正走近（进）了“分数”的世界，《分数的意义》一课中，学生对于单位“ 1” 的理解是一个难点， 夏 老师大胆放手让学生提出问题，辨析问题，真正体现了学生是学习的主体，帮助学生实现思维的 “ 加速 ” 。

四、操作实验—— “ 冲刺 ”

师：我们要学会自己出题考自己。 现在来进行“闯三关”游戏。

【第一关】：试试你的眼力。


1 、出示一个长方形，标出其中的一部分，让学生目测是其中的几分之几？（ 1/3 。 ）

为什么看出三分之一？

把一个长方形平均分成三份，表示这样的一份。

学生回答后，教师板书： 1/3 是把一个长方形平均分成 3 份，表示这样 1 份的数。


2 、出示一个圆，阴影部分可用什么分数表示？

（学生猜测是 1/3 、 1/2 、 3/8…… 实际上是一个圆的八分之三）

教师板书： 3/8 是把一个圆平均分成 8 份，表示这样 3 份的数。


3 、教师出示的部分是整个图形的四分之一。 （露出的是一个小三角形），你能根据老师画的，画出下面的图形吗？老师告诉你，答案可能不止是一种。

学生操作，接着上台展示自己的画。

师问：关键看什么？ 生：看露出一份。

（学生展示的作品多姿多彩，生生互动，充分体现学生富于个性的思维以及每个人的主观能动性。）

老师也出示多种情况的图。 （说明有很多可能性，展示思维的多角度。）

【第二关】：快速抢答。

1 、铅笔实验：

师：把 6 枝铅笔平均分给 3 人，每人几枝？（ 2 枝）

师：把 8 枝铅笔平均分给 4 人，每人几枝？（ 2 枝）

师：把一盒铅笔平均分给 2 人，每人得多少？（ 1/2 ）

师：把一盒铅笔平均分给 6 人，每人得多少？（ 1/6 ）

生：把 6 枝铅笔平均分给 3 人，每人得其中的 1/2 。

师：为什么把 6 枝铅笔平均分给 3 人，每人得 2 枝，还可以用 1/2 表示呢？

把 8 枝铅笔平均分给 4 人，每人 2 枝，可以用 1/2 表示吗？

假如把 100 枝铅笔平均分成 2 份，每一份也可以用 1/2 表示吗？

（这一环节主要让学生弄清楚一些铅笔所表示的一个整体，平均分成 2 份后，都可以用 1/2 来表示。）

2 、画图实验：

师：出示 6 枝铅笔，我要拿走它的 2/3 ，请问拿走几枝？

生： 4 枝。

为什么？ 提问后板书： 2/3 是把一盒铅笔平均分成 3 份，表示这样 2 份的数。

师：出示 1 根小棒，我拿走了它的 1/5 ，请问一共有几根小棒？（ 5 根）

师：出示 2 根小棒，我拿走了它的 1/5 ，请问一共有几根小棒？（ 10 根）

师：出示 2 根小棒，我拿走了它的 1/5 ，请问一共有几根小棒？（ 15 根）

教师出示了三幅用不同的铅笔数表示相同的五分之一的画，让学生画出遮盖的部分。

学生操作后，展示学生作品。

小结后板书：


1/5 是把（）平均分成（）份，表示这样（）份的数。

（【第三关】可能由于时间关系没有完成，估计是“动手摆小棒”之类的学生操作性游戏。）

师：（进行课堂小结，形成完整的课堂板书，将分数的意义逐层抽象、概括、提升。 ）

师：师生对照着板书，进行课堂小结，教师质疑问难。

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评析：数学概念是“生活的具像”，又是具体形象事物的抽象与“升华”，针对小学生以形象思维为主的特点，夏老师没有直接奉献真理——把书本上现成的分数的意义告诉学生，这一环节的教学，当学生产生了强烈的探索欲望后，教师就及时设计了一系列的操作活动，调动了学生的多种感官来参与概念学习，引导学生猜一猜，想一想，动手画一画，亲身体验，合作交流，向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握“分数的意义”，“让学生在做中学”。教师主要抓住了不同物体所表示的整体平均分成 2 份后，其中的一份都可以用 1/2 表示；反过来，同样是 1/5 ，由于单位 “1“ 不同，实际上表示的铅笔的枝数却不同。整个新课的学习，教师看似淡化了定义概念的教学，实际上引在核心处，拨在关键处，强化了定义概念，教师成了真正意义上的学习组织者、引导者与合作者，借助于课堂这个思维 “ 运动场 ” ，不着痕迹地引导学生理解了分数的真正含义。数学教学也真正体现了数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。 整堂课，学生兴趣盎然，就在不经意间，学生建立了数感，理解了“分数的意义”，这充分说明夏 老师的数学课堂是一个充满灵性、动态生成的课堂，从引导学生“起跑“到“加速”，最后“冲刺”，水道渠成，他使每个学生获得了成功的体验。 这节轻松、活泼、实在的数学课，无疑为我们打开了一扇“概念教学”的新“天窗”！