朱乐平小学数学教学专辑

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朱乐平 “同分母分数的加减法”课堂实录

课前交流
　　"单位"--你父母在什么单位?
　　师:8在哪个单位工作?(学生有点懵)
　　师:8在十位上工作,表示8个十
　　 8在个位上工作……
　　师：8厘米的单位是什么？
　　生：厘米。
　　师：2/4的分数单位是什么？
　　生：2/4的分数单位是1/4分数单位。
　　师：3/8的分数单位是多少？
　　生：3/8的分数单位是1/8
　　师：有几个这样的单位呢？
　　生：３个
　　师：４／５有几个１／５
　　生：有４个１／５
　　师：我们做过这样的计算吗？
　　２＋３＝５
　　师：我们还可以在这样的数轴数。

赏析：朱老师从单位入手，创设了这样的学习情境，它不同于一般的生活情境，其高明之处在于这样的思维情境，尽可能地去除了非数学因素、非本质内容的干扰，实现了课堂的高效和长效。
　　数轴，不但为下面同分母分数加减法作了铺垫，同时又为下面学生在计算中出现假分数的情况，提供了解释的依据！可谓构思精巧！
　　
　　师演示小棒图和数轴：我们可以数数的，先数2，再加3。5-3=3（同加法演示）先数5个，再回去3格。
　　刚才我们回忆了一个一个地数
　　分别出示有单位（厘米、分米）的数轴
　　跟上分数单位的数轴 0/2 1/2 2/2 ……
　　（在分数单位的数轴上可以加，也可以减，演示）
　　练习：按规律自己写。 0/8 1/8 ……
　　师：如果1/12 1/30，可以接着写吗？
　　教师出示：
　　分数单位都一样 分母一样 同分母分数
　　师：同分母分数是什么意思？
　　生：同分母分数就是分母都一样的分数。
　　师：谁能举例子说明
　　师：分母一样的分数，分数单位就一样
　　齐读3个名词
　　接着教师让学生联系数轴用数数的方法计算“２厘米＋３厘米＝５厘米”、“３分米＋５分米＝８分米”，
　　师：出示厘米尺，调处2个相加 2厘米+3厘米……这样先找到2厘米，在数3厘米，这样的方法称为数数法。
　　师： 独立思考：在上面的这些题中每次挑出2个，组成一个加法算式，请你写出一些算式，并用数数的方法，计算出他们的结果。想一想，要是不用数数的方法，如何计算同分母分数的加法。
　　进而让学生用数的方法说明“1/4+2/4=3/4”。
　　接着让学生去计算：
　　2/4+3/4 4/4+5/4 5/4+8/4 4/4+5/4 13/4+25/4
　　师：你是怎么算的，为什么可以这样算？
　　生：2/4+3/4=(2+3)/4=5/4
　　4/4+5/4=(4+5)/4=9/4
　　师：再挑出2个数加一加，1/4+2/4我还可以用不同的方法数
　　出示长方形，在长方形上涂一涂
　　学生独立完成：2/4+3/4=（2+3）/4……
　　师：你有没有用数数的方法？怎样计算的？
　　生： 分子相加，分母照抄
　　师：2/8+3/8=5/8我们都会加了，请你用画图的方法说明计算的道理。
　　
赏析：用在数轴上数数的方法帮助学生理解同分母分数的加法不仅使学生理解其算理，也为学生在计算同分母分数加法时出现假分数提供解释的依据，并扫除认识上的障碍。
　　让学生用在同一个长方形中涂色的方法来理解同分母分数加法，很好的帮助学生理解和掌握分母不变，分子相加的道理。

　　
　　师：图也可以不用了。
　　2+3=5 2/7+3/7= 2/5+3/2= 2/6+3/6= 2/8+3/8= ……2/（ ） +3/（）
　　师：为什么在中间写上2+3=5
　　生： 第一个分子是2，第2个的分子是3，和的分子都是5
　　师：2+3=5也可以说2个单位+3个单位=5个单位。
　　师：怎样计算同分母分数的加法？
　　生：……
　　师：可以简单得说分子不变，分母相加
　　 想一想，怎样计算同分母分数的减法？
　　 分母不变，分子相减
　　师：这节课我们做了什么？
　　
　　
朱老师的这堂课无疑是本次观摩活动精彩的一堂课，最受争议的一个教学设计了。有不少的老师都提出了质疑，对与本堂课的实录，我也不知道条理整理清楚了没有。以我一个普通的旁听者的理解：朱老师是在课堂上极力引导学生用数数的方法（主要体现在数轴上），在多次演示和操作后，让学生自然概括得出同分母分数相加的方法：分子相加，分母不变。听课时，边上的很多老师都不解：朱老师在干什么？不是把问题复杂化吗？通过切西瓜蛋糕，很好解决的问题，非要牵扯到枯燥的数轴上……后来朱老师在讲座上提出了自己的思考：在三年级初步分数后，因为没有涉及真假分数，对分数认识的局限性，当分子相加大于分母时往往会显得措手不及，认为分数的分子是不可能大于分母的。对此，朱老师做了深入的调查和研究。我们不得不佩服朱老师的钻研精神。朱老师的通过数轴上的数数确实扫除了这个思维障碍，学生做起同分母分数的加法是顺手捏来了。但是笔者思考：学生是被“灌输”用数数法计算同分母分数的加法（同单位数的加法），数数法是学生在低年级学习中就早为熟悉的，在本课中一而再 ，再二三的提出，有几许的必要性。同样是灌输，何不在学生了解“分数单位”概念后，就提炼出相同单位的数可以直接相加。“数数法”对与本课又起着怎样的作用？

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朱乐平 “圆的认识”教学实录

第一课时

一、课前谈话。

师生谈话，教师与学生围绕下面的问题进行交流。“我们以前没有见过面，你们看我（老师）的这张脸是圆圆的脸，还是方方的脸？”学生一般都认为我的脸不是圆圆的。我给每一个同学都发了一张纸，纸上有一些图形，“看一看，有一张脸画着，那就是我（老师）。老师非常喜欢圆圆的脸蛋，看一看，找一找，你们班上的同学中，哪一个的脸是圆圆脸蛋？”学生一般都会找几个同学，常常是比较胖的几个同学。

[设计意图：由于是借班上课，教师与学生之间会有一定的陌生感，设计谈话的内容既要有趣，又最好与学生所学的内容有关系。上述谈话的内容，一方面试图拉近师生之间的距离，另一方面唤起学生对平常见过的“圆”这一形象的回顾，唤起学生生活中的一些圆的经验和知识，为学生进一步学习圆的知识奠定基础。]

二、充分利用原有的经验，在活动的过程中，体会圆的特征，弄清圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小

师生谈话：“老师猜测可能有一些同学已经用圆规画过圆。谁能说一说用圆规怎样画圆？”学生讲述用圆规画圆的方法。教师对学生的发言适当评价，并提醒学生用圆规画圆时的注意点。

1．活动：明确半径决定圆的大些
（1）请同学们看一看老师发给你们的这一张，上方有一个圆，请你再画一圆，使得你画出的这个圆，比原来的这个圆小一点。

（2）再画一个圆，要比原来这个圆小得多。先想一想，再画一画。

（3）谁能说一说，如果要画一个比原来这个圆要大得多的圆，你想怎么画？

（4）刚才我们画出了大小不同的圆，谁能说一说，圆的大小是由什么来决定的？

学生能说出：圆规两脚张开得大一些，画出来的圆就大；圆规两脚张开得小一些，画出来的圆就小；也有一些学生说出：圆的半径决定圆的大些

师生一起归纳：圆规两脚尖之间的长度决定圆的大些（板书）教师在一个圆里画一条半径，让学生认识半径，并板书：半径决定圆的大些

2．活动：明确圆心决定圆的位置。
（1）每个同学都拿出一张白纸，能不能画一个圆与发下来这张纸上的圆一样大。要画在右下方，你们还可以画在哪里？

（2）思考：现在我们画出的圆一样大，但位置不同，圆的位置是由什么来决定的？
圆规一个脚尖指在纸上的点（叫做圆的圆心）决定圆的位置。
圆心决定圆的位置。

[设计意图：学生通过操作、经历、思考、想像，让学生认识到半径决定圆的大小和圆心决定圆的位置等知识点，培养学生的空间观念。]

三、通过“整容”活动，让学生进一步体验圆的特征。

看一看老师发给你们的这张纸，上面画了一个老师的脸，它不是圆圆的，老师如果要想整容成圆形的脸，你能不能画一个图，告诉医生应该怎样进行整容？

1．每一个学生都独立的画图；

2．学生画图后全班交流。
学生常常会以鼻子为中心进行整容。表达常常是：
（1）以鼻子为圆心（中心），以鼻子到耳朵的长度为圆规两脚之间的长度（圆的半径），画一个圆。要削去一些肉（骨），使得外面一圈到鼻尖的长度相等。

（2）以鼻子为圆心，以鼻尖到头顶的长度为圆规两脚之间的长度（圆的半径），画一个圆。要贴上去一些肉，使得外面一圈到鼻尖的长度相等。

[设计意图：这一活动对学生来说比较有趣，有利于激发学生学习数学的积极性，并且让学生初步应用圆心、半径这样的术语来描述一个圆。]

四、通过剪下画在纸上的圆，让学生进一步体验圆的特征。

师生谈话：“在教师发下来的这一张纸上，画着差不多大小的一个三角形和一个圆形，如果要把这两个图形都剪下来，你估计剪哪一个图形的时间省一些，为什么？”学生能直观地判断剪三角形比剪圆形要快一些，因为圆是由一条弯曲的线围成的。教师进一步要求，请每一个同学都把纸上的这个圆剪下来。

[设计意图：要求学生对圆与三角形这两个图形进行比较，再把纸上的一个圆剪下来，通过这样的操作活动，让学生进一步体会圆是由一条曲线围成的图形。]

五、让学生独立思考，想一想、写一写什么样的图形叫圆或圆有什么特点。

多数学生能够用自己的语言来描述什么叫圆。

[设计意图：在学生多次感知圆的特征的基础上，让学生用语言表达什么叫做圆，一方面培养学生独立思考的能力，另一方面让学生学习概括，把自己感知到的事物，用语言表达出来。这个过程有一定的难度，挑战性很大。]

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第二课时

六、学生和教师睁开眼睛、闭上眼睛徒手画圆，从反面进一步体验圆的特征。

1．请学生不用圆规，徒手在纸上画一个圆。先看一看，用徒手画的这个“圆”圆不圆。再比一比，这个用徒手画的“圆”与用圆规画的圆有什么不一样。

2．教师徒手睁开眼睛、闭上眼睛在黑板上画圆。教师闭上眼睛画的这个“圆”画成一个不封闭的“圆”。然后师谈话：教师指着这个不封闭的“圆”，问学生，这还是圆吗？最不像“圆”的是什么地方？学生能指出不封闭就不是圆。

[设计意图：通过徒手画圆，让学生进一步体验圆是一个封闭图形，并且曲线上任何一点到一个定点的距离要相等。]

七、学生先独立思考，写一写什么叫做圆或圆有什么特点，再以小组为单位交流并讨论圆的特征。

[设计意图：进一步培养学生独立思考和交往与合作的能力，进一步培养学生数学的表达和交流的能力。]

八、全班交流，归纳总结出圆的特征，并用反例巩固。

1.要求学生以小组为单位汇报，你们小组的研究成果。进而全班一起归纳出：一个图形如果同时满足以下两个条件，那么它就是圆：一是封闭曲线；二是这条曲线上的任何一个点到中心（一个定点）的距离都要相等。

2.让学生画出几个图形，它满足上面的一个条件，看一看这些图形是不是圆。教师画出三个图形：（1）由一条凹凸的曲线围成的封闭图形，但曲线上的点到中心的距离不是处处相等；（2）一个椭圆；（3）一个圆的一部分（一条不封闭的曲线）。让学生判断这几个图形是不是圆，为什么？

[设计意图：通过学生自己举反例，判断一个图形是否是圆，让学生进一步理解和巩固圆的特征的认识。]

九、研究半径与直径的关系，并初步应用关系。

1.让学生在圆内画半径，直径，说一说，半径与直径的条数，（无穷多条）半径与直径的关系：d=2r。

2.让学生利用d=2r编题，并感知实际圆的大些学生能编出已知半径求直径，已知直径求半径的题目。如已知一个圆的半径是5米，直径是多少？教师进一步问：半径是5米的圆，能否把我们班的同学都围进去（学生坐着不动），如果半径是10米呢？从而让学生想像实际圆的大小，培养学生的空间观念。

[设计意图：半径、直径的条数对多数学生来说比较简单，因此，放手让学生自己探索，自己得出结论；半径与直径的关系也比较简单，让学生自己编题，可以进一步理解这一关系。学生对于量的实际大小感知相对比较弱，因此安排了让学生想像半径为10米的圆有多大，这样的活动，一方面培养学生对量的大小感知，另一方面也培养学生的空间观念。]

十、总结并提出进一步研究的问题。

师生谈话：关于圆我们已经知道了什么？我们是怎样学习圆的知识的？如果我们还想继续研究圆，那么，还有哪些问题可以进一步研究？学生总结这节课，回顾学习的过程，提出许多进一步研究的问题：圆的周长怎样求？怎么求圆的面积？圆是谁发现的？圆周率是什么意思？等等。

[设计意图：让学生进一步提出研究的问题，是希望学生能够感受到学习无止境，人的一生只有要不断进行探索，不断地进行学习，才有意义。]

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朱乐平《分数初步认识》的教学实录和分析

【编者视角】一堂成功的数学课，不一定是一节完美的数学课。我们不能要求一节课面面俱到、一应俱全，而重在突出数学思想，形成数学方法，揭示数学规律，实现教学目标。特级教师朱乐平在成都师范教育学院为省级骨干班教师所作的《分数初步认识》一课，是一堂经过很多人尝试过的概念起始课。本课朴实而生动，朴素而深刻，课堂集多种先进的教育理念于一身，突出地从分数本身的意义出发，建构结构化知识，在已有经验与数学化思维联系上合理迁移，让学生通过观察、思考、分析、体验，在一系列的追问和探寻中，比较深入地对一种数学意义进行认识和理解，达到由表及里地逐层实现数学思维明晰化，为学生形成数学概念，作了很好的教学示范。朱乐平老师说，为了突出一种教育理念可以把一堂课上得偏激一点。什么叫偏激？我们认为，不外乎超乎大家的平常套路或模式，敢于尝试教学的新思想、新手段、新方法，构建新格局，实现新目标。我们希望在数学教育的领域里，不断有人从实际出发，把自己的真知灼见像朱乐平老师那样付诸实践，哪怕是暴露一些瑕疵，产生一些纰漏，但只要无关大局，定会产生出意想不到的效果，让人回味无穷！

[课前谈话] 老师要求学生介绍自己的学校，并在介绍时要带有一些数，如人数、教学楼的高度等。

[设计意图] 由于师生是第一次见面，相互之间会有一定的“距离”，为了缩小这种“距离”，设计了这些谈话。学生对自己的学校或班级比较熟悉，会有话可说。要求用数来介绍学校，是为学习分数打下一点基础。另外，在这一个谈话的过程中，一方面便于了解学生的一些情况，如表达的习惯、发言是否比较大胆等等；另一方面，也希望学生初步地接触我的语言。我经常会在一个学生发言后，说：“有谁听懂了这个同学的话了？”像这样的语言有些学生可能不习惯，因为教师没有发表自己的观点。可能会有一些学生习惯老师说：“好，表扬他！”“不对，谁对他的发言有意见？”总之谈话的过程是师生相互熟悉的过程，是拉近“距离”的过程。

一、过渡

[课堂设计] 上课，教师手里拿着两个大小有明显差异的苹果，问学生两个苹果用什么数表示。学生回答用“2”后，教师把其中的一个苹果分给前排的两个同学，手里还有一个苹果，继续让学生回答用“1”表示。教师再把手上的这个苹果又分给另外两个学生，手里已没有苹果，这时再让学生用数表示。教师指着有一个苹果的那两个学生说，如果这两个同学都想吃这个苹果，那么怎样分比较合理？进而复习平均分，教师把两个苹果都用刀切开，使每一个苹果都变成两个半个苹果后，让学生用数表示，引出分数，提示课题。


[设计意图] 这个环节主要是让学生从熟悉的整数表示事物的量开始，提示出当整数不能表示一些事物的量时，需要引入一种数表示事物的量，让学生感知分数产生的实际意义。

[课堂实录]
师：如果他们两个人都想吃这个苹果，怎么分比较好？（停约10秒）
生1：一人一半。
生2：都给一个人吃，其他3个人不吃。（笑）
生3：榨成苹果汁分。
生4：一个苹果，轮流一人吃一口。（笑）
师：现在有很多种分法，特别是有个同学说榨成苹果汁分着喝，是个好办法！可我们现在不方便，现在用什么办法分给他们呢？刚才谁说得好？
生：切开一人一半。
师：（切开两个苹果举起来）现在我已经切开了，每人一样多，这样的分法叫做什么分？
生：平均分。
师：我们知道，一个苹果可以用“1”表示，现在半个苹果怎样表示？生：零点五。（板书：0.5）
生：一半。（板书：一半）
生：半边。
生：二分之一。
师：二分之一，我写成 。（板书： ）
师：“二分之一”可以表示这样的一半，“零点五”也可以表示一半，这个我们都明白，就像分西瓜，你一半，我一半……
生1：（举手）还有，那个棒棒冰可以弄成两半。
师：棒棒冰什么意思啊？
生2：就是像棍子一样的冰棒。一头有一个尖尖的，不是二分之一，是三分之一。
师：一头有一个尖尖的？（师不明白，尝试按照学生的想法画图）是这样吗？…说得好，把它平均分成两半，一半也是二分之一……
生：以前见到过一根“／”，左边一个“0”，右边一个“0”。
师：我们能用这个数表示半个苹果吗？
生：50％。师：这是一个有问题的地方。我们不知道用50%可不可以表示这半个苹果？大家可以去课外查一查，老师也不是很清楚。好了，对于这样的一个数：1/2 ，你知道它叫什么数？
生：它的名字叫做二分之一。
师：它是叫二分之一。它是一个分数。（板书：分数）

[课后反思] 这个过程中的预设和生成差异不是很大。但学生对于“怎么分”能有这么多的办法，使我吃惊。

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二、着力

1.结合图形初步理解 的含义。

[课堂设计]看下面图形，使学生理解阴影部分和空白部分都可用 表示。 逐步使学生感到只要是“半个”，就可用 表示，并让学生再举例说明。（1）引导学生掌握 的读法，并理解分母“2”和分子“1”的含义。（2）引导学生理解 的含义，逐步使学生懂得 是一个数，它表示把一个东西平均分成两份，表示这样1份的数。 [设计意图] 这个教学环节主要是想使学生初步理解二分之一的意义。“半个”是学生原来生活中已经有的概念，这是建立二分之一这个“数”的一个固着点。因此，在这个环节中，使学生建立“半个”与“二分之一”的联系。用三个图形，把它们都平均分成两份，每一份都可以用二分之一表示，一方面为学生初步理解二分之一提供直观的帮助；另一方面，也使学生初步地感受到两个二分之一合起来就是一个整体，就是“1”。

[课堂实录]
师：现在大家对 有一点了解了。它是一个数，一个分数，把一个东西平均分成2份，表示这样的一份的数。（板书最后一句话）
生：齐读。
师： 里面的“2”和“1”各表示什么意思？安静地想一想。（重复一次问题）
生1：“1”表示一个东西，“2”表示把这个东西平均分成2份。师：有谁听清了他的意见的？……简直棒极了！
生2：他说的是“1”表示原来的一个苹果，“2”表示把这个苹果平均分成2份。
师：还有别的理解吗？
生3：“2”表示两个一样大的东西，两个半个。“1”代表两个东西中的一个。师：（重复学生的回答）回顾一下，现在“1”有两种意思了。“1”表示“1个”或“1份”，“2”表示“2份”或“2个半个”。
师：先不急，听懂他说。
生：把一个苹果平均分成2份，加起来是一个苹果。师：现在有三个同学解释了，再请一个同学说一说意思。
生：先把一个东西平均分成两半就是“2”，再把两半合成一个就是“1”。
师：这是1/2 ，这也是1/2 ，1/2和1/2合起来是多少？
生1：1/2加1/2等于1。
生2：2/2。
生3：是一半。
生4：是“1”。
师：我们现在是在理解 里的“1”“2”各是什么意思。刚才一个同学解释非常有道理的：（举着苹果）半个，半个，合起来是一个。这里没有什么问题了。
生：我有一个问题：1/2表示什么？
师：有谁能解释 是什么意思？
师：（指板书） 是一个数，说把一个东西，平均分成两份，表示这样的一份。1/3呢？
生1：3份里面的一份，把一个东西平均分成3份，表示这样一份的数。
生2： 是什么？
生3：把两个东西平均分成三份。
师：两个也能这样分，对的，非常好！
生：老师，中间的横线表示什么意思？
师：有谁知道他的问题是什么？（生重复问题）
师：有谁知道这个问题的答案？
生1：是分的意思。
生2：平均分。
师：对，不是随便分，应怎样分？
生：平均分。
师：这些问题都解决了。还有什么？
生：2/3是什么意思？
师：你知道三分之二是什么意思吗？
生：3个苹果拿掉1个，剩3个中的2个。
师：是这样的吗？如果三个苹果一样大，他的解释是非常正确的。
生：把2个苹果平均分成3份。
师：2个苹果怎样分成3份。我们画个图形，这样可能就清楚一些。
生： 表示什么意思？
师：这些分数都可以像二分之一那样去理解。

[课后反思] 在这个环节中，前面部分预设与生成基本一致，后半部分预设与生成之间相差较大。由于学生刚接触分数，就让学生去感受两个二分之一相加等于1，没有必要。这是教学的失误。这个班级的学生提出了一些分数，并问这些分数的具体含义，这对于我来说，没有在预设之中，当时的想法是，由于是初步认识，在这个环节中，不要有太多的展开。其实当时应该回去重新讨论二分之一的含义，并根据这个含义去理解学生提出的这些分数的含义。如可以让学生根据“二分之一是一个数，它指的是把一个东西平均分成2份，表示这样1份的数”这个句式，去说三分之二的含义。但当时的我没有这样做，使得学生没有很好地对除了以外的分数有一个较好的理解。这个环节的教学效果，不够理想。

2.结合具体实物，揭示部分与整体之间的关系。

[课堂设计]
教师手里拿着两个半个苹果（因为原来两个苹果有明显大小，所以这里的两个半个也有明显大小），问学生：它们都用 表示，为什么有大小？让学生根据原来苹果的大小推断半个苹果的大小。再让学生反过来思考，教师问学生：如果小明和小红都从自己家里拿来半个西瓜，拿到教室后大家发现，小红的半个比小明的大，想一想，原来的西瓜谁大？让学生根据一个东西的二分之一的大小来推断原来东西的大小。根据学生的回答完成下面的板书： [设计意图] 这个环节主要使学生能够根据分数推断整体与部分之间的大小关系。这是分数的一大特点，当我们知道一个分数所表示的具体量时，就可以去推断整体的大小。当我们知道两个分数所表示的具体量时，不但可以直接比较这两个具体量的大小，而且还能比较它们所对应的整体的大小。

[课堂实录]
师：（举起两半大小明显不同的苹果）这是1/2 ，这也是1/2，为什么不一样大呢？静静地想一想。
生：一个苹果大，一个苹果小，分别切成两半，也一定是有半个大，半个小。
师：有谁来说说，他说的是什么意思？（有学生说对的）不要先说对错，先弄懂这个同学说的什么意思？
生：大苹果比小苹果大，所以大苹果的一半也比小苹果的一半大。
师：如果一个东西大，它的 就大。如果两个东西一样大，则两个东西的 也是——
生1：一样大。
生2：一个苹果的两半一样大，两个苹果也一样大，它们的1/2就一样大。
师：你能到过来说三句话吗？
生：……（觉得困难）
师：（引导并且示范）如果一个东西的1/2大，那么原来的这个东西就大，如果一个……

[课后反思] 在这个过程中，根据整体的大小去推断整体的二分之一的大小，学生理解得比较好。倒过来，即由部分的大小去推断整体的大小学生比较困难，我在这里引导语不够理想，估计按照原来教学设计中的问题：如果小明和小红都从自己家里拿来半个西瓜，拿到教室后大家发现，小红的半个比小明的大，想一想，原来的西瓜谁大？用这个问题引导可能会更好一些。而现在没有去举例，只是直接抽象地表示这种关系，可能只有部分学生能够理解这种相对关系。

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三、迁移 [课堂设计] 1、听写 ； 2.先想想 的含义，再四人小组讨论、交流； 3.动手折纸，并用阴影表示出纸的 ；学生可能出现的折纸形式： 4.从四分之一逐步推广到四分之几；引导学生理解分数。 [设计意图] 这个环节主要是让学生从二分之一过渡到四分之一和四分之几。通过独立听写、自己思考、小组交流、动手操作等活动，能够对四分之一有一个比较好的理解。再利用图形的直观性，认识四分之几等分数，并且在一个图中，阴影部分和空白部分同时用分数表示，一方面能更好地理解分数的意义；另一方面也使学生直观感知阴影与空白所对应的部分与整体之间的关系。 [课堂实录] 师：请你拿出纸和笔写出分数。写出1/4 ，想一想，它的意思是什么？ 生：(学生写后)把一个东西平均分成4份，表示这样1份的数。 师：如果这个东西就是这张纸（拿出纸），请你折出 1/4，并用颜色涂出 。 学生动手折纸和涂色。 教师多媒体展示四种结果，学生对比自己的方法。教师继续多媒体展示田字格。分别涂色一格、两格和三格。请学生说出四分之一、四分之二、四分之三。 教师重复上面的多媒体演示，学生说明空白部分用分数表示是：阴影：1/4 空白：3/4 [课后反思] 在这个过程中，用师生问答的方式，让学生用分数表示图形的阴影部分，这个引导过程是必要的。但当学生用分数表示出一个图形的阴影部分以后，我可以更放手一些，可以让学生看一看，几个图形，并从左往右的想一想，如果要用分数表示空白部分的话，应该怎样表示。这样学生思考的空间更大。 四、深化 [课堂设计] 请你分别用分数表示阴影和空白部分。 这些题目，一个一个地出现，先出现从上往下数的第二个题，即让学生用分数表示只有一格是阴影的这个图形。然后依次向下出现，直到出现最下面的这个题目。填写分数后，让学生从上往下，看一看有什么规律。再从下往上看，有什么规律，并出现最上面这一题，再让学生填写相应的分数。 [设计意图] 这个环节主要是对已经学习的分数概念进行巩固和练习，在巩固和练习的过程中，又有适度地拓展，让学生表示出五分之五和五分之零，通过对这两个分数的理解，学生可能会对分数有进一步的认识。这样既巩固和加深了对原概念的理解，又对概念有适度的拓展。我比较喜欢这样设计练习。另外，在此过程中也能让学生初步感知量变与质变的规律。 [课堂实录] 教师出示第一个分成五等分涂了一份阴影的长方形。要求学生并排地写两个数，左边的分数表示阴影部分，右边的表示空白部分。 学生独立完成后，教师问：现在这个长方形平均分成几份？阴影部分是几分之几？空白部分呢？ 学生回答正确后，教师继续出示第二个分成五等分涂了两份阴影的长方形。要求学生写两个分数。 学生独立完成并回答正确以后，再依次出示一个分成五等分长方形，涂了三份、四份、五份阴影，要求学生写两个分数。 教师出示五等份全涂满的长方形，提示：“注意看，开始写。” 个别学生一边写一边自语：五分之五；五分之零。 较长时间沉静后，教师问：“阴影部分是多少？” 学生回答：“阴影部分五分之五。”“空白部分五分之零。” 教师：“五份都拿出来了，空白部分还有吗？对了，大家回答正确。” 师：现在我们由下往上看，（出示空白长方条），先写阴影部分，再写空白部分，看它们各是几分之几？想想，两个分数合起来表示了什么？ 学生独立做完后，师生校对答案。 [课后反思] 这个环节预设与生成基本一致。对基础比较好的班级来说，还可以更放手一些，适当减少老师的提问次数，让学生独立地解决问题。 五、提炼 [课堂设计] 下面图形的阴影部分都用 表示对不对，为什么？ 学生先讨论，再师生一起共同归纳。第①题不等分；第②题不是4等分（分母错）；第③题阴影部分不是1份（分子错）。师生一起归纳出解这类题的思维过程：⑴要等份；⑵共分几份；⑶表示几份。 [设计意图] 用反例来巩固分数概念。当学生学习一个概念时，通常我们应该先让学生接触“正例”，说明这个概念是什么，而不是首先让学生接触这个概念不是什么。但当学生初步地理解了分数的概念以后，运用反例，可以使学生更好地理解分数的意义，这样就能知道这个概念是什么和不是什么，即弄清概念的内涵与外延。在这个环节中，归纳了解决这一类问题的思路，这实质上是对数学思维过程的分析，分析“当出现一个图形，这个图形的阴影部分或者空白部分如何用分数”表示这类题目时，可以按照怎么样的思维过程来解决这个问题。一是要等分，也就是首先要看这个图形是不是等分成若干份，如果没有等分，要进一步看是不是可以等分。如果不能等分说明不能用分数来表示，否则就可以用分数来表示。二是共分几份，在等分的前提下，要进一步看一共分成几份，这是写出分数的分母。三是表示几份，进一步看要表示的是哪一部分，通常是指要表示的是阴影部分还是空白部分，这个部分有几份。这是要写出分数的分子。只有这三步完成了，这个题目才算完成。要检查做得对不对，也可以按照这三步去检查。把解决问题的思维过程拉长，有利于学生更好地掌握解决这类问题的方法，特别有利于提高中小学生解决问题的正确率。 [课堂实录] 师：（出示图1）这个能用 表示吗？ 生：错了，它在上面没有平均分。 师：为什么错了呢？要等分，或者说平均分。 师：（出示图2），这个用 表示对了吗？ 众说：错了。 生：应该是三分之一，因为是平均分成三分。 师：对，一看是不是平均分，二看等分成几份。（出示图3）表示成 对了吗？ 生：错了。 生：应该是 。 师：对，这个要看清表示的是几份。判断一个分数表示正确没有，第一个我们要看这个图形它是一共分成几份，是不是等分，平均分；第二个是我们要看的一共分成几份，第三个要看表示几份。 [课后反思] 这个过程预设和生成基本一致。以后可以进一步去尝试，是否有可能让学生自己实践反思，由特殊的反例来归纳解决这类问题的思维过程。六、小结今天我们学习了什么内容？我们懂得了什么？我们是怎样学习分数的？学生按照学习的线索作了回答。接着请学生提出问题：50%是什么意思？ 怎么表示？ 、 是什么意思？师：有人还说过“ 加上 等于 ”，是吗？这节课我们不解决这些问题，如果想知道，可以查资料，也可以看书，以后会明白的。

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【同行交流】

为有源头活水来

成都师范教育学院 张晓霞

一、和谐的课堂，源自教师对学生的尊重
“请你再说一遍好吗？”“有谁听明白了这位同学的问题？”“还有同学有别的理解吗？”当老师问“半个苹果怎样表示”时，学生可以回答“0.5”、“一半”、“半边”、“50%”、“ ”……这样的无拘无束、兴致勃勃。出了轨的问题，被给予一席之地——放在新问题“库”中，没有理解的问题，学生可以指指点点、走走停停。在这种和谐的、民主的、宽松的课堂环境下，学生数学学习过程中的真实想法被充分地表达出来了，分数学习过程中的问题也暴露了出来，成为一种学习的资源和教师教学的重要资源。

二、活动的课堂，源自对学生心智的启迪
从知识展开的角度看，朱老师从用整数表达的量谈起，通过研究苹果一半的表示方法引入分数，进而研究分数的含义、分数表示的整体与部分关系，再通过写分数并用语言解释含义、折纸、涂画、辨析等练习形式，巩固知识，可谓层层深入。而知识展开的每一个环节，老师都用问题引领，把学生引进思维的大门：“半个苹果怎么表示？”“ 表示什么意思？”“ 中的1和2表示什么意思？”“为什么都用 表示，可苹果不一样大？”老师始终让学生保持启用相关知识和经验理解数学概念的欲望，保持让学生解释问题的动力，让学生运用多种思维技巧思考问题。学生在老师的启迪下，不断地思考问题、提出问题、追问问题。

三、生成的课堂，源自师生的自我超越
在这节课里处处闪现出学生直觉思维的火花。在回答“苹果的一半如何表示”时，有学生说“0.5”，更有学生用“50%”来表示。在这里，学生显然不知道百分数的意义，可是却也用来表示苹果的一半。在回答“ 表示什么意思”时，有学生认为是“把2个苹果平均分成3份，表示这样的一份”，这并不是基于对分数的另一层含义的了解，是否也可以解释成直觉思维的结果？在提出“ 和 合起来是多少”的问题后，很多学生回答“ ”，这似乎也是凭借一种直觉。学生的直觉思维能力，是数学教学值得关注的内容。课堂上，只有打破思维的禁锢，才能实现学生的自我超越。而学生大胆的思考、自我超越，离不开老师的智慧启迪和包容引领。

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精彩的课堂，精彩的文化

成都高新区教研室 李建萍

一、文化底蕴成就名师课堂课堂上，
老师设置了这样两个问题： 的“1”和“2”各表示什么？一个苹果的 和一个西瓜的 为什么不一样大？第一个问题，学生说：“1”表示一个物体，“2”表示把这一个物体平均分成了两份。老师问：还有别的理解吗？学生说：“2”表示把一个物体平均分成了两份，“1”表示其中的一份。老师说：“2”表示2份或2个半个。这一点，大家的意见是一致的。看来，“1”有两种意思，有同学说“1”表示“1个苹果”，有同学说“1”表示分出来的“1份”，你们有什么意见？大家各抒己见，把“1”的意思弄得清清楚楚，也水到渠成渗透了分数与除法的关系。第二个问题，使学生初步感悟到两个分数（分率）的大小一样，但它所对应的量的多少不一定一样，这决定于所分的总数的大小。这样，学生对分数的理解就不是单一的而是多维的了。这样的问题让听课教师不得不叹服朱老师把握和处理教材的功底。

二、价值追求彩绘名师课堂数学课堂的价值在于学生数学学习活动的“真参与”。
上课了，老师让同学用数字介绍自己的学校，班级……刚开始，学生有些局促，说话表达有些不完整，但老师并不是强硬地去纠正他，而是不经意地去示范。渐渐地，学生感觉到自己置身于一种安全、宽松的课堂环境之中，开始举手争着发言，有了一种积极的行为参与和情感参与。有学生没有听清楚问题就争着发言，老师引导他理解问题：“你知道老师的问题是什么吗？”有学生还没想清楚就举手发言，老师引导他思考问题：“不着急，安静地想一想，想明白再说。”有学生的发言背离主题，老师没有马上像裁判似的站出来评判，而是静静的，用一种期待的、信任的眼光环视所有的学生，等待学生来相互纠正和补充。于是课堂成为了学生智慧的乐园。

三、自我剖析铸造名师
课堂下课了，听课的老师都纷纷走出教室活动筋骨，朱老师却打开了自己随身携带的笔记本电脑，一边思考，一边飞快地敲打着键盘。在后来的交流中，朱老师已经有了一份相当成熟的“PPT”教学反思。反思中既有对照、检查目标的落实情况，也有对落实好的方面和不足的方面的原因分析，更有对落实不理想方面的修改的设想。朱老师的剖析，既真诚、客观又非常深刻。我惊叹这种良好的反思习惯，佩服这种自我剖析的精神。

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细节的背后是思想

成都市教科所 张碧荣

作为一名教研员，各种观摩课看了不少。作课的老师也多是青年骨干老师，综合素质好，业务能力强，课也上得不错，但在他们某些人身上，总隐隐约约地感觉到似乎还欠缺点什么，此次有幸观摩了朱乐平老师执教的《分数的初步认识》，那淡淡的困惑终于明了，他们所缺的，是教育思想的深邃与激起学生互动的能力。首先，教者设计了两个问题：“ 里面的2和1各表示什么意思？”“这个是 ，这个也是 ，它们为什么不一样大呢？”看似随意，实则匠心独具。第一个问题仅扣分数的意义，第二个问题渗透了后续学习中单位“1”的知识。学生弄清楚了这两个问题，也就把握住了分数的本质意义，为以后学习解决分数、百分数、比例的应用题打下了“桩”。将一节课的内容通过一两个核心问题反映出来，需要从细节入手准确地抓住本质，更需要设计的思想和智慧。其二，每当抛出关键问题，教者总是停顿十余秒，给学生留足思考的时间，让学生“静静地思考”。而当学生回答了关键的问题后，教者并不急于加以赞赏或肯定，而是通过提出一些小要求——“有谁听清了他的意见”、“先不急，听懂他说”、“有谁知道他提的是什么问题”、“还有别的理解吗”等，有意识地在关键之处引导学生停留、思考、回味，让学生之间互动起来，使思维活跃起来。在赞叹朱老师精湛的教学艺术之余，对于“ 里面的2和1各表示什么意思”这一环节的处理提出看法与朱老师商榷。对于分数的意义，教材中是这样阐述的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。分母表示把单位“1”平均分成多少份，分子表示有这样的多少份。从中看出，分母和分子的属性都是相同的，都表示的是“份数”。如果对于学生“1表示一个东西，2表示一个东西平均分成2份”的回答给予“棒极了”的评价，则 的意思成了“ ”，分数的意义拓展成这样，还有待推敲。虽然根据分数与除法的关系可知：a÷b= (b≠0)，但被除数的a与分子a所表示的意思一样吗？抛开此争议不说，理解分数的意义，任由学生开放性、多元化的理解，对“2表示把一个苹果平均分成2份，1表示其中的1份”不加以强调、巩固，致使学生对分数意义的理解并不清晰、不深刻，也才有了后面学生将 的意思理解成“3个苹果拿掉一个，剩3个中的2个”，没有真正抽象出分数的表象。

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【学员感言】

成都师范附属小学袁平：
老师少说话，学生多说话！当朱老师把苹果平均切成两半后问：可以用什么样的数表示？便不动声色地观察学生，足足停顿了十余秒。给学生留足了思考的时间——而独立思考正是交流与合作的基础。当学生在回答了一个较关键的问题后，朱老师不轻易重复学生的结论，而常常是问“有谁听明白他的意思”或“有谁听清楚这位同学说的是什么”。一个如此简单的转问，看似随意的一问，却展现了朱老师深厚的功底和良苦用心。表达与倾听就是交流！在这里，让其他学生来复述别人的观点，其意不仅是在这个知识点上引起别人的重视，我认为这样操作有老师更重要的目的——那就是有效培养学生的表达与倾听能力。这样的活动中，复述的学生获得了锻炼表达能力的机会；更在暗示学生，别人在发言时，要注意用心去听别人的发言，否则就不能明白别人的意见。试想：学生没有认真听清楚别人的发言，又怎么可能进行真实有效的交流与互动呢？